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几何代数复习大纲

发布时间:2014-01-29 13:43:19  

12-13-2

《几何与代数》复习要点

总成绩:平时成绩 5%+数学实验成绩 5%+期末考试成绩 90%;

1. 第一章:

行列式的定义了解即可

行列式的性质不必全部会证明,重点是要会利用这些性质计算行

列式的值;

计算行列式的典型方法:降阶、化成三角形行列式;

Vandermonde 行列式及分块上、下三角形行列式的结果应记住。

熟练掌握线性方程组求解的两种方法:Cramer 法则(要求系数矩

阵可逆)和 Gauss 消元法(对于一般方程可用,与第四章求齐次

方程组的基础解系和非齐次方程组的一般解相联系。记住求解方

程组要用初等行变换。而求矩阵秩,行、列变换皆可用)。

2. 第二章:

P52:知道矩阵乘法的分配律,并会运用。

P50: 记住矩阵的乘法不能随意交换次序。

P55: 记住转置运算的性质,特别是第(4)条。

p57: 行列式乘法定理的证明不用掌握;但结果需记住。

P58: 熟练掌握可逆矩阵的定义,计算(伴随矩阵和初等变换),

性质,特别是第(5)条。以及在后续章节中给出的矩阵可

逆的其它充要条件。

P63: 分块矩阵。掌握常见的分块方法及运算。

P70: 记住矩阵秩的最初定义,会用 k 阶子式去分析矩阵的秩,

但求秩一般可用初等变换的方法。引理 2.2,2.3,命题 2.3

不用去看。记住初等变换不改变矩阵的秩(命题 2.4)。记住

两个同型矩阵等价的定义。等价当且仅当秩相等,当且仅当

相互之间可做初等变换,当且仅当等价于同一个标准型。 可

与相似关系、合同关系比较。

P75: 记住几个初等矩阵的定义。理解定理 2.4,证明不用掌握。

P77-78:个人认为推论 2.2(常用),2.3 很有用。

P79: 会用初等行变换求解矩阵的逆及矩阵方程 AX=B。如果矩阵

方程是 XA=B,会用转置将其变形为 AT

X

T

=BT ,从而可用初等

行变换求得解 XT

,最后转置一下得 XA=B 的解 X。

2.5.3 节:关于矩阵秩的不等式的结论应当熟悉,证明过程不必

掌握。但作为对分块矩阵运算的运用,可以了解一下。其中

一些结论在第四章中还可以用向量组的秩来证明(参见 p140 例 4.8, p144 例 4.12, p157 例 4.22)。

3. 第三章(此章较简单,务必掌握):

掌握内积,外积,混合积的定义,物理意义,几何意义,及在直

角坐标系下的计算。

知道两个向量共线的充要条件(定理 3.1,推论 3.1)。

知道三个向量共面的充要条件:定理 3.2,推论 3.2 和混合积(可

化为行列式)等于 0。

仿射坐标系:了解即可;

向量积分配律的证明不必掌握:p101;

注意:知道“卦限”的概念;

3.4 节所有内容应熟练掌握。另外注意:

会求直线在平面上的投影直线(课上曾举过例,往年试题也

有例子);

异面直线:公垂线的方向向量、距离要求会计算;但不要求

会求公垂线方程;

3.5 节空间直角坐标变换:不考。

4. 第四章:

4.1.1-4.2.2:熟练掌握全部内容。

p135:矩阵的值域和核空间及其记号需要掌握。刻画矩阵值域

的例子:p146 例 4.15 解法一(解法二不必去看)和 p156 例

4.21。刻画矩阵核空间的例子:p156 例 4.21。

另外提醒:判别向量组线性相关或无关,可通过向量组的秩

(或所成矩阵的秩)判断,这点书上没有明确写出来,但很

好用。至于通过行列式来判断, 则只适用于 n 个 n 维向量的

情形。证明题中判断相关时,有时需要从定义出发。

4.2.3: 知道定理 4.6,并会用(大家一般都在用);掌握例 4.11.

4.3.1:需掌握基的定义并会求,注意例 4.14 和例 4.15 可用 4.5

节的例 4.21(p156)的方法求解。

4.3.2:对于基变换和坐标变换,只要求会求 2 3 R ,R 这两个空间的

基变换、坐标变换

4.4 节:4.4.1 和 4.4.3 要求掌握;4.4.2:记住 Schmidt 正交化

公式(三个向量的正交公式应该够用,该公式在第五、

六章对实对称矩阵正交相似对角(合同)化时会用到);

区别正交阵和第六章的正定阵

4.5.1-4.5.3: 熟练掌握,基础解系务必会求! 4.5.4 节:不必记住教材上的分析和结论,但务必学会从方程组解

的情况判断平面直线的位置关系,可结合 p108 的例 3.13

复习。往年试题也有此类问题。

4.6 节最小二乘解:不考。

5. 第五章:

5.1 节:熟练掌握,特征值特征向量务必会求!

5.2 节:(核心:矩阵相似对角化)5.2.1-5.2.2 要求掌握;5.2.3:

要求记住并理解所有的结论,证明不必全部掌握,但建议

理解定理 5.3 的证明;另外,要求掌握 5.2 节的所有例题。

5.3 节:(核心:实对称矩阵的正交相似对角化)5.3.1:记住性质

5.1-5.2 和定理 5.7,定理 5.7 的证明不必掌握;知道定

理 5.7 后面的注中的结论(在 p207 的第 32 题中有用);

5.3.2:熟练掌握。

提醒:实对称矩阵的正交相似对角化也是正交合同对角化

5.4 节:不考。

6. 第六章:

6.1.1-6.1.2:知道“二次型的矩阵”的定义,知道二次型与实对 称的相互转化。知道等价、合同、相似的区别与联系(对

于实对称矩阵,正交相似对角化就是正交合同对角化)。

知道如何由定理 6.1 推导出定理 6.2。熟练掌握将一个二

次型化为标准形的两种方法:正交变换和配方法。

6.1.3:知道正负惯性指数,秩的定义;知道命题的结论即可;

6.1.4:熟练掌握正定矩阵的定义及判别方法。会运用 218 页定理

6.5(Sylvester 定理),它提供了判断 n 阶实对称矩阵正

定(或等价地,正惯性指数=n;或等价地,特征值都大于

0)的另一种方法,定理 6.5 必要性证明可掌握一下;

6.2-6.3:注意:会求投影柱面,投影曲线;要求会画简单的空

间图形; 旋转面:只要求学生掌握旋转轴是坐标轴的情形(参见 241 页习题 29,30);需记住二次曲面的分类,会用二次型的惯性定理(即 通过矩阵特征值的正负个数或者矩阵正负惯性指数)对二次曲面进行 分类(参见 242 页习题 31,33);242 页习题 35,36 是含有一次项的情 形,稍微复杂些。233 页例 6.11:不必区分第一二类正交变换对图形 的影响。

注:Matlab 在期末考试中不作要求。纯属个人观点,仅供参考

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