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15.4.1提公因式法因式分解

发布时间:2014-01-29 14:55:25  

15.4 因式分解
北三家 中学

讨论

63能被哪些数整除?

在小学我们知道,要解决这个问题, 需要把63分解成质数乘积的形式.

63 ? 3 ? 7
2

类似地,在整式的变形中,有时 需要将一个多项式写成几个整式的乘 积的形式.

请把下列多项式写成整式乘积的形式.

(1) x ? x ?
2 2

x( x ? 1)

( 2) x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1)
上面我们把一个多项式化成了几个 整式的积的形式,像这样的式子变形叫做 把这个多项式因式分解,也叫做把这个多 项式分解因式.

想一想:因式分解与整式 乘法有何关系?
2 x -1
因式分解 整式乘法

(x+1)(x-1)

因式分解与整式乘法是互逆过程.

练习一 理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法?哪 些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y); 因式分解 (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法

(3) (5a-1)2=25a2-10a+1 ;整式乘法
(4) x2+4x+4=(x+2)2 ; 因式分解

怎样分解因式: ma ? mb ? mc
多项式的每一项都有一个公共的因式m,
公因式:多项式中各项都有的因式,叫做 这个多项式的公因式;

ma+mb+mc= m(a+b+c) 逆用分配律
这样就把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c) 的形式,其中m是各项的公因式,另一个因式 (a+b+c)是ma+mb+mc 除以m的商,像这种分解因 式的方法,叫做提公因式法.

例1 把8a b ? 12ab c分解因式
3 2 3

分析:应先找出 8a b 与 12ab c 的公因式,再提公因式进行分解.
怎么找? 4 公因式 最大公约数

3 2

3

a

相同字母

b

a b2
最低指数

观察 一看系数 二看字母 三看指数 方向 2 这个多项式公因式是什么? 4ab 另外一个因式是什么?

说出下列多项式各项的公因式: (1)ma + mb ; m (2)4kx- 8ky ; 4k (3)5y3+20y2 ; 5y2 (4)a2b-2ab2+ab . ab
注意:各项系数都是整数时,因 式的系数应取各项系数的最大公约数; 字母取各项的相同的字母,而且各字 母的指数取次数最低的.

例 2 分解因式

2a(b ? c) ? 3(b ? c)
分析:(b+c)是这两个式子的公因式, 可以直接提出.

解: 2a(b ? c) ? 3(b ? c)
? (b ? c)(2a ? 3)
.

逆用哪个运算律?

例3分解因式 2a(y-z)-3b(z-y) ;

因式分解:
3 2 (1)24x y-18x y

; 4 3 2 (2)-16x +32x -56x ; (3)- 7ab-14abx+49aby ; 2 2 2 2 (4)p(a +b )-q(a +b ).
(5) 6( p ? q) ? 12( p ? q)
2

(6) a b(a ? b) ? 6ab(b ? a)
2

2 1.2004 +2004能被2005整除吗?

2.先分解因式,再求值 4a ( x ? 7) ? 3( x ? 7), 其中a ? ?5, x ? 3.
2

课堂小结:
提取公因式法分解因式你 会了吗?

你能说说提取公因式法分 解因式的一般步骤吗?


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