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不等式应用题举例

发布时间:2014-01-29 16:56:24  

不等式应用题举例

例1、(河北省)在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题中共有25道题,每道题都给出4个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或选错倒扣2分,如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分,那么他至少选对了______道题。 例2、(某市)足球比赛的计分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,一个队应打15场已负3场,若要想积22分,那么这个队至少还要胜( )

A、3场 B、4场 C、5场 D、6场

例3、(北京市东城区)商场出售的A型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55度,现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原来的),问商场至少打几折,消费者购买才合算(按使用期为10年,每年365天,每度电0.40元计算)。

例4、(山西省)某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市场调查发现,如果月初出售可获利15%,并可用本利和再投资其他商品,则月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓库储仓费用700元,请问根据商场的资金状况,如何购销获利较多? 例5、一家旅行社有客房300间,每间房租为30元时,天天都客满,如果每间房租增加2元,每天客房出租数会减少10间,不考虑其他因素时,旅社将房间租金定为多少时,可以保证每天客房和租金收入不少于1000元。

例6、(苏州市)某园林的门票每张10元,一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起,可供持票者使用一年),年票分A、B、C三类:A类年票每张120元,持票者进入园林时无需再购买门票;B类年票60元,持票者进入园林时,需再购买门票每次2元;C类年票每张40元,持票者进入园林时,需要购买门票,每次3元。

(1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进入该园林的次数最多购票方式。

(2)求一年中进入园林至少超过多少次时,购买A类门票比较合算?

例7、根据下面一首古诗,解决其中问题:“我问开店李三公,众客来到此店中,一房七客多七客,一房九客一房空,请问几客几房中。”

例8、(陕西)乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km按1km计)现在某人乘此出租汽车从A到B付车费17.2元,问从A到B大约有多少路程?

例9、(某市)某通讯公司规定在营业网内通话收费为:通话前3分钟0.5元,通话超过3分钟每分钟加收0.1元(不足1分钟按1分钟计算)某人一次通话费为1.1元,问此人此次通话时间大约为多少?

例10、某机械厂生产某种产品,已知每件需用电240千瓦小时,需用特种钢材85千克,由于供应原因,每月用电不能超过12万千瓦小时,每月耗用特种钢材不能超过35吨,根据任务要求,每月完成件数不能少于300件,问该厂每月生产的该产品的件数应在什么范围内? 例11、某出版社,如果以每本2.50元的价格发行一种图书,可发行8万本,如果一本书的定价每升高0.1元,发行量就减少2000本,如果要使收入不低于20万元,求这种图书的最高定价? 例12、某公司计划下一年度生产一种新型计算机,下面是各部门提供的数据信息: 人事部提供:明年生产工人不多于80人,每人每年按2400小时计算;

市场部提供:经预测明年销售至少10000台;

技术部提供:生产一台计算机,平均要用12个工时,每台机器需要安装某种主要部件5个;

供应部提供:今年年终将库存这种主要部件2000件,明年能采购到的这种主要部件为80000件。

例1、(河北省)在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题中共有25道题,每道题都给出4个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或选错倒扣2分,如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分,那么他至少选对了______道题。

评析:不等式应用题的难点之一是辨别它与方程应用题的异同,如何列出不等式,要善于抓住题中“不低于”、“至少”等字词的数学含义。本题中对“倒扣2分”应理解为不选或选错,实际应扣6分,故当设选对了x道题,则不选或选错题为(25-x)道,则有100-6(25-x)≥60 解出:x≥18x=19,即他至少选对了19道题。

例2、(某市)足球比赛的计分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,一个队应打15场已负3场,若要想积22分,那么这个队至少还要胜( )

A、3场 B、4场 C、5场 D、6场

评析:一场足球比赛结果有三种情况:胜、平、负,若设还要胜x场,其余为打平,则 3x+12-x≥22 推出x≥5

为什么不能列方程:3x+12-x=22,因实际得分小于或等于3x+12-x(以后的比赛中有可能输),故3x+12-x≥实际得分=22

例3、(北京市东城区)商场出售的A型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55度,现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原来的),问商场至少打几折,消费者购买才合算(按使用期为10年,每年365天,每度电0.40元计算)。

解:现将A型冰箱打x折出售,购买才合算,依题意有:

2190×+365×10×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4

推出x≤8

即商场应将A型冰箱至少八折出售,消费者购买才合算。

评相:本例运用解不等式为市场营销中的购销行为提供决策。

二、综合方程式,函数式的不等式应用题

例4、(山西省)某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市场调查发现,如果月初出售可获利15%,并可用本利和再投资其他商品,则月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓库储仓费用700元,请问根据商场的资金状况,如何购销获利较多? 解:设投资x元,在月初出售,到月末可获利y1元;在月末出售可获利y2元,由题意有:y1=15%·x+10%·(x+15%·x)=0.265x

y2=x·0.3-700=0.3x-700

(1)当y1=y2时,解:0.265x=0.3x-700推出x=2000元

(2)当y1<y2时,解:0.265x<0.3x-700推出x>2000元

(3)当y1>y2时,解:0.265x>0.3x<700推出x<2000元

即当商场投入2000元时,两种经营方式获利相同,当投资超过2000元时,第二种方式获利较多,当投资不足2000元时,按第一种方式获利较多。

评析:由第(1)问得出两个函数式,(2)(3)两问则利用解不等式,对经营方式进入择优决策,不等式的应用在此得到了很好的发挥。

例5、(重庆市)为保护长江,减少水土流失,我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林,从1995年起在坡荒地上植树造林,以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地,由于每年因自然灾害,树木成活率、人为因素等的影响,都有相同数量的新坡荒地产生,下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树面积的统计数据,假设坡荒地全部种上树后,不再水土流失,问到哪一年可以将全县所有坡荒地全部种上树木。

(2)为节约用水,这个市规定:该厂日用水量不超过20吨水时,水价为每吨4元;日用水量超过20吨时,超过部分按每吨40元收费,已知该厂日用水量不少于20吨,设该厂日用水量为t吨,当日所获利润为W元,求W与t的关系式;该厂加强管理,积极节水,使日用水量不超过25吨,不少于20吨,求该厂的日利润的取值范围。

解:(1)设y=kx+b,依题意有:推出,

推出y=-x+204

当x=10,y=194,即每吨10元时,1吨水生产饮料所获利润为194元

(2)由(1)知y=-x+204,当x=4时,y=200,x=40时,y=164

∴W=200×20+164(t-20)=164t+720(t≥20)

∴t=

20≤,由20≤t≤25,即 ≤25,

推出4000≤W≤4820

即该厂日利润不少于4000元,且不超过4820元

评价;本题涉及不等式、方程式、函数式的综合。

例6、(苏州市)某园林的门票每张10元,一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起,可供持票者使用一年),年票分A、B、C三类:A类年票每张120元,持票者进入园林时无需再购买门票;B类年票60元,持票者进入园林时,需再购买门票每次2元;C类年票每张40元,持票者进入园林时,需要购买门票,每次3元。

(1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进入该园林的次数最多购票方式。

(2)求一年中进入园林至少超过多少次时,购买A类门票比较合算?

分析:问题(1)是用80元买门票通过三种形式比较择优决出进入园林次数最多的购票方式,显然排除A类年票;

若选B类年票,则次数为

若选C类年票,则次数为 =10(次); =13次;

=8次 若不购年票,随买随进,则只能进

经上述比较,购买C类年票进入园林的次数较多为13次 问题(2)涉及不等式,设至少超过x次购买A类门票比较合算,则有: 故一年中进入园林至少超过30次时,购买A类门票比较合算。 本例以旅游为背景,借助不等式这一知识为旅游提供合算的消费决策。象这种不等式的

应用题在过去的中考试题中很少见到。

例7、(广州市)在车站开始检票时,有a名旅客在候车室排队等候检票进站,检票开始后仍有旅客继续来检票进站,设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? 分析:本例建立数学模型是难点,涉及旅客人数,检票速度,开放检票口个数都需以字母表出,再理清等量关系(方程)与不等量关系(不等式)设陆续进站的旅客每分钟x人,每个检票口每分钟检y人,要在5分钟内检票完毕同时开放n个检票口,则由题意有: ①-②并化简:y=2x,

代入①,a=30(y-x)=30x

将y=2x,a=30x代入③,

35x≤10nxn≥3.5n=4

本例以旅客进站检票为背景,利用方程与不等式等数学知识,为疏通旅客流量,合理安排检票口,为旅客提供优质高效服务的最优决策。象这种以不等式的应用题作为中考试题的压轴题,以前从未出现过,是中考史上的首例。

例8、(陕西)乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km按1km计)现在某人乘此出租汽车从A到B付车费17.2元,问从A到B大约有多少路程?

分析:设从A到B大约为xkm,则:

16<10+(x-5)×1.2≤17.210<x≤11

即从A到B大约长10至11公里

例9、(某市)某通讯公司规定在营业网内通话收费为:通话前3分钟0.5元,通话超过3分钟每分钟加收0.1元(不足1分钟按1分钟计算)某人一次通话费为1.1元,问此人此次通话时间大约为多少?

分析:设此人通话时间为x分钟,则:

1<0.5+(x-3)×0.1≤1.18<x≤9。

即此人此次通话时间大约在8分至9分钟之间。

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