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初一上册培优之代数

发布时间:2014-01-30 09:53:48  

第一章有理数第一节基本概念的理解

1有理数的分类:整数和分数 整数包括正整数,0,负整数。分数包括正分数和负分数 2非负整数就是自然数。由0和正整数组成。非正整数指的是既是整数又是非正数,实际上就是0和负整数。

3有理数的广义定义:能写成

为分母是1的分数。

4分数的分类:有限小数和循环小数。有限小数是q形式其中p,q为整数且p,q互质的数是有理数。整数可以写pq的p只有质因数2和5的分数,循环小p

数是q中含有2,5以外的质因数。 p

5实数分为有理数和无理数。无理数指的是无限不循环小数。如π 小数分为有限小数和无限小数。无限小数分为循环小数和无限不循环小数。

6有理数都可以在数轴上表示,但数轴上的点表示的不一定是有理数,如π

7数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。

例题解析

1:把下列各数填入表示它所在的数集的圈里:

―18,22

7,3.1416,0,2001,?,―0.142857,95℅. 3

5

正数集 负数集

整数集 有理数集

非负整数:

非正整数:

正有理数:

负有理数:

2把下列各数填入相应集合的括号内:

29,―5.5,2002,,―1,90%,3.14,0,―2,―0.01,―2,1 6

713

(1)整数集合:{ }

(2)分数集合:{ }

(3)正数集合:{ }

(4)负数集合:{ }

(5)正整数集合:{ }

(6)负整数集合:{ }

(7)正分数集合:{ }

(8)负分数集合:{ }

(9)正有理数集合:{ }

(10)负有理数集合:{ }

注:要正确判断一个数属于哪一类,首先要弄清分类的标准。要特别注意“0”不是正数,但是整数。在数学里,“正”和“整”不能通用,是有区别的,“正”是相对于“负”来说的,“整”是相对于分数而言的。

3判断下图中所画的数轴是否正确?如不正确,指出错在哪里?

分析:原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。

解答:都不正确,(1)缺少单位长度;(2)缺少正方向;(3)缺少原点;(4)单位长度不一致。

4把下面各小题的数分别表示在三条数轴上:

(1)2,-1,0,?3,+3.5 (2)―5,0,+5,15,20;

(3)―1500,―500,0,500,1000。

5借助数轴回答下列问题

(1)有没有最小的正整数?有没有最大的正整数?如果有,把它指出来;

(2)有没有最小的负整数?有没有最大的负整数?如果有,把它标出

6将 ―5、2.5、21、―4、3.25、、―4、0、1各数用数轴上的点表示出来。 2

7下面数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数?

8用“<”或“>”填空:(简单复习小学有关比较正整数、正分数、正小数的大小的知识)

;0.85;2.9;;。

9把下列各组数用“<”号连接起来.

(1) ―10, 2,―14; (2) ―100,0,0.01; (3) 34,―4.75,3.75。

10请你归纳几个最

11拓展延伸循环小数化分数

一、纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢?看下面例题。

例1把纯循环小数化分数:

从以上例题可以看出,纯循环小数的小数部分可以化成分数,这个分数的分子是一个循环节表示的数,分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

二、混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢?看下面的例题。

例2 把混循环小数化分数。

由以上例题可以看出,一个混循环小数的小数部分可以化成分数,这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9,末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同。

三、循环小数的四则运算

循环小数化成分数后,循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲,循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样,也是分数的四则运算。

例3 计算下面各题:

例4 计算下面各题。

巩固练习

(3)125, (4),(5)-3, (6)-,(7)0,(8)-2 π32

有理数有-------,整数有--------,分数有-------,非负整数有-------,非正整数有------, 非负整数有------,非正整数有------,正有理数有-----,负有理数有-----(填序号) 2将下列小数化为分数

?42857? (4)0.07? (2)0.1? (3)0.16?5? (1)0.5

?乘以3天齐将1.23?看成1.23,a时,把1.23使得乘积比正确结果

小0.3,正确结果是多少?

?42857?,0,π4比较-7/50,-0.1,3.141的大小

读出下列各数。写出底数,并计算结果

22-222 -2,(,2 --2),(-),33-344

3 0.3099保留三位有效数字是-----,12320保留四位有效数字是------

37600用科学计数法表示是--------

第二节有理数计算

知识要点:乘方概念的理解2找片段,定符号,代数和 一基础计算

1、??1134?15??5?15?1????????60?。 2、3??????????2?????。 2?7??7?27?2??2345?

3、?2????3?3?

5、??133???3????3?22。 4、23?1??1????8????2??0.25?1.5?2.75。 4?2??4?377??7??7??377? 6、?31?13?1; ?????????????1???842?4812??8??8??4812?

7、141531??0.8?1; 8、17?6.25?8?0.75; 56642

9、?2?2?8?3?11111????。 10、???2?????1??0.75; 5?5?21?4?23456

11、-1-[1-(1-0.6÷3)]×[2-(-3)×(-4)];

12、5?1????2???1?2?1?1?4??9???0.8??5; 13、 ??2???3????4?????0.2?????。????5?3?2?3??9??????2?

14、??2?33?3??5???3?5??5???????1??????????5??7???5?7???1?2000。

15、??3?31?2?1?2??2?????4?2???? 4?3?2?3?

16、42????12??6?53??3?2?24???3????5?。 3

17、0÷(-4)-42-(-8)÷(-1)3; 18、-32-(-3) 2-(-3)3+(-1)6;

19、?17??1?3????612??3??6?2; 20、??5?3?3??????32??5???2?2?1????1?; ?4?

?1?3?21、3×(-2)2+(-2×3)2+(-2+3)2; 22、?5?????1?0.2???5??3?

??3????; 2

23、2?2??12?7?2??11?1??????5???????2; 24、?1??0.5??????1?1? 3?3??27?9?35?323??

2

25、13

?0.32??????1?

5???1

22?52??2?3?10.2;

26、?1??3????1?2

1??

4??2?3????1

?2???1?????????2??。

??2??2????

27、?8.1?21

4?4

9???16??4?52?5????2????1??2。

28、?24?1

4???2?2

29、??

??5?

8?????4?2?0.25???5????4?3;

30、?1?1?313??????????24???5??24?864????1?; 21

31、?1??2???4?????2?52?12???15?2?4; 3

32、?67?3?1?18?23???????2?0.2??2??; 9?2?5?57???

2???33、??1?3???1????????

??16?4?????2???14???3??。 ????????0.5????4?4??????2?

34、1??2?????3?32??1??22??。 ??????2????0.4????2?????3?2????????

35、?311?19??7?3???9????????8?。 66?6?

36、?

22?7。 ??2????0.28??253

37、??1?5??2??1???1????4???4????1????0.4???????2? ?4???3????3

2??2?38、??????4????1??2??3??2?????2???3???????3???1? 23??????

二技巧计算

一等比定理

13?23??143?153771231221 (27?35?5)?(17?13?2) 23?43??283?303173941391741

3571?4?6?(13?167)?(?0.25)?11?23?[(?4)2?42] 4823113?9?13275

凑整与配对

(?2)2012?(?0.5)2013?(?613)?7 14

11112222333181819(?????)?(?????)?(????)???(?)? 23420345204520192020

求分母不大于100的所有真分数的和

241(?1001)2007?(?0.125)2006?(?)2007?(?)2007?(?)2007 71311

1511914117111?2?3?4?5?6?7?8?9 2612203042567290

巩固练习

1111612411 -32+5-3-5+12 -++(-)(+-)3474723523

391511-2+8+1++(-7)-5 (-5.)3+3.(27-)-2. 541431443

-0.182+3.105-(0.318-6.065) 1-

111+2-1 366

1511 -1.5-3+5.5-2.75 -4-(+3.6)-(-3)-(1)4665

342111 -(6+24+(-18)+4-16+18-6.8+(-32)- 553642

15136+24+4.4-16-6.8-3.2 -3+-0.5+1 2665

-1.1?(-1

72111 -3?2? )?(-3)(-1)237352

155?

23111 1?64??? 1562048

338929987 987? -12?7?(-2)?(1)?(1)?(-2)(-987)552510510988

238?(-238

238393398 4?( )?)23942584253

3

7?224

25?21

11?(15

7?112

25)?42

11 331

3?[?2.5?7?(?12

5)?(-5)]

-0.1?24?(-5

6)?(-100)?17.8 91

10?4

5?7.13

4101 3

5

-22?-5.5?[(?44)?(?12)?(?31) ?32?(?323251318)?(?22)? 32

(?11132417

36?107?107?18)?(?7

8)?17

11 ?2.5?0.7?51

5?)3

4

[(6.875?21)?0.25+(323

24+12

3)?4]?2.5 ?0.32?0.5?2?(?2)2

2

2.4?124

31?4.125?(185

37?13.42) ?3211

5?(?2

5)17

6?(?2)2?(?2)3?(1?5)?(?2)4 (121

3?0.75?12)2?2?0.5

?)?(3253 1)?

(49

90?7

20?1.65?49

90?49

90)?[21414

15?(4?215)?1.35]

3?2

13+4?3

7+5?4

13+6?5

7 4131415

3?4+45+5 6

[1+(1

2?2

3?3

4)?(2?31

11)]?126.3?(27

3??111)

12?25.2?293

5?119

10?37

10?17?14 (2255

7?9)?79 )

25

?25

?2 (?2)?3)??(6?)2?(01)?36(3?( 12?4.375)?199

34?1

27?(?22)?1

2?2 ( -3.7)5?4.(?23)-+31625?(-2.?8)

二提高题

1 (?3)3?0.75?0.52?(?3)3?251233

4437?(125)?(4)3?43?(?4)3

0. 423

20012 [(-) ?41000-]?(?18)?(-32+5)1

216

23 {?24?()3?[32?2?(1?32)]}? (-)1

212

4 [47?(18.75?1?

5 472634?472635?472633?472635?472634?472636

2286)?2]?0.46 1525

11212312346 + ( + )+( + + )+(+ + + ) + ??+ 2334445555(

7 (???????

12003 +??+ ) 2004200411123411111?)?(??????) 4950262750

8 (-10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×8×11×13×15)

9

10 76×65-65×54+54×43-43×32+32×21-21×10

5791113151711 ?????? 6122030425672

12 某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分.

81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.

第三章代数式

知识要点:整式包括单项式和多项式

⑴单项式是数与字母的积,单个数或字母也是单项式。

⑵多项式是几个单项式的和。 .

⑶同类项:在多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫同类项。 ..............

⑷把一个多项式按同一字母的指数从大(小)到小(大)的顺序排列起来,叫做把这个多项式进行降(升)幂排列。

⑸掌握去括号、添括号法则,能熟练地进行同类项的合并。

一夯实基础

(1)(8xy-x2+y2)+(-y2+x2-8xy); (2)(2x2-11+3x)-4(x-x2+); 22

(3) 3x2-[7x-(4x-3)-2x2].

(4)化简、求值2(a2b+2b3-ab3)+3a3-(2ba2-3ab2+3a3)-4b3,其中a=-3,b=2

(1) -

233ab+a2b+ab+(-a2b)-1 (2)(8xy-x2+y2)+(-y2+x2-8xy); 344

(3) 2x-(3x-2y+3)-(5y-2); (4) -(3a+2b)+(4a-3b+1)-(2a-b-3)

(5)化简、求值

强化训练

一、填空 12?122?3214x-2- (x+ y)-(-x2+y2),其中x=-2, y=- ??2??3233

3?x2y3

1.单项式-的系数是 ,次数是 7

2.(1)3x-(-2x)=______;(2)-2x2-3x2=______;(3)-4xy-(2xy)=______

(4) 4x3-(-6x3)+(-9x3)=二、计算

(1)3-2xy+2yx2+6xy-4x2y (2) 1-3(2ab+a)十[1-2(2a-3ab)].

2222(3) 3x-[5x+(3x-2)]; (4) (3ab-ab)-(ab+3ab)

(5)2x???3y??3x?2?3x?y???. (6)(-x2+5+4x3)+(-x3+5x-4)

三、先化简,再求值.

1.化简、求值

2.

3.

4.2(a2b+2b3-ab3)+3a3-(2ba2-3ab2+3a3)-4b3,其中a=-3,b=2

四、(1)求5x2y-2x2y与-2xy2+4x2y的和.

(2) 求3x2+x-5与4-x+7x2的差.

五、已知a?2+(b+1)2=0,求5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2b)]的值.

11312x-2(x-y2)+(-x+y2),其中x=-2,y=-. 33223113?3223?12x???x?x??x?(4x?6)?5x其中x=-1; 233?2?212x-224?212?3?2212??x?y????x?y?,其中x=-2,y=- 3?2?33?3?

六.(1)已知A?4x?4xy?y,B?x?xy?5y,求3A-B

(2)已知A=x2+xy+y2,B=-3xy-x2,求2A-3B.

七.有两个多项式:A=2a2-4a+1,B=2(a2-2a)+3,当a取任意有理数时,请比较A与

B的大小.

巩固练习 2222

1.合并下列各式中的同类项

(1)3x2-1-2x-5+3x-x2 (2)4xy-3y2-3x2+xy-3xy-2x2-4y2

213(3)-0.8a2b-6ab-1.2a2b+5ab+a2b (4)a2?ab?a2?ab?b2 324

(5)5(a-b)2-7(a-b)+3(a-b)2-9(a-b) (6)3xn+1-4xn-1+

1n+13n-1x+x+5xn-2xn 22

(7)3a-(4b-2a+1) (8)x-[(3x+1)-(4-x)]

(13)5a?(4b?3a)?(?3a?b)

(15)x?(5x?3y?1)?(x?2y?1)

(17)8(x?2y)?4(x?3y?z)?2z

(19)8x+2y+2(5x-2y)

(21)-3(2x3y-3x2y2+3xy3)

(14)?(2a2?5)?(3a2?2)?2(?4a2?1)(16)2a???3a??2b?a??? (18)2a??b??3a?(2b?a)??2a? (20)(x2-y2)-4(2x2-3y2) (22)(-4y+3)-(-5y-2) +3y

22224x?(3x?x)?(23)(6x-x+3)-2(4x+6x-2 (24)2x2??3x???? ??

11(25a?(a?4b?6c)?3(?2c?2b) (26)(4x?3y)???(3y?x)?(x?y)??5x 32

(27)?1

2a????a?2

3b2????????1

2a?b2???

(29)(2m-3)+m-(3m-2)

(31)(2x-3y)+(5x+4y) (32)(8a-7b)-(4a-5b)

(33)a-(2a+b)+2(a-2b) (34)3(5x+4)-(3x-5)

(35)(8x-3y)-(4x+3y-z)+2z (36)-5x

(28) 2-[2(x+3y)-3(x-2y)] (30)3(4x-2y)-3(-y+8x). 2+(5x-8x2)-(-12x2+4x)+2

(37)2-(1+x)+(1+x+x2-x2) (38)3a2+a2-(2a2-2a)+(3a-a2)

(39)2a-3b+[4a-(3a-b)] (40)3b-2c-[-4a+(c+3b)]+c

41)x-(3x-2)+(2x-3)

43)x2+(-3x-2y+1)

45)3a+4b-(2b+4a)

(47)(2x-3y)+(5x+4y) (48)(8a-7b)-(4a-5b)

(49)a-(2a+b)+2(a-2b) (50)3(5x+4)-(3x-5)

42)(3a2+a-5)-(4-a+7a2) 44)x-(x2-x3+1) 46)(2x-3y)-3(4x-2y) (( (( ( (

(51)(8x-3y)-(4x+3y-z)+2z (52)-5x2+(5x-8x2)-(-12x2+4x)+2

(53)2-(1+x)+(1+x+x2-x2) (54)3a2+a2-(2a2-2a)+(3a-a2)

(55)5a+(3x-3y-4a) (56)3x

(57)7a+3(a+3b)

(59)2a-3b+[4a-(3a-b)]

(61)x+[x+(-2x-4y)]

63)3x2-1-2x-5+3x-x2 -(4y-2x+1) (58)(x2-y2)-4(2x2-3y) -2c-[-4a+(c+3b)]+c 64) -0.8a2b-6ab-1.2a2b+5ab+a2b (60)3b (62) (a+4b)- (3a-6b) ((

(65) 2a2?1ab?3a2?ab?b2 (66) 6x2y+2xy-3x2y2-7x-5yx-4y2x2-6x2y 324

(67) 8x+2y+2(5x-2y) (68) 3a-(4b-2a+1)

(69) 7m+3(m+2n) (70) (x

(71) -4x+3(1

3x-2)

(73)(2x?5y)?(3x?5y?1)

(75)3(a2?2ab)?2(?3ab?b2)

(77) 3x?[5x?4(2x?1)]

2-y2)-4(2x2-3y2) (72) 5(2x-7y)-3(4x-10y) (74) 2(2?7x)?3(6x?5) (76) 12x?(2x?2313y2)?(?2x?3y2) (78) 2xy-{5x-3[xy-13x(y+1)]-4xy}

2.求下列代数式的值:3m2n-mn2-1.2mn+mn2-0.8mn-3m2n,其中m=6, n=2。

3、如果关于字母x的代数-3x2+mx+nx2-x+10的值与x的取值无关,求m、n 的值.

4、已知2x2+xy=10,3y2+2xy=6,求4x2+8xy+9y2的值.

2(x?y)?3(y?x)25、已知:|x-y-3|+(a+b+4)=0,求。 2a?2b?(a?b)

6、化简求值.

(1)5a3-2a2+a-2(a3-3a2)-1,a=-1.

(2)4a2b-[3ab2-2(3a2b-1)],其中a=-0.1,b=1。

7.已知x2+xy=2,y2+xy=5,求x2+2xy+y2的值.

8.已知:A+B=3x2+x,B+C=x2,求A-C的值.

9.已知x+y=6,xy=-4,求: (5x-4y-3xy)-(8x-y+2xy)的值。

10.先化简,再求值

11312(1)x?2(x?y2)?(?x?y2)其中x??2,y?。 23233

111(2)7x2y-xy-[3x2y-2(4xy2 -xy)]-4x2y,其中x=-,y=。 222

(3)已知2?x与x?y?4互为相反数,求代数式

3(x?y)?5(x?y)2?3(x?y)?(y?x)2?4(x?y)2?3(y?x)的值。

11、已知?3x4?my与x4y3n是同类项,求代数式m100?(?3n)99?mn的值。

12.求代数式-2(x2+4)+5(x+1) -0.5(4x2-2x)(其中 x= -2)的值。

13.化简求值:

(1) 9x+6x2-(x-

22x) ,其中 x=-2。 3

(2)3a2-2(2a2+a)+2(a2-3a),其中a=-2;

(3)(9a2-12ab+5b2)-(7a2+12ab+7b2),其中a=

14.把多项式x5-3x3y2-3y2+3x2-y5写成两个整式的和,使其中一个只含5次项.

15.把多项式3x2-2xy-y2-x+3y-5分成两组,两个括号间用“-”号连接,并且使第一个括号内含x项.

16. 已知x2-xy=8, xy-y2=3,分别求下列各式的值: (1) x2- y2 (2)x2-2xy+y2

11,b=-. 22

17. 先化简下列各式,再求值:

(1) 3a2b-{2a2b+[9a2b-(6a2b+4a2)]-(3a2b-8a2)},其中a?

(2) 已知A=2a2-a, B=-5a+1, 求当a?

1,b??3. 21时,3A-2B+1的值 2

整式第二节

1 3xy?2{2xy?5[xy?4(xy?2xy)]}

2 关于a的方程(a-1)x+(3a+17)=5(4a+3)的解是2

求x?2[x?(a?x)]?3x?ax

3先化简,再求值:

(1)5xyz-{2x2y-[3xyz-(4xy2-x2y)]},其中x=-2,y=-1,z=3;

(2)已知m-n=2,mn=1,求多项式(-2mn+2m+3n)-(3mn+2n-2m)-(m+4n+mn)的值.

(3)某影剧院观众席近似于扇面形状,第一排有m个座位,后边每一排都比前一排多两个座位. ①写出第n排座位数的表达式;

②当m=20时,求第25排的座位数;

③如果这个剧院共25排,那么最多可以容纳多少观众? 2222222222

5 求5ab2-{2a2b-3[ab2-2(2ab2+a2b)]},其中a,b满足│a+1┃+(b-2)2=0

6 3xy?2{2xy?5[xy?4(xy?2xy)]}

7 (3a?2)?(b?)?2a?2222221

221?c?0 b

8求4abc?3ab?[?abc?(3ab?3ab)]?[2abc?(3ab?5ab)]

2239 (a?3)?b?1?c?0求M?3ab?2abc?4ab,N= 22?2222222?32abc?a2b?2ab3 2

求M-N

10已知m、x、y满足条件(1)

求代数式

0.375xy?5mx?{?

值。

11如图所示,每个圆周上的数是按下述规则逐次标出的:第一次先在圆周上标出2222y?123(2)?2ab与3ab是同类项。(x?5)2?5|m|?0;37213xy?[?xy2?(?x2y?3.475xy2)]?6.275xy2}的1641612, 两99个数(图甲),第二次又在第一次标出的两个数之间的圆周上,分别标出这两个数的和(图乙);第三次再在第二次标出的所有相邻两数之间的圆周上,分别标出这相邻两数的和(图丙);按照此规律,依次类推,一直标下去.

(1)设n是大于1的自然数,第n-1次标完数字后,圆周上所有数字的和记为Sn?1,

第n次标完数字后,圆周上所有数字的和记为Sn,猜想并写出Sn?1与Sn的等量关系.

(2)请你求出S102的值.

12已知a=1999,求│3a3-2a2+4a-1│-│3a3-3a2+3a-2001│

巩固练习

1有这样一道题,计算?2x4?4x3y?x2y2??2?x4?2x3y?y3??x2y2的值,其中 x=0.25,y=-1;甲同学把“x=0.25”,错抄成“x=-0.25”,但他的计算结果也是正确的,你说这是为什么?

2设a??,b??2

382?5a2b?{?3ab2c?ac?[?b2c?(2abc?b2)]} ,c=1,求代数式的值:3

3已知A=

求证A+B+C的值与 、无关。

4

5

6已知x+y=5,xy=-3求(2x-3y-4xy)-(x-4y+2xy)=

7已知a?b?3,b?c?2;求代数式?a?c??3a?1?3c的值

2

第三节恒等变形初步

第二节代数式1

知识要点:1代入法2主元思想3整体代入

一代入法

1当x=2时,代数式ax?bx?1的值为﹣17,当x=﹣1时,12ax?3bx?5

2已知x=2,y=-4时,代数式ax333+by+5=1997,求当x=-4,y=-时,代数1

212

式3ax-243by3+4986的值.

3当m=2π时,多项式am?bm?1的值是0,则多项式4a??b??5

4已知,当x=7时,代数式ax?bx?8?8,求x=﹣7时

5已知代数式,当x=﹣1,0,1时

该代数式的值

二概念理解 5331? 2a5bx?x?17 22ax?b的值分别为﹣1,2,2,且d≠0,求当x=2时,cx2?d

1已知代数式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1).

(1)当a=_______,b=________时,此代数式的值与字母x的取值无关;

(2)在(1)的条件下,多项式3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值为

2已知多项式2y?5x2?9xy2?3x?3nxy2?my?7经合并后,不含有y的项,求2m?n的值

3关于x的代数式 (2x2?mx?(m+2n)-(2m-n)

1y?3)?(3x?2y?1?nx2)取值与x无关求 2

14 4xyk?(k?3)y2?1是四次三项式,求k的值. 5

三条件求值

(1)已知

2a?b2(2a?b)3(a?b)的值。 ?5,求代数式?a?ba?b2a?b

(2)已知x?2y2?5的值是7,求代数式3x?6y2?4的值。

(3)已知a?2b;c?5a,求

6a?2b?c的值(c?0) a?4b?c

112a?2b?ab(4)已知??3,求的值。 baa?b?2ab

5已知多项式2a3?a2?a?5与多项式N的2倍之和是4a3?2a2?2a?4,求N?

6 m2?mn?15,mn?n2??6,求3m2?mn?2n2的值

巩固练习

1如果4a-3b=7,并且3a+2b=19,求14a-2b的值

3 y?ax?bx?c当x=1时,y= -2;x=-1时y=20求ab?bc?9b

4 3x?2x?6?8求

22232x?x?1 2

5 已知:当x?1时,代数式Px?qx?1的值为2007,求当x??1时,代数式3

Px3?qx?1

6已知等式(2A?7B)x?(3A?8B)?8x?10对一切x都成立,求A、B的值。

7关于x,y的多项式6mx2+4nxy+2x+2xy-x2+y+4不含二次项,m2n?2[?3mn2?3(m2n?2mn2)]

8若a?19?b?9?c?8,则(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2等于多少?

9 (2x2?ax?y?b)?(2bx2?3x?5y?1)

值与x的取值无关求3(a2?ab?b2)?(4a2?ab?b2)

10 a2?bc?14,b2?2bc??6求3a2?4b2?5bc

第四节绝对值问题

知识要点:

绝对值的意义与性质:

?a(a?0) ① |a|?? ② 非负性 (|a|?0,a2?0) ??a(a?0)

③ 非负数的性质: i)非负数的和仍为非负数。

ii)几个非负数的和为0,则他们都为0。

解题方法1定义法2非负性3结合数轴4零点分区间法

一定义与非负性与结合数轴

1已知a?0,化简|2a-|a||

2已知|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a,则

3已知a、b、c在数轴上表示的数如图,化简:|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。

4已知a、b、c是有理数,且a+b+c=0,abc?0,求 b?cc?aa?b的值 ??|a||b||c|

5已知:

6三个有理数 a、b、c,其积是负数,其和是正数,当x?a

a?b

b?c

c时,

19则代数式x?95x?1028的值是多少?

二数轴分类讨论与0点分区间法与配对思路

1x为何值时,x?3?x?2有最小值,并求出这个最小值

2 y?|x?1|?|x?2|?|x?3|???|x?2002|求y的最小值

3求y?|x?1|?|x?2|?|x?3|???|x?17|的最小值

4 |x+5|+|x-7|+|x+10|.

5 已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.

6设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,对于满足p≤x≤15的x来说,T的最小值是多少?

7若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值

8化简:|3x+1|+|2x-1|

巩固练习

2x?5?2x?3 2x?1?x?2?x?x?3

求x?1?x?2的最小值 x?1?x?2?x?3?x?4?x?5的最小值

aa?2= 2a?b?0则?1?bb

a,b,c都是整数,a?b?b+c?1求a?c

a,b,c都是整数,a?b

19?b?c19?1求a?b?b?c+a?c

x?2??2x+1

已知x<-3,化简:|3+|2-|1+x|||

第四章一元一次方程

知识要点1去分母2去括号3移项4合并同类项5系数化1

特别注意逆推法解方程以及直接去掉多重括号

一基本功训练

2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x

15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3[4(5y-1)-8]=6

3x?14x?2x?4x?2??1?(x?5)?252 5

x-1x+12x?53?x2x - =2+ 1? ?2264

1-

111x=3-3x (x?3)?(3x?2)?1 312141121(170?x)?x?10 x?(100?x)?36 3453

百分数方程

1 40%x+10%(300-x)=300×30% 2 100× 8%=6.4%(100+x)

5 50?48%+62.5%x+(50-x)=56

6 0.9(1+20%)x+0.9(1+30%)(500-x)=500+67

三技巧方程

1112557x?11?0.x2x5?1 {x?[x?(x?)]?}?x? ??2343360.024

0.0180.012

0.1x0.9?0.2x??1 0.030.7

450.1x?0.2(x?4)?5x?10]??x?20.16x+12(x+3)=2/5[24x+24(x+3)] 5[4

四主元思想

1解关于x的方程ax=b

2讨论关于x的方程解

3不论k为何值时,x=-1总是关于x的方程

4关于x的方程3[x?2(x?)]?4x和方程xxx?12 ?k??326kx?a2x?bk??1的解求a,b 23a

33x?a1?5x??1有相同的解那么这个解是? 128

5关于x的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解求a,b

6 255x?m?x?139有一个正整数解,m最小为多少?并求相应整数解? 312

巩固练习

1 4(2x-1)-3(x+2)=2(x-3) 2 3(4x-1)-2(2x-5)=4(3x+5)

3

5

2x?31x?12x21.4?3x?(6?) 4 ?2??0 4320.330.23?2?112x3x-1.50.2x-0.1??x?1?2?2? 6 +4 ????0.20.092?3?423??

7

9 5y?4y?15y?53x?22x?12x?1 8 ??2??1??34122453?2?x??2x?110x?12x?1???1 10 ???1??2??x?2 2?3?4??364

11

12 2418:=2:1 x?24x?18

13关于x,y的方程m(x-1)=2001-n(x-2)恒成立求m,n

14解关于x的方程

15关于x的方程m1(x?n)?(x?m) 341?11x?a?4)?7]?10??1解为2求a ?[(9?632

第二节列方程解应用题

一用方程解出现两个不变量的题

1有一批树苗栽在公路上,如果每隔5米植一棵就少了21棵树苗。如果每隔5.5米植一棵树正好够用,求树苗的棵树和公路长?

2计划生产一批零件。如果每天生产18个就要迟5天完成,如果每天生产23个就可以提前5天完成并且超额完成20个。求计划天数和零件个数?

3一片均匀生长的草。如果23头牛吃9天吃完,27头牛吃6天吃完。求21头牛吃多少天吃完?

4一架飞机往返于AB两城市之间。顺风飞行要2小时54分,逆风飞行要3小时。风速是每小时20千米。求无风时候的速度和两城市之间的距离?

5一件衣服如果打八折出售亏10元,如果打九折出售可以获利百分之八。求这件商品的成本?

6哥哥和弟弟同时从家去学校。哥哥每分钟走90米,弟弟走60米。哥哥到学校后发现没带语文书立刻回家拿在距离学校180米处和弟弟相遇。求家校路程?

7甲乙丙三人同时从A出发,甲乙顺时间丙逆时针绕湖而行。甲丙30分钟后相遇,又过了5分钟乙丙相遇。甲的速度为5.4千米每小时,乙为4.2千米每小时。求绕湖一周的路程是多少千米?

二利用整体与局部的关系列方程

111小华看一本故事书,第一天看了全书的还多21页,第二天看了全书的少686

页,还余下172页,这本故事书一共多少页?

2一次比赛分为小学,初中,高中组。小学和初中组获奖人数占总人数的

获奖人数占获奖总人数的7,初中和高中112多3人,初中43人获奖,求获奖总人数? 3

3六年级举行数学竞赛,有若干人得奖,得一等奖的人比余下得奖人数的1/5少3人,得二等奖人数是所有得奖人数的1/3,得三等奖人数比二等奖人数多21人,一共多少人得奖?

4甲乙丙三种盐水浓度分别为20%,18%,16%,混合后得到100克浓度为 18.8%的盐水,乙比丙多30克,求甲盐水多少克?

5甲乙丙三人的工作效率比是1:2:3,三人若合作一项工程共15天完成,开始三人合作甲因故休息了5天,乙因故休息了2天,则这项工程从开始到完成共用了多少天?

6甲乙两人同时从相距12千米的AB出发相向而行。甲的时速比乙快1.5千米。甲到B后休息了半小时返回,乙到A后休息了40分钟后返回。他们出发4小时后在返回过程中相遇。求两人的时速?

巩固练习

1一件商品如果打九折出售可获利180元,如果打八折出售要亏240元。求这件商品的进价?

2一列火车过2000米的桥要88秒,过1250米的桥要58秒。求火车车长和速度?

3甲、乙两货车同时从相距300千米的A,B两地相对开出,甲车以每小时60千米的速度开往B地,乙车以每小时40千米的速度开往A地.甲车到达B地停留2小时后以原速返回,乙车到达A地停留半小时后以原速返回.那么,返回时两车相遇地点与A地相距多少千米?

4一项工程,甲独做需要10天,乙独做需要15天。如果两人合做, 甲的工作效率要下降20%,乙的工作效率要降低10%。现在要8天完成这项工程,两人合做的天数尽可能少,那么两人要合做__________天。

5一桶油连桶共重56千克,三天用完,第一天用去

的比前两天和的12,第二天用去余下的,第三天用去333少6千克,油桶多重? 7

6三个班共37人,一班的1/4比二班的1/5多1人,一班的1/4与二班的1/5的和等于三班的1/3,三个班各有多少人?

7甲、乙、丙三瓶酒精溶液,甲瓶中溶液重1000克,乙瓶中溶液重200克,丙

瓶中溶液重600克。已知甲瓶溶液的浓度为30%,乙瓶溶液浓度是丙瓶溶液浓度的2倍。如果把三瓶溶液混合到一起,溶液浓度将是20%。求乙瓶溶液的浓度是多少?

第三节 列方程解应用题2

一设1倍和1份

1幼儿园大班和中班共有32个男生,18个女生,大班男女人数比是5:3,中班为2:1,求大班女生有多少人?

2甲车间人数是乙车间的3/4,从乙调60人到甲,乙车间人数就是甲的2/3,甲车间原有多少人?

3两件商品总成本500元,分别把第一件商品提价20%,第二件商品提价 30%后,然后均打九折出售,一共获利67元,求两件商品的成本各是多少元?

4小明7年前是大军年龄的3倍,7年后是大军年龄的2倍。两人今年各多少岁?

5大盒的球的个数是小盒的5倍,如果大盒拿出4个球到小盒后大盒的球是小盒的3倍求原来两个盒子各有多少个球?

二抓不变量

1甲乙今年的年龄和是100岁,当甲是乙年龄一半的时候,乙恰好是甲现在的年龄,求两人今年各多少岁?

2甲乙两班同时从A去距离A 75千米军营B军训。甲步行4千米每小时,乙步行5千米每小时,学校有一辆汽车,该车空车时速40千米,载人20千米每小时,这辆车一次只能带一个班。至少多久后两个班都能到终点?

3一列火车通过600米长的隧道用了30秒,隧道口有一探照灯垂直照射灯照射火车的时间是10秒,求火车速度和车长?

4一个圆柱底面直径是10厘米的圆柱容器装了一些水。一个圆柱和圆锥钢材底面半径都是4厘米且高相同。放入容器后水面上升了6.4厘米。求钢材的高?

三设而不求 1某商品的单价是15元,公司决定降价促销。结果销售量增加一半总收入增加 1/5,求每件商品降价多少元?

2出售一件商品,现由于进货价降低了6.4%,使得利润率提升了8%,求原来出售这件商品的利润率。

3某商场在一楼和二楼间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩沿自动扶梯同时从第一楼出发走到第二楼,(扶梯本身也在匀速行驶)如果男孩与女孩都作为匀速运动考虑,且男孩每分钟走动的级数是女孩每分钟走动的级数的两倍,已知男孩走了24级,到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达扶梯顶部(设男孩、女孩每次只跨1级),试问扶梯露在外面的部分多少级?

4有甲乙丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件共需315元。若购甲4件,乙10件,丙1件共需420元。现购甲乙丙各一件共需多少元?

巩固练习

1在一楼到二楼有一向上运动的扶梯,小明从一楼到二楼共走了75级,小李从二楼到一楼共走150级,小李的速度是小明的3倍,电梯露在外面多少级?

2爸爸,小明,小军,同时从家出发去27千米外的一个景点。爸爸骑车速度是每小时15千米。小明和小军步行都是每小时5千米。爸爸每次只能带一人,三人都到景点至少要多久?

3两件衣服总成本是450元,第一件提价20%定价,第二件提价30%定价,然后均打九折出售,最后总的销售额为504元,求两件衣服的成本各为多少元?

4最近外文书店购进一批定价都相同的书,其中文化科技书籍占

台历史书籍占3,只需付定价的78%,政52,只需付定价的82%,按书本的定价出售,则卖完后这批书新华书店共获5

利 %。

4 3年前爸爸和小明的年龄比是7:2,10年后爸爸和小明的年龄比为11:5,求爸爸和

小明今年各多少岁?

期中复习与巩固

1有理数的分类:整数和分数 整数包括正整数,0,负整数。分数包括正分数和负分数 2非负整数就是自然数。由0和正整数组成。非正整数指的是既是整数又是非正数,实际上就是0和负整数。

3有理数的广义定义:能写成

为分母是1的分数。

4分数的分类:有限小数和循环小数。有限小数是q形式其中p,q为整数且p,q互质的数是有理数。整数可以写pq的p只有质因数2和5的分数,循环小p

数是q中含有2,5以外的质因数。有限小数的位数就是看质因数2,5中指数高的那个指p

数。纯循环小数中的p不含质因数2和5,混循环小数含有质因数2和5.2和5的指数较高的指数是不循环的位数。

5有理数都可以在数轴上表示,但数轴上的点表示的不一定是有理数,如π

6单独的数是单项式,0也是单项式。数的系数就是本身。非0的数系数就是本身。0不定义次数。

7平方等于本身的数是0,1,立方等于本身的数0,1,-1.倒数等于本身的数1,-1.绝对值为本身的数是非负数。绝对值等于相反数的数是非正数。

8实数分为有理数和无理数。无理数指的是无限不循环小数。如π 小数分为有限小数和无限小数。无限小数分为循环小数和无限不循环小数。

9一元一次方程的标准形式ax=b当a不等于0的时候有唯一的解;当a=0,b=0有无穷多个解 当a=0,不等于0的时候无解

典型习题

1 5,5,5,1算24点

2 [(?)

3 {?2?()?[3?2?(1?3)]}?(-)

41220011?41000?(?)2]?24?[?62?33] 212322122

4 3xy?2{2xy?5[xy?4(xy?2xy)]}

5解方程3x?6x?1?x?2(?x?2x?5)

6解下列3个方程2x?1?3,3x?2?2x?3,3x?2?2x?3

7化简x?1?x?2?x?3并求最小值

22222222

21??3yx8已知2x+y=3xy求 ???11yx

9已知a?a?1?0求a?

10 a?1?3a求a?221 a21 a2

11关于a的方程(a-1)x+(3a+17)=5(4a+3)的解是2

求x?2[x?(a?x)]?3x?ax

22222

12

111{x?[1?(x?1)]?2}?2?1?(x?1) 777

13 +x%=(1-6.4%)×(1+x%+8%) 14 1?

15

17关于x的方程 2x?53?x ?641111(170?x)?x?10 16 (x?3)?(3x?2)?1 34121421x?(a?x)?36解是40求a 53

关于一元一次方程的应用题

1有三堆苹果。第一堆比其它两堆的1/3多1个,第二堆比其它两堆的2/5多2个。第三堆比其它两堆的1/2多4个。求三堆苹果各有多少个?

112若干人去领取一些书,其中第一个人拿走3本和余下的,第二个人拿走6本和余下的,77

1第三个人拿走9本和余下的。。。。。。最后书恰好分完并且每个人拿的书一样多。问有多少7

人领书?一共有多少本书?

3某商场在一楼和二楼间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩沿自动扶梯同时从第一楼出发走到第二楼,(扶梯本身也在匀速行驶)如果男孩与女孩都作为匀速运动考虑,且男孩每分钟走动的级数是女孩每分钟走动的级数的两倍,已知男孩走了60级,到达扶梯顶部,而女孩走了55级到达扶梯顶部(设男孩、女孩每次只跨1级),试问扶梯露在外面的部分多少级?

4两件商品总成本450元,分别把第一件商品提价20%,第二件商品提价 30%后,然后均打九折出售,一共获利54元,求两件商品的成本各是多少元?

5出售一件商品,现由于进货价降低了8%,使得利润率提升了10%,求原来出售这件商品的利润率。

6甲乙今年的年龄和是100岁,当甲是乙年龄一半的时候,乙恰好是甲现在的年龄,求两人今年各多少岁?

7甲乙两班同时从A去距离A 75千米军营B军训。甲步行4千米每小时,乙步行5千米每小时,学校有一辆汽车,该车空车时速40千米,载人20千米每小时,这辆车一次只能带一个班。至少多久后两个班都能到终点?

8一列火车通过600米长的隧道用了30秒,隧道口有一探照灯垂直照射灯照射火车的时间是10秒,求火车速度和车长?

基础训练

πxyz系数和次数是----- ?1 -3y系数和次数是----- 5

3πabc32ab3c系数和次数是----- ?系数和次数是---- 523

2化简后A是六项式,B是二项式,A-B至少-----项

3化简4ab?3ab?4ba?5ba=

4化简后A是四项式,B是三项式则A+B至少多少项至多多少项? 2222

5 2x?x值----

A大于0 B不大于0 C等于0 D 不小于0

6 3x?x

A大于0 B不大于0 C等于0 D 不小于0

m<0,n>0,m+n<0,比较m,n,-m,-n大小

7 -1<a<0<2<b比较a,b,

8 3x-y=2, x?11, ab1x?2x?1?2?0, x2?1?x2?0.5x, ??3, x2?2x?3?0一元一x32

次方程有----个

9 A到原点距离6,B到原点距离4则AB的距离是----

x?3,y?2,xy?0则x+y=

x?2, y?1,x+y>0,x-y=

x?3,y?2则x?y=

10 A与B的到原点距离都为5,AB的距离是----

A,B到原点的距离和是10,AB距离最小为------

11 (a-1)x+3=8是关于x的一元一次方程则a=------

12 (a+2)xa?1a=2是关于x的一元一次方程则a=

2y13 x?1?(y?2x)?0求x

2(n?2)?0求mn 14 m?n?1?

15 m,n互为相反数,a,b互为负倒数,x的绝对值为3

求x?(1+m?n?ab)x?(m?n)x322011?(?ab)2003=

16 a?b?a?b?2b则a<0<-a<b;b<0<-a<a;0<a<b;0<b<a有几个可能正确

1111??)= 2345

13572?4?6?8?(???)= 2468

11113?5?7?9?(1????)= 3579

1221218当x=-4,y=3的时候求?(xy?xy?3)?2[x?(xy?2x?y?1)]?3x?1 3217 2?3?4?5?(?

19a=-1,b=2,c=-2求12ab?5ac?(3a2c?a2b)?(3ac?4a2c) 2

20 -a的相反数是最大的负整数,b是最小的正整数求a+b=

21 a的倒数是-1/3,b的相反数等于本身,c到原点距离为4求

22 c<b<a则abc= ??b?cc?aa?b111大小关系是------------------- ,,c?ac?ba?b

423一个五位数保留4位有效数字为5.247?10且是7的倍数的五位数有------------

24 a,b互为相反数,d,c互为倒数求ac?(ac)?...?(ac)22012?bc?(bc)2?...?(bc)2012= 25 a= 1?2?3?4,b=1?(2?3?4),c= 1?(2?3)?4,d= 1?2?(3?4)

a?b?(d?c)

26a? 2?3?4?5,b?2?(3?4?5),c?2?(3?4)?5,d?2?3?(4?5)

求(b?a)?(c?d)

27 2[1﹣(x﹣

28 已知1<x<3 求 x?1?x?2?x?4?3.5

29 1?2?3?....?48?12n(12,n)=1求m

30探索规律:将连续的偶数2,4,6,8,?,排成如下表:(雅礼) m)]=3[﹣(2x﹣)].

32 34 36 38 40

? ?

若将十字框上下左右移动,可框住另外的五位数,其它五位数的和能等于2010吗?如能,写出这五位数,如不能,说明理由。

31 1?2

1251191411711?3?4?5?6?7?8?9 612203042567290

(2a?4)最大时候求a-2a+3a-4a+…+99a-100a 32 21-

33看下表

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 34减去-2a等于4a?2a?5代数式是多少? 求第15行的第一个数

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