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中考二次函数压轴题解题通法(重点中学整理)

发布时间:2014-01-30 12:43:32  

中考二次函数压轴题———解题通法研究

二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题,同时在省级,国家级数学竞赛中也有二次函数大题,在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题,在成都,绵阳,泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题,很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关,学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否,直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。我通过近6年的研究,思考和演算了上1000道二次函数大题,总结出了解决二次函数压轴题的通法,供大家参考。

几个自定义概念:

① 三角形基本模型:有一边在X轴或Y上,或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。

② 动点(或不确定点)坐标“一母示”:借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵”。如:动点P在y=2x+1上, 就可设 P(t, 2t+1).若动点P在y=3x?2x?1,则可设为P(t,3t22?2t?1)当然若动点M 在X轴上,则设为(t, 0).若动点M在Y轴上,设为(0,t).

③ 动三角形:至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的。或至少有一个顶点是运动,变化的三角形称为动三角形。

④ 动线段:其长度是运动,变化,不确定的线段称为动线段。

⑤ 定三角形:三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形。

⑥ 定直线:其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线。如:y=3x-6。 ⑦ X标,Y标:为了记忆和阐述某些问题的方便,我们把横坐标称为x标,纵坐标称为y标。

⑧ 直接动点:相关平面图形(如三角形,四边形,梯形等)上的动点称为直接动点,与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。

1.求证“两线段相等”的问题:

借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来;

然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等。

2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题:

由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t),借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y轴的线段长度计算公式

y上-y下,把动线段的长度就表示成为一个第 1 页 共 1 页

自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。

3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题:

先用点斜式(或称K点法)求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可。

4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题:

(方法1)先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率(k)相等),再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y消掉,得到一个关于x的的一元二次方程,由题有△=b-4ac=0(因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以b-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x、y的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离。

(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离。

(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。

5.常数问题:

(1)点到直线的距离中的常数问题:

“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题:

先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

(2)三角形面积中的常数问题:

“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题:

先求出定线段的长度,再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

(3)几条线段的齐次幂的商为常数的问题:

用K点法设出直线方程,求出与抛物线(或其它直线)的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可。

6.“在定直线(常为抛物线的对称轴,或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题:

先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最22 第 2 页 共 2 页

小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。

7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题:

① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题(简称“一边固定两边动的问题):

由于有两个定点,所以该三角形有一定边(其长度可利用两点间距离公式计算),只需另两边的和最小即可。

② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题(简称“三边均动的问题):

在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用C动?斜边动?,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。 =C定?斜边定?

8.三角形面积的最大值问题:

① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(简称“一边固定两边动的问题”):

(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度;然后再利用上面3的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式 1 底·高。2

即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点。

(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段(或所在直线)的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到

题来求出最大值。

② “三边均动的动三角形面积最大”的问题(简称“三边均动”的问题):

先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形,或者有一边平行于x轴或y轴的三角形,称为基本模型的三角形)面积之差,设出动点在x轴或y轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)。利用相似三角形的性质(对应边的比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了。

9.“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”: 由于该四边形有三个定点,从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点,即可得到一个定三角形)的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。

10、“定四边形面积的求解”问题:

有两种常见解决的方案:

方案(一):连接一条对角线,分成两个三角形面积之和;

方案(二):过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点,向x轴(或y轴)作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差),或几个基本模型的三角形面积的和(差) 1S动三角形?(y上(动)-y下(动))?(x右(定)-x左(定))2,转化为一个开口向下的二次函数问

第 3 页 共 3 页

11.“两个三角形相似”的问题:

两个定三角形是否相似:

(1)已知有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例?若成比例,则相似;否则不相似。

(2)不知道是否有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例?若成比例,则相似;否则不相似。

一个定三角形和动三角形相似:

(1)已知有一个角相等的情形:

先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来(一母示),然后把两个目标三角形(题中要相似的那两个三角形)中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例(要注意是否有两种情况),列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点。

(2)不知道是否有一个角相等的情形:

这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例?若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在。简称“找特角,求(动)点标,再验证”。或称为“一找角,二求标,三验证”。

12.、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题: 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。(若某边底,则只有一种情况;若某边为腰,有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形,则有三种情况)。先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标(一母示),按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程。解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)。

13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题:

这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标),任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线(显然最多有3条),此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可。

进一步有:

① 若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否?若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在。

② 若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否?若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在。

③ 若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在。

14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题:(此 第 4 页 共 4 页

为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形。)

先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积),然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可。(注意去掉不合题意的点),如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可。

15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题:

若夹直角的两边与y轴都不平行:先设出动点坐标(一母示),视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1),得到一个方程,解之即可。

若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式。补救措施是:过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定。

16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。

① 若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式(如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程),利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否?若等,该交点合题,反之不合题,舍去。

② 若动点为直角顶点:先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1?若为-1,则就说明所求交点合题;反之,舍去。

17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题:

题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。

18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形(常为动三角形或动四边形)的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题:

(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形。)

先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上,或者有一边平行于x轴或y轴)面积的和或差,设出相关点的坐标(一母示),按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可。一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点(动点)标,图形转化(分割),列出面积方程”。

19.“在相关函数解析式不确定(系数中还含有某一个参数字母)的情况下,题中又含有动图形(常为动三角形或动四边形)的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题:

此为“双动问题”(即动解析式和动图形相结合的问题)。

如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割(转化或分割后的图形须为基本模型),设出动点坐标(一母示),利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程(或方程组)。解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标(注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉)。再注意图中另一个点与该点的位置关系(或其它关系,方法是常由已知或利用(2)问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可。如果动图形是 第 5 页 共 5 页

基本模型,就无须分割(或转化)了,直接先设出动点坐标(一母式),然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化(分割),设点标,建方程,再代入,得结论”。

常用公式或结论:

(1)横线段的长 = 横标之差的绝对值 =

纵线段的长=纵标之差的绝对值=

(2)点轴距离:

点P(x0 ,y0)到X轴的距离为y0,到Y轴的距离为xo。

(3)两点间的距离公式:

若A(x1,y1),B(x2,y2), 则

AB=x大-x小=x右-x左 y大-y小=y上-y下

(4)点到直线的距离:

点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C最好化为整系数,也方便计算)的距离为:

d?

d或

(5)中点坐标公式: 若A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为(

(6)直线的斜率公式:

若A(x1,y1),B(x2,y

2)x1?x2x1?x2y1?y2,) 22,则直线AB的斜率为:

kAB=y1?y2,x1?x2x1?x2,?注:当x1?x2时,直线AB与y轴平行,斜率不存在?

(7)两直线平行的结论:

第 6 页 共 6 页

已知直线l1:

① 若l1?l2

② 若1y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2; ?k1?k2; k?k2,且b1?b2?l1?l2

(8)两直线垂直的结论:

已知直线1

① 若l1l:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2; ?l2?k1.k2??1;

② 若1k.k2??1?l1?l2.

(9)由特殊数据得到或猜想的结论: ①

殊角出现。

② 在抛物线的解析式求出后,要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状,若有特殊角出现,那很多问题就好解决。

③ 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K

的值,若K=00,则直线与X轴的夹角为30;若K=?1;则直线与X轴的夹角为45

;若K=?X

轴的夹角为60。这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。

二次函数基本公式训练:

_______________破解函数难题的基石

(1)横线段的长度计算:【特点:两端点的y标相等,长度=x大-x小】。

① 若A(2,0),B(10,0),则AB=————。

② 若A(-2,0),B(-4,0),则AB=————。

③ 若M(-3,0),N(10,0),则MN=—————。

④ 若O(0,0),A(6,0),则OA=——————。

⑤ 若O(0,0),A(-4,0),则OA=——————。

⑥ 若O(0,0),A(t,0),且A在O的右端,则OA=——。

⑦ 若O(0,0),A(t,0),且A在O的右端,则OA=——。 0

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⑧ 若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端,则AB=——。

⑨ 若A(4t,m),B(1-2t,m),且B在A的左端,则AB=——————。

⑩ 若P(2m+3,a),M(1-m,a),且P在B的右端,则PM=——————。

注意:横线段上任意两点的y标是相等的,反之y标相等的任意两个点都在横线段上。

(2)纵线段的长度计算:【特点:两端点的x标相等,长度=y大-y小】。

① (若A(0,5),B(0,7),则AB=——————。

② 若A(0,-4),B(0,-8),,则AB=——————。

③ 若A(0,2),B(0,-6),则AB=——————。

④ 若A(0,0),B(0,-9),则AB=——————。

⑤ 若A(0,0),B(0,-6),则AB=——————。

⑥ 若O(0,0),A(0,t),且A在O的上端,则OA=——。

⑦ 若O(0,0),A(0,t),且A在O的下端,则OA=——。

⑧ 若A(6,-4t),B(6,3t),且A在B的上端,则AB=——————。

⑨ 若M(m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端,则MN=——。

⑩ 若P(t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端,则PM=——。

注意:纵线段上任意两点的x标是相等的,反之x标相等的任意两个点都在纵线段上。

(3)点轴距离:

一个点(x标,y标)到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值(即

y轴的距离等于该点的x标的绝对值(即y标),到x标)。

① 点(-4,-3)到x轴的距离为————,到y轴的距离为————。

② 若点A(1-2t,t?2t?3)在第一象限,则点A到x轴的距离为————,到y轴的

距离为__________。

③ 若点M(t,t?4t?3)在第二象限,则点M到x轴的距离为——————,到y

轴的距离为——————。

④ 若点A(-t,2t-1)在第三象限,则点A到x轴的距离为——————,到y轴的距离

为——————。

⑤ 若点N(t,?t?2t?3)点在第四象限,则点N到x轴的距离为——————,

到y轴的距离为————。

⑥ 若点P(t ,t?2t?3)在x轴上方,则点P到x轴的距离为——————。

第 8 页 共 8 页 2222

⑦ 若点Q(t,t?2t?6)在x轴下方,则点Q到x轴的距离为————————。 ⑧ 若点D(t,t?4t?5)在y轴左侧,则点Q到y轴的距离为————————。 ⑨ 若点E(n,2n+6)在y轴的右侧,则点E到y轴的距离为————————。 ⑩ 若动点P(t,t?2t?3)在x轴上方,且在y轴的左侧,则点P到x轴的距离为———————,到y轴的距离为————————。

11 若动点P(t,t?2t?3)在x轴上方,且在y轴的右侧,则点P到x轴的距离为————————,到y轴的距离为——————。

12 若动点P(t,t?2t?3)在x轴下方,且在y轴的左侧,则点P到x轴的距离为————————,到y轴的距离为————————。

13 若动点P(t,t?2t?3)在x轴下方,且在y轴的右侧,则点P到x轴的距离为————————,到y轴的距离为————————。

注意:在涉及抛物线,直线,双曲线等上的动点问题中,在动点坐标“一母示”后,还要高度关注动点运动变化的区域(例如:动点P在抛物线y=x?2x?3上位于x轴下方,y轴右侧的图象上运动),以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围,以及点轴距离是2222222

(或y标)等于相应x标的相反数,还是其本身。

(4)中点坐标的计算:

若【A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为(

① 若A(-4,3),B(6,7),则AB中点为

————————。

② 若M(0,-6),N(6,-4),则MN的中点坐标为

————————。

③ 若P(,,Q(),则PQ的中点坐标为 -3)

————————。

④ 若A(1,2),B(-3,4),且B为AM的中点,则M点的坐标为——————。

⑤ 若A(-1,3),B(0,2),且A为BP中点,则P点坐标为

——————————。

⑥ 点P(-5,0)关于直线x=2的对称点的坐标为

————————。

⑦ 点P(6,0)关于直线x=1的对称点的坐标为__.

⑧ 点P(6,2)关于直线x=3的对称点的坐标为

___________。

⑨ 点Q(-4,3)关于直线x=-3的对称点的坐标为——————。 x1?x2y1?y2)】 ,22121132

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15 点M(-4,-2)关于直线x=2的对称点的坐标为——————。 点P(4,-3)关于直线x=-1的对称点的坐标为——————。 点M(-4,2)关于直线y=-1的对称点的坐标为————————。 点T(4,-3)关于直线y=1的对称点的坐标为————————。 点Q(0,-3)关于x轴的对称点的坐标为——————————。 点N(4,0)关于y轴的对称点的坐标为————。

(5)由两直线平行或垂直,求直线解析式。【两直线平行,则两个k值相等;两直线垂直,则两个k值之积为-1.】

① 某直线与直线y=2x+3平行,且过点(1,-1),求此直线的解析式。

1x+1平行,且过点(2,3),求此直线的解析式。 2

2③ 某直线与直线y=?x?5平行,且过点(-3,0),求此直线的解析式。 3

1某直线与y轴交于点P(0,3),且与直线y=x?1平行,求此直线的解析式。2④ 1⑤ 某直线与x轴交于点P(-2,0),且与直线y=?x?4平行,求此直线的解析式。 2② 某直线与直线y=?

⑥ 某直线与直线y=2x-1垂直,且过点(2,1),求此直线的解析式。

⑦ 某直线与直线y=-3x+2垂直,且过点(3,2),求此直线的解析式。

2,求此直线的解析式。 x?1垂直,且过点(2,-1)3

1⑨ 某直线与直线y=?x?4垂直,且过点(1,-2),求此直线的解析式。 2

2⑩ 某直线与x轴交于点P(-4,0),且与直线y=?x?5垂直,求此直线的解析式。 3⑧ 某直线与直线y=

(6)两点间的距离公式:

若A(x1,y1),B(x2,y2),

① 若A(-2,0),B(0,3),则AB=——————。

② 若P(-2,3),Q(1,-1),则PQ=————————。

③ 若M(0,2),N(-2,5),则MN=————————。

11,00,?④ 若P(2),Q(,则PQ=————————。 3)

11,?3?⑤ 若A(2),B(-1,2),则AB=——————————。

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311,?,?1⑥ 若P(42),B(4),则PB=————————。

311,?,?1⑦ 若P(42),B(4),则PB=——————————。

121?,?,1⑧ 若P(43),M(2),则PM=——————。

2112?,?,?⑨ 若A(53),B(53),则AB=——————。

21?,11,?⑩ 若A(3),B(,则AB=———————。 2)

11 若A(-2,0),B(3,0),则AB=————。

12 若P(0,-4),Q(0,-2),则PQ=——————。

13 若P(3,0),Q(4,0),则PQ=——————。

14 若P(1,-4),Q(2,0),则PQ=——————。

(7)直线的斜率公式:【注:所谓斜率,就是一次函数y=kx+b中k的值;可由两个点的坐标直接求得:若A(

x标之差)】

x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2y1?y2kAB?),则x1?x2,(y标之差除 第 11 页 共 11 页

例题:若A(2,-3),B(-1,4),则kAB?

解:?A(2,-3),B(-1,4),

?(?3)?47??kAB=2?(?1)3

② 若A(0,2),B(3,0),则kAB?————。 若A(1,-2),B(-3,1),则kAB?——————。

③ 若M(-3,1),N(-2,-4),则kMN?——————。

④ 若P(1,-4),Q(-1,2),则kPQ?

————————。

11若C(-1,1),Q(-,-),则kCQ?23⑤ ——————。

211若E(,-1),F(-,-),则kEF?332⑥ ——————。

211若M(-,-),Q(-1,-),则kMQ?532⑦ ————————。

231若P(-,-),Q(-1,-),则kPQ?344⑧ ——————。

(8)点到直线的距离公式:

点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(为了方便计算,A,B,C最好化为整系数)的距离公式 第 12 页 共 12 页

为:d运用该公式时,要先把一次函数y=kx+b化为一般式Ax+By+C=0的形式(即:先写x项,再写y0)。

y?

例题:求点P(2,-3)到直线12x?23的距离。 y?

解:先把直线12x?23化为一般式

3x-6y-4=0

d所以

注:Ax0?By0?C的值就是把点(x0,y0)对应代入代数式Ax+By+C中。

y?kx?bkx?y?b?0或者把通过移项化为

0)。

(同样要先写x项,再写yd从而

另解:因为y?12x?23,P(2,-3)

d所以(注:由于系数中有分数,计算比较繁杂)。

② 求点Q(1,-4)到直线y=2x-1的距离。 求点P(-2,1)到直线y=x+2的距离

第 13 页 共 13 页

求点A(1,2)到直线y=1x-1的距离

③ 2。

求点M(0,-3)到直线y=1

④ 3x-1的距离

求点P(-2,0)到直线y=1x-1的距离⑤ 24。

⑥ 求点K(-3,-2)到直线y=1-3x的距离。

求点P(-3,-1)到直线y=1x-1

⑦ 23的距离

求点P(-1,-1)到直线y=1x+1的距离⑧ 232。

求点Q(-1131

⑨ 2,-3)到直线y=4x-2的距离

求点P(-2,-331

⑩ 34)到直线y=2x-4的距离

求点N(-3,-1)到直线y=-1x+2的距离11 2323。

求点D(-2311

12 54)到直线y=2x-3的距离

求点E(-3,-2)到直线y=3-1x的距离13 5324。

第 14 页 共 14 页

在一个题中设计若干常见问题:

如图示,已知抛物线y?x2?2x?3 与y轴交于点B,与x 轴交于C,D(C在D点的左侧),点A为顶点。

Y

① 判定三角形ABD

2x?3 X x 【通法:运用两点间的距离公式,求出该三角形各边的长】 第 15 页 共 15 页

② 三角形ABD与三角形 BOD是否相似?说明理由。

【通法:用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长,再用相似的判定方法】

第 16 页 共 16 页

③ 在x轴上是否存在点P,使PB+PA最短?若存在求出点P的坐标,并求出最小值。若不存在,请说明理由。

中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标,再把此对称点与余下定点相连】

④ 在y轴上是否存在点P,使三角形PAD的周长最小?若存在,求出点P的坐标,并求出周长的最小值;若不存在,请说明理由。

Y

X

【通法:注意到AD是定线段,其长度是个定值,因此只需PA+PD最小】

第 17 页 共 17 页

⑤ 在对称轴x=1上是否存在点P,使三角形PBC是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

X

【通法:对动点P的坐标一母示(1,t)后,分三种情况,若P为顶点,则PB=PC;若B为顶点,则BP=BC;若C为顶点,则CP=CB。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】。

⑥ 若平行于x轴的动直线l与直线BD交于点F,与抛物线交于点P,若三角形ODF为等腰三角形,求出点P

X

【通法:分类讨论,用两点间的距离公式】。

第 18 页 共 18 页

⑦ 在直线BD下方的抛物线上是否存在点P,使s?PBD的面积最大?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由。

【通法:S?PBD1?(y2

⑧ 在直线BD下方的抛物线上是否存在点P,使四边形DOBP的面积最大?若存在,求出点P的坐标,并求出四边形面积的最大值;若不存在,请说明理由。

X

【通法:S四边形DOBP=S?DOB+S?DBP或S四边形DOBP=S?BOP+S?DPO】

第 19 页 共 19 页

⑨ 在直线BD下方的抛物线上,是否存在点P,使四边形DCBP的面积最大?若存在,求出点P的坐标,并求出四边形面积的最大值;若不存在,请说明理由.

【通法:四边形DCBP S=S?DCB+S?DBP】

⑩ 在直线BD下方的抛物线上,是否存在点P,使点P到直线BD的距离最大?若存在,求出点P的坐标,并求出最大距离;若不存在,请说明理由。

【通法:最大】

第 20 页 共 20 页

11 在抛物线上,是否存在点P,使点P到直线BD

,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

【通法:在动点坐标一母示后,用点到直线的距离公式,列出方程,求解即可】。

12 在抛物线上是否存在点P,使S?PBC=2S?ABD,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

X

【通法;在动点P把动三角形PBC的面积表示出来,再代入已知中的面积等式】。

第 21 页 共 21 页

13 若点P在抛物线上,且?PDB=90,求点P的坐标。

【通法:利用KBD?KPB??1?X ,及点B的坐标,求出直线PB的解析式,再把此解析式与抛物线方程组成方程组,即可求出P点的坐标】。

14 若Q是线段CD上的一个动点(不与C,D重合),QE?BD,交BC于点E,当三角形QBE的面积最大时,求动点Q的坐标。

X

【通法:三角形QBE是三边均动的动三角形,把该三角形分割成两个三角形基本模型的差,即S?QBE?S?QCB?S?QCE,题中平行线的作用是有两个三角形相似,从而有对应边的比等于对应高的比,最后该动三角形的面积方可表示为,以动点Q(t,0)的坐标有关的开口向

】 下的二次函数。

第 22 页 共 22 页

15 若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出E点的坐标。

BE,BF),分别设出两个动点(点E,点F),运用中点坐标公式,求出每一种情况下,两条对角线的中点坐标,注意到两个中点重合,其坐标对应相等,列出方程组,求解即可】。

第 23 页 共 23 页

中考二次函数压轴题分析

(一)【2012宜宾中考】如图,抛物线

上。

(1)求抛物线顶点A的坐标。

(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C,D(C点在D点的左侧),试判断三角形ABD的形状;

(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P,A,B,D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

y?x2?2x?c的顶点A在直线l:y=x-5第 24 页 共 24 页

(二)【2012凉山州中考】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x轴,y轴分别交于A,B,两点,抛物线y??x?bx?c经过A,B,两点,并与x轴交于另一点C(点C在点 A的右侧),点P是抛物线上一动点。

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标.

(2)若点P在第二象限内,过点P作PD?x轴于D,交AB于点E.当点P运动到什

么位置时,线段PE最长?此时PE等于多少?

(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q,与直线AB交于点N,点M为

OA的中点,那么是否存在这样的直线l,使得三角形MON是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理.

2第 25 页 共 25 页

(三)【2012广安市中考】在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠

oAOB=3/4。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90,得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中

o2点旋转180,得到△OA2B1,抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2。

(1)求抛物线的解析式;

(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1的面积最大?求出这时点P的坐标;

(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1

求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。

?若存在,第 26 页 共 26 页

(四)【2012乐山中考】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已

2知实数m、n(m<n)分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.

①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;

②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D的坐标.

第 27 页 共 27 页

(五)【2012成都中考】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y?5x?m (m4

为常数)的图象与x轴交于点A(?3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y?ax2?bx?c (a,b,c 为常数,且a≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点

B.

(1)求m的值及抛物线的函数表达式;

(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;

(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1) ,M2(x2,y2)两点,试探究

定值,并写出探究过程.

M1P?M2P 是否为M1M2

第 28 页 共 28 页

(六)【2012黄冈中考】如图,已知抛物线的方程C1:y??1(x?2)(x?m)(m>0)m

与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧。

(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值。

(2)在(1)的条件下,求三角形BCE的面积。

(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标。

(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B,C,F为顶点的三角形与三角形BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。

Y

第 29 页 共 29 页

(七)【2013宜宾中考】如图,抛物线y?ax?bx?4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B。

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;

(3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且?DBP?45’求点P的坐标。

?2X

第 30 页 共 30 页

(八)【2013山西中考】如图,抛物线y?123x?x?4与X轴交于A,B,两点(点B42

在点A的右侧),与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作棱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

(1)求点A,B,C的坐标.

(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由.

(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使三角形BDQ为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

X

第 31 页 共 31 页

(九)【2013重庆中考】如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y?ax?bx?c(a?0)与 x轴交于A,B两点,其中点A的坐标为(-3,0).

(1)求点B的坐标;

(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.

2若点P在抛物线上,且S?POC?4S?BOC设点Q是线段AC上的动点,,求点P 的坐标; 作QD?x轴抛物线于点D,求线段QD长度的最大. X 第 32 页 共 32 页

(十)【2013浙江绍兴市中考】抛物线y=(x-3) (x+1)与x轴交于A,B,两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.

(1)求点B及点D的坐标.

(2)连接BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.

① 若线段BD上一点P,使?DCP??BDE,求点P的坐标.

② 若抛物线上一点M,作MN?CD,交直线CD于点N,使?CMN??BDE,求点M的坐标.

X

【备 用 图】 第 33 页 共 33 页

(十一)【2013菏泽市中考】如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,3y??x?3的图象与y轴,x轴的交点,点B在二次函数点A,C分别是一次函数4

1y?x2?bx?c的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成8

平行四边形.

(1)试求b,c的值,并写出该二次函数的表达式.

(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问: ① 当点P运动到何处时,有PQ?AC?

② 当点P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?

X 第 34 页 共 34 页

(十二)【2013绵阳市中考】如图,二次函数y=ax+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D。

(1)求二次函数的解析式和B的坐标;

(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);

(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。

2第 35 页 共 35 页

(十三)【2013泸州市中考】如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B的

坐标为(1,,已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过三点A,B,O(O为原点).

(1)求抛物线的解析式.

(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使三角形BOC的周长最小.若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.

(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么三角形PAB是否有最大面积.若有,求出点P的坐标及三角形PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号).

Y

A O

? X

?

第 36 页 共 36 页

(十四)【2013自贡市中考】如图,已知抛物线y=ax+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA=.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值;

(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由. 2

第 37 页 共 37 页

(十五)【2013巴中市中考】如图,抛物线y?ax?bx?c经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式。

(2)若点P为第三象限内抛物线上的点,记三角形PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标。

(3)设抛物线的顶点为D,DE?x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得三角形ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。

X

2

第 38 页 共 38 页

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