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2014沪科版八年级上册(专题训练+状元笔记)数学:15.3 等腰三角形

发布时间:2014-01-30 13:37:52  

15.3 等腰三角形

专题一 等腰三角形知识的应用

1.如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。求证:M是BE的中点.

2.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DE.求证:EC=ED.

E

专题二 等腰三角形操作题

3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形.要求:每个等腰三角形的一个顶点为格点A,其余顶点从格点B、C、D、E、F、G、H中选取,并且所画的两个三角形不全等.

图①

图②

4.东风汽车公司冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板,如图1,其中AB=AC,该冲压厂为了降低汽车零件的成本,变废为宝,把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件,销售给红星农业机械厂,这些零件的形状都是矩形。

现在要把如图1所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形,每种矩形的面积正好等于该三角形的面积,每次切割次数最多两次(切割的损失忽略不计)。

(1)请你设计两种不同的切割焊接方案,并用简要的文字加以说明;

(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次),则该三角形应满足什么条件?

专题三 等腰三角形探究题

5.下面是数学课堂上的一个学习片断,阅读后,请回答下面的问题:

学习等腰三角形后,庞老师请同学们讨论这样一个问题上:“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝,8㎝,请你求出三角形的周长.”

同学们经片刻思考交流后,李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”;王明同学说:“是23㎝”,还有一些同学也提出了不同的看法.......

(1)假如你也在课堂上,你的意见如何?为什么?

(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示)

6.已知△ABC为等边三角形,在图①中,点M是线段BC上任意一点,点N线段CA上任意一点,且BM=CN,直线BN与AM相交于Q点.

(1)请猜一猜:图①中∠BQM等于多少度?

(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上,其它条件不变,如图②所示,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请加以证明;如不成立,请说明理由.

【知识要点】

1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边.

3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【温馨提示】

1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论.

2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角.

3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质.

【方法技巧】

1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析.

2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.

4.平行于等边三角形一边的直线截其它两边或其延长线,得到的三角形仍是等边三角形,解决等边三角形问题时常用这个结果作辅助线.

参考答案

1.证明:因为三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点, 所以∠1=

1

∠ABC. 又因为CE=CD,所以∠CDE=∠E. 2

所以∠ACB=2∠E, 即∠1=∠E.

所以BD=BE,又DM⊥BC,垂足为M, 所以M是BE的中点.

2.证法一:延长BD到F,使DF=BC,连结EF,如图2.则BE=AE+AB=BD+DF=BF,故△BEF为等边三角形,从而可证△BCE≌△FDE,所以EC=ED.

证法二:过E作EF∥AC,交BD的延长线于F,如图2,则△BEF为等边三角形,以下同证法一.

证法三:在AE上截取EF=BC,如图3.则AF=CD,故AC∥DF,从而△BDF是等边三角形,DF=BF=AE,可证△ACE≌△FED,所以EC=ED.

证法四:过D作DF∥AC交AE于F点,如图3,以下同证法三.

证法五:作EF∥BC交CA的延长线于F,如图4.则△AEF是等边三角形,从而可证 △CEF≌△EDB,所以EC=ED.

证法六:作DF∥AB交AC的延长线于F,连结EF,如图5.则△CDF是等边三角形,故

OO

AF=AC+CF=BC+CD=BD=AE,从而∠AEF=∠AFE=30,∠DFE=30,即EF是等腰△CFD的顶角平分线,所以EF垂直平分CD,由此得EC=ED.

O

证法七:作EF⊥BD,垂足为F,如图6.则∠BEF=30,BE=2BF,即AB+AE=2BC+2CF,从而有BC+2CF=AE=BD=BC+CD,即CD=2CF,有CF=DF,EF为CD的垂直平分线,所以有CE=ED.

3.以下答案仅供参考

4.方案一:如图1(1)所示。(虚线AM’为等腰三角形ABC底边上的高)

方案二:如图1(2)所示,(虚线为切割线,M、N为AB、AC中点,MP⊥BC);

(2)若要把该三角形只切割一次后焊接成正方形零件,则该三角形应为等腰直角三角形.

5.(1)该三角形的周长应该为22cm或23cm.∵当腰长为7cm时,周长=7+7+8=22(cm);当腰长为8cm时,周长=8+8+7=23(cm);

(2)考虑问题要全面.(其他符合题意的话都可以)

6.(1)∠BQM = 60°;(2)题的证明思路如下:先证△ACM ≌△BAN,得到∠M =∠N,所以∠BQM =∠N +∠QAN =∠M +∠CAM =∠ACB = 60°.

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