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新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总

发布时间:2014-01-30 14:44:33  

二次根式知识点汇总

知识点一: 二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。

注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。

例1

11x>0)

、x?

yx

(x≥0,y?≥0).

知识点二:取值范围 ;第二,被开方数是正数或0.

1、 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,

有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 有意义,是二次根式,所以要使二次根式

2、 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。

例2.当x

例3.当x

知识点三:二次根式((1在实数范围内有意义? x?1)的非负性

)是一个非负数,即)表示a的算术平方根,也就是说,0()。 注:因为二次根式数(

()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0

;若)的算术平方根是非负数,即偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若

,则a=0,b=0。

例4(1)已知

y=

,求x的值.(2)

,求a2004+b2004的值 y

1

知识点四:二次根式()的性质

()

文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,

则,如:,.

例1 计算

1.

222 ) 2.(

2 3.

4.

()2

例2在实数范围内分解下列因式:

(1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3

知识点五:二次根式的性质

文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注:

1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身, 即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;

2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;

3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。

例1 化简

(1

(2

(3

(4

例2 填空:当a≥0

;当a<0

,?并根据这一性质回答下列问题.

(1

,则a可以是什么数?(2

,则a是什么数? (3

,则a是什么数? 2

例3当x>2

知识点六:与的异同点(去根号时应该如何处理)

1、不同点:与表示的意义是不同的,

中,而表示一个正数a的算术平方根的平方,而中a可以是正实数,0,负实数。但与表示一个实数a都是非负数,

的平方的算术平方根;在即,。因而它的运算的结果是有差别的, ,而

2、相同点:当被开方数都是非负数,即知识点七:二次根式的乘除 时,=;时,无意义,而.

1、

a≥0,b≥0)

(a≥0,b≥0)

2

a≥0,b>0)

(a≥0,b>0)

(思考:b的取值与a相同吗?为什么?不相同,因为b在分母,所以不能为0)

例1.计算

(1)

(2

例2 化简

(1

(2

(3

(4

(3

(4

例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:

(1

? (2

(2

(3

(4

例4.计算:(1

例5.化简:

(1

(2

(3

(4

?例6.

,且x为偶数,求(1+x

的值.

3

3、最简二次根式应满足的条件:

(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;

(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式

(熟记20以内数的平方;因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式) 例1.把下列二次根式化为最简二次根式

(1)

4、化简最简二次根式的方法:

(1) 把被开方数(或根号下的代数式)

(2)

(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)

5.有理化因式:一般常见的互为有理化因式有如下几类:

①③与与; ②; ④与与;

说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化.

13

判断是否是同类二次根式时务必

知识点八:二次根式的加减

1、二次根式的加减法:先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。(合并方法为:将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。

例1.计算(1

(2

分析:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将相同的最简二次根式进行合并. 解:(1

(2+3

(2

=(4+8

例2.计算

(1)

2)

+

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0

,求(2

3-(x

)的值.

2、二次根式的混合运算:先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减

3、二次根式的比较:(1)若,则有;(2)若,则有.

(3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小

例4.比较

(被开方数不同时,寻找中间数)

4

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