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2.1(3)(4)切线长定理、内心

发布时间:2014-01-30 14:44:39  

切线长定理

数学探究: 过已知点P作已知⊙O的切线 点P在⊙O内时:没有切线 点P在⊙O上时: 连OP,作AP⊥OP O. .P

点P在⊙O外时: 在圆上找一点A使 得OA⊥PA 连OP,以OP为直径作圆
过圆外一点可以作两条切线

A

O. B

. M

.P

经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之 间的线段的长叫做切线长。

· O ·
B

A

· P

切线长和切线的区别和联系:

切线是直线,不可以度量;
切线长是切线上的一条线段的长,可以度量

如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O 的切线,A、B为切点,连结 PO 求证:PA ? PB, ?APO ? ?BPO

· O ·
B

A

· P

定理1 (切线长定理)从圆外一点可以 引圆的两条切线,它们的切线长相等。 定理2 从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的夹角被这一点和圆心的连线平分。 ∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点 ∴ PA = PB A ∠APO =∠BPO O

· ·
B

· P

例6 如图,点P在⊙O外,PA、PB是 ⊙O的两条切线,切点分别为A、B, ∠APB = 60°,⊙O的半径长为 1, 求点P到⊙O的切线长
A
.O

P

B

1、如图,过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的 切线PA、PB,连结PO交⊙O于F,过F作⊙O 切线分别交PA、PB于D、E,如果PO=10cm, A 求△PED的周长。 D 思考:当切点F在弧AB 上运动时, 问△PED的周长和∠DOE 的度数是否发生变化,请 说明理由。

O

F B
E

P

2、如图,PA、PB是⊙ O的两条切线, A、B为切点。直线OP交 A ⊙O于D、E,交AB于C。
E O CD B P

3 对, (1)图中互相垂直的关系___ 分别是_____________________ OA ? PA, OB ? PB , OP ? AB

6 个,分别是______ (2)图中的直角三角形有___ 等腰三角形有___ 2 个,分别是____________

3 对,分别是__________ (3)图中全等三角形___

2、如图,PA、PB是⊙ O的两条切线, A、B为切点。直线OP交 A ⊙O于D、E,交AB于C。
E O CD B

P

(4)如果半径为 3 cm,PO = 6cm,

3 3 则点P到⊙O的切线长为_______cm , 60° 两切线的夹角等于______

(5)如果PA = 4cm,PD = 2cm,

试求半径OA的长。
x

A
E
2

PA2 ? OA2 ? OP2

O

C D B

P

4 ? x ? ?x ? 2?
2 2

x = 3cm

已知:如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O 的切线,A和B是切点,BC是直径。∠C=50?, ①求∠APB的度数 ②求证:AC∥OP。 C O B A

P

2. 已知:两个同心圆PA、PB是大圆 的两条切线,PC、PD是小圆的两 条切线,A、B、C、D为切点。 求证:AC = BD
A
C O· D

P

B

3、以正方形ABCD的一边BC为直径的半 圆上有一个动点K,过点K作半圆的切 线EF,EF分别交AB、CD于点E、F, 试问:四边形AEFD的周长是否会因 K 点的变动而变化?为什么?

A E

D

K
F

B

C

4、如图,在梯形ABCD中,AD//BC, AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与DC相切于 E.已知AB=8,边BC比AD大6, 求边AD、BC的长。
A D E O

B

C

我们学

过的切线,常有的性质:
1、切线和圆只有一个公共点; 2、切线和圆心的距离等于圆的半径; 3、切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的 切线长相等,圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角。

三角形的内切圆

思考

如图,一张三角形的铁皮,如何在它 上面截下一块圆形的用料,并且使圆的 面积尽可能大呢?

I D

三角形的内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心: 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心 三角形的内心是三角形 B 三条角平分线的交点, 它到三角形三边的距离相等。 D
O A

E

F

C

1、如图,Δ ABC的内切圆分别和BC,AC, AB切于D,E,F;如果AF = 2cm, BD = 7cm, CE = 4cm, 11cm,AC=______, 则:BC=______ _____ 6cm AB= 9cm 2 A E 4 C

F

B

7

D

例7 已知:△ABC是⊙I外切三角形,切点 为D,E,F。若AB = 7cm,BC = 9cm , AC = 8cm。求AF,BD,CE。
A

解:设AF=xcm, BD=ycm, CE=zcm

∵⊙ I 与 BC 、 CA 、 AB 分别相 x x 切于点D、E、F, F E ∴ AE=AF, BF = BD, CD = CE O z x + y = 13 y C 依题意得方程组 y + z = 14 z y D B x+z=9
? AF、BD、CE的长分别是4cm、 9cm、 5cm。

2、已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N,

求证:AB + CD = AD + BC D N
O A P Q M

C

B

如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆, ∠C是直角,三边长分别是 a、b、c. 求⊙O的半径 r. A

a?b?c r? . 2

D B

O ┗F E C




如图,△ABC的面积为 S,三边长 分别为a、b、c. A D F 求内切圆⊙O的半径 r.

1 S ? r ?a ? b ? c? 2
2S r? . a?b?c



O

B

E



C

ab r? a?b?c
直角三角形

1、如图,△ABC中,∠ A =50°, ∠ACB=75 °,点O 是△ABC的内心, 求∠ BOC的度数。 A 1 ∠ BOC = 90o+ ∠A 2 O
B

C

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

三角形外接圆圆心: 三边垂直平分线交点 三角形外接圆半径: 交点到三角形任意一 个顶点的距离。

三角形内切圆圆心: 三个内角平分线交点 三角形内切圆半径: 交点到三角形任意 一边的垂直距离。

直角三角形的外接圆与内切圆
A

A

b
C B

c
O B

a 斜边中点 , 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________ 斜边的一半 半径为___________. 三角形内部 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________,

C

a+b-c 半径r=___________. 2


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