haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

2014沪科版八年级上册(专题训练+状元笔记)数学:13.2 命题与证明

发布时间:2014-01-30 15:41:55  

13.2 命题与证明

专题一 三角形中的计算与证明题

1.已知△ABC的高为AD,∠BAD=70o,∠CAD=20o,求∠BAC的度数。

2.如图,已知AB∥DE,试求证:∠A+∠ACD+∠D=360(你有

几种证法?)

3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.

小明:在△ABC中,延长BC到D,

∴∠ACD=∠A+∠B(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).

A

又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义),

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).

小虎:在△ABC中,作CD⊥AB(如图9),

∵CD⊥AB(已知),

∴∠ADC=∠BDC=90°(直角定义). B D C ∴∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形两锐角互余).

∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质).

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,与同伴交流.

专题二 证明中的探究题

4.(1)如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系?为什么?

(2)把图①△ABC沿DE折叠,得到图②,填空:∠1+∠2_______∠B+∠C(填“>”“<”“=”),当∠A=40°时,∠B+∠C+∠1+∠2=______.

(3)如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A=30°,则x+y=360°-

(∠B+∠C+∠1+∠2)=360°- = ,猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为

.

图① 图② 图③

5.如图,已知AB∥CD,探究∠,∠12,∠3之间的关系,并写出证明过程.

【知识要点】

1.判断一件事情的语句叫命题,命题都由题设和结论两部分构成,分为真命题和假命题,都可以改写成“如果??那么??”的形式,任何一个命题都有逆命题.

2.三角形内角和等于180°,可利用平行线的有关知识证明.三角形三个外角的和等于360

°,每个外角等于和其不相邻的两个内角的和,因此三角形的外角大于和它不相邻的任一个内角.

【温馨提示】

1.命题有逆命题,但定理不一定有逆定理.

2.要说明一个命题不成立,只要举出一个反例即可,反例满足命题的题设,但不满足结论.

3.“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”不能说成“三角形的一个外角大于一个内角”.

4.在证明一个命题的正确性时,每步都要有根据,根据可以是公理、定义、已知条件或已经证明的定理等.

【方法技巧】

1.要会判断一个语句是否为命题,需注意两点:(1)命题必须是一个完整的语句,通常是陈述句(包括肯定句和否定句);(2)必须对某件事情做出肯定或否定的判断.两者缺一不可.

2.在证明或计算三角形的角度大小关系时,要注意“三角形三个内角的和等于180°”这一隐含条件,合理地构造方程或方程组,以便正确求解.

3.要证明角的不等关系时,经常用三角形的外角性质来证明,在证明时,如果直接证明有难度,可连接两点,或延长某边,构造三角形,使求证的大角(或它的一部分)处于某个三角形的外角的位置上,小角处在内角的位置上,再结合不等式的性质证明.

参考答案

1.(1)当高AD在△ABC的内部时,因为∠BAD=70o,∠CAD=20o,所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70o+20o=90o;(2)当高AD在△ABC的外部时,因为∠BAD=70o,∠CAD=20o,所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70o-20o=50o.综合(1)、(2)可知∠BAC的度数为90o或50o.

2.证法一:如图1,过点C作CF∥AB。∵AB∥CD(已知),∴CF∥DE(两条直线都

0 0和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),∴∠A+∠1=180 ∠D+∠2=180( 两

0直线平行,同旁内角互补),∴∠A+∠1 +∠2+∠D=360(等式性质),即∠A+∠ACD+∠D

0 =360

证法二:如图2,过点C作CF∥AB。∵AB∥CD(已知),∴CF∥DE(两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),∴∠A=∠ACF ∠D=∠DCF( 两直线平行,

00内错角相等),∵∠ACD +∠ACF+∠DCF=360( 周角定义),∴∠A+∠ACD+∠D =360

( 等式性质)

3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.

另证:已知:如图10,△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°. 证明:过点A作EF∥BC,

∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C(两直线平行,内错角相等).

∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角定义), ∴∠B+∠BAC+∠C=180°.

4.(1)∵∠1+∠2+∠A=180°, ∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°),

∴∠1+∠2=∠B+∠C(等式的性质);

(2) = 280°

(3)300° 60° ∠BDA+∠CEA=2∠A

5.∠1?∠3?∠2?180.

证明:如图6,连接AC.∵AB∥CD(已知),

∴∠BAC?∠DCA?180(两直线平行,同旁内角互补).

又∵∠2?∠EAC?∠ECA(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和), ∴∠BAC?∠1?∠EAC,∠DCA?∠3?∠ECA, ??

1?∠EAC?∠3?∠ECA?180, ∴∠

也就是∠1?∠3?(∠EAC?∠ECA)?180,

??

即∠1?∠3?∠2?180.

?

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com