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八下数学培优:平行四边形(3)

发布时间:2014-01-30 16:35:56  

第十讲:平行四边形(二)——矩形

【知识导航】:

矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

矩形性质1 矩形的四个角都是直角.

矩形性质2 矩形的对角线相等.

直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(1)矩形的判定方法有以下三种:①一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;③有三个角是直角的四边形.

(2)而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类.通过讨论得到矩形的判定方法.

矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形.

矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形.

【典例讲解】:

例1 已知:如图 ,矩形 ABCD,AB长8 cm ,对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.

例2 已知:如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC. 求证:CE=EF.

例3.已知:如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE

平分∠BAD,∠AOD=120°,求∠AEO的度数.

例4(补充)已知:如图(1),ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.

1

例5、如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,按下列要求折叠,试求出所要求的结果:

(1)如图1,把矩形ABCD沿对角线BD折叠得△EBD,BE交CD于点F,求S△BFD;

(2)如图2,折叠矩形ABCD,使AD与对角线BD重合,求折痕DE的长;

(3)如图3,折叠矩形ABCD,使点B与点D重合,求折痕EF的长;

(4)如图4,E为AD上一点,把矩形ABCD沿BE折叠,若点A恰好落在CD上的点F处,求AE的长;

EFCDFCDCDFCDFE A BAABBABEE

【反馈练习】:

1.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD沿CE

折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点 F处.则EF的长

为( )

A.3 B. 2.5 C. 2 D. 1

2.如图将矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使C点落在E点处,BE交AD于F点,

若AD=8,AB=4,求三角形BFD的面积。

A

BC

3.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8, O是对角线AC上的中点,EF⊥AC交BC于E,交AD于F点,求四边形AECF的面积。 A

BC E

2

4.如图,将矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,在把B点叠在折痕MN上为F点,若AB=3,则折痕AE的长为

BE

C

MN

DA

5.如图19-23,已知矩形ABCD中,AC与BD相交于O,DE平分∠ADC交BC于E,∠BDE=15°,试求∠COE的度数。

图19-23

6.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,对角线AC、BD相交于点O,且BE:ED=1:3,AD=6cm,求AE的长.

7.如图7,在△ABC中,AD为边BC的中线,点E为AD的中点,

且EF=BE,在△ABC中添加一个条件____________,使四边形

ADCF是矩形.

思考题:,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC.

(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1).

①设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积;

②若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长.

(2)如图2,若PA2+PC2=2PB2,请说明点P必在对角线AC上.

AD AD

P

BBC P′

图图

3

探究题:

1.如图,(1)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是线段AD上的动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,如图图1,图2,选择其中一个图形,探究PE,PF的之间存在什么数量关系?并证明你的结论。

(2)若将“P是线段AD上的动点”改成“P是线段AD延长线上一动点”,如图所示,请继续探究PE,PF的之间存在什么数量关系?并证明你的结论。

2已知正△ABC和正△ADE摆放如图1,点D,E分别在边AB,AC上,以AB,AE为边做平行四边形ABFE,连接CF,FD,DC.

(1)证明:△CFD为等边三角形;

(2)将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,如图2,其它条件不变, 证明:△CFD为等边三角形.

C

EFF

D

DABAB 图2 图1

4

3、如图1,ABCD是矩形.(1)把矩形沿直线BD折叠,点C落在E 处,连接AE,四边形ABDE是什么图形?试证明你的结论;

D

图1

C

(2) 如图2,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平.再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到了线段BN.猜测∠DMN的度数为 ,并证明你的结论.

D

F N 图2

C

(3)如图3,点P是AD上一点,作PM⊥AC于M,PN⊥BD于N,DH⊥AC于H,完成图3,并给出线段PM、PN、DH之间确定的数量关系.(不需证明)

D P

图3

C

〖大考重点题分析〗

1.已知Rt△ABC中,∠A=90°,AC=8,BC=10,将△ABC沿直线ED折叠,使点B与点C重合,点A落在点F处,如图所示.

(1)求AB的长;

CDE)的面积.

C

5

2.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.

(1)求证:△ACE≌△ABD;

(2)若AC=2,EC=4,DC=22 .求∠ACD的度数;

(3)在(2)的条件下,直接写出DE的长为 .(只填结果,不用写出计算过程)

B

3.如图1,点A(a?3,b+1),B(a?,b﹣1)都在反比例函数y?(x>0)的图象上.

(1)求a、b之间的关系式;

(2)把线段AB平移,使点A落到y轴正半轴上的C点处,点B落到x轴正半轴上的D点处,求点O到CD的距离;

(3)在(2)的条件下,如图2,当∠BAD=30°时,请求出k的值.

6 kx

课后思考:

1.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=DC,连结CF.

(1)求证:D是BC的中点;

(2)如果AB=AC,试猜测四边形ADCF的形状,并证明你的结论.

2.如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,若将矩形折叠,使点B与D重合,求折痕EF的长。

3.已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.

求证:AE平分∠BAD.

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拓展、探究、思考

4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD?.

(1)在边CD上找一点E,使EB平分∠AEC,并加以说明;

(2)若P为BC边上一点,且BP=2CP,连结EP并延长交AB的延长线于F. ①求证:AB=BF;

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能,加以证明,并写出旋转度数;若不能,请说明理由。

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