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八年级数学培优卷――等腰(边)三角形全等辅助线

发布时间:2014-01-31 11:38:19  

初二数学培优卷――等腰(边)三角形2

难点★★★

1.已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的顶角为 。

2.已知等腰三角形两腰上的高或其所在直线相交所成的锐角是50°,求这个三角形的顶角的度数。

3.在△ABC中,AB = AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角是50°,求∠B的度数。

3(变). 在等腰△ABC中,一腰上的高线为BD,且∠DBC=40度,则顶角的度数为多少度?

4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(2,-2),在y轴确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点有 ( )

A.2个 D.3个C.4个 D.5个

5.如图,正方形ABCD。

在平面上有一点P可以使△PAB

△PBC△PCD △PDA 都是

等腰三角形这样的点有 个

6、如图7:AB=AC=BD,则∠1和∠2的关系是( )

A. ∠1=2∠2

B. 2∠1+∠2=180o

C. ∠1+3∠2=180o

D. 3∠1-∠2=180o

1

7.如图,在△ABC中,AB=AC,,∠BAD=30°,AD=AE.求∠CDE的度数.若∠BAD=40呢?

A

B

8、如图,在△ABC中,D是BC边上一点AD=BD,AB=AC=CD,求∠BAC的度数。

B

9.已知:如图,△ABC为正三角形,D是BC延长线上一点,连结AD,以AD为边作等边三角形ADE,连结CE,用你学过的知识探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系?试写出探求过程.

E

A

B

C

oo10、如图12,在Rt△ABC中,∠ABC=90,D、E在AC上,且AB=AD,CB=CE。求∠EBD的度数。若∠ABC=100呢

2

11.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,求∠BDE的度数.

AD 12.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3, △ABC的高为h.“若点P在一边BC上[如图(1)],此时h3=0可得结论:h1+h2+h3=h.”请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在△ABC内[如图(2)],以及点P在△ABC外[如图(3)]这两种情况时,上述结论是否成立?若成立,请予以证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间又有怎样的关系,请写出你的猜想,不需要证明.

MPC

D E

FBC A

D

13.已知:如图在?ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC交AB于点E,EF⊥AD,垂足是G,

且交BC的延长线于点F。求证:∠CAF=∠B

3

14.已知:如图,在?ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB,垂足是D,CE平分∠ACD,

BF⊥CE,垂足是G,交AC于F,交CD于H,求证:DH=1

2AF。

E D B

15.如图,在六边形ABCDEF中,若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F且AB+BC=11,AF-CD=3,则BC+DE为多少?

E

D

16.如图,已知AD是ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF

求证:AC=BF

E

F

B 4

17.已知:如图,在等边三角形ABC中,D.E.分别是AB.AC边上的点。且BD=AE.EB与CD相交于点O.EF与CD垂直于点F。求证:OE=2OF

A

E

D B C

18.已知?ABC中。BD=CE.DF=EF.求证AB=AC

C

B F

E

11. (提示:连接CE)

13. ∠CAF+∠CAD=∠B+∠BAD

5

14.过E作EM垂直AC.证明DH=MF=AM

16.延长AD=DM连接MB

17. ∠EOF=∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=60

18.过E作EM平行于AB,交BC延长线于M

6

初二数学培优卷――辅助线专题

角平分线:全等:等腰(边)中辅助线的做法典题汇总。

★★★条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线用判别方法 A

D

7

在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系,使条件由隐变显,从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.

★★★条件中没有现成的全等三角形时,会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中,往往不能直接证明一对三角形全等,一般需要作辅助线来构造全等三角形.

★★例1 已知:如图3,AB=AC,∠1=∠2.

求证:AO平分∠BAC.

_ O

_ B_ C

★★★例2 已知:如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD于E,交AB于F,连接DF.求证:∠ADC=∠BDF.

_的中点,B ★★★例3.已知:如图16,AB=AEAF⊥CD. _ ,BC=ED,点A_ F是CDF

求证:∠B=∠E. A

B

E

C上一点,且FD★★★★例4.如图22,AB∥CD,E为ADBE、CE分别平分∠ABC、∠BCD.

求证:AE=ED.

_A

_ _ 平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E. C★★★★例5.如图26,在△BABC中,AB=AC,BD

求证:CD=

1BE. 2

A 8

★★★★例6,在△ABC中,AD平分

∠BAC,AB=AC+CD.

求证:∠C=2∠B.

★★★★★例7 为△ABC的∠A的平分线 AD上一点,AB>AC.

求证:AB-AC>EB-EC. A

★★★★例8.所示,已知AD∥BC,∠1=∠2, ∠3=∠4,直线DC过点E作交AD于点D,交 BC于点C.

求证:AD+BC=AB. EDBC

CE D

43 AB

★★★★例9如图34,△ABC中,∠ABC=90o, AB=BC,AE是∠A的平分线,CD⊥AE于D. 求证:CD=1AE. 2A

BC D

★★★★例10.如图,△BDE是等边三角形,A在BE延长线上,C在BD的延长线上,且AD=AC。求证:DE+DC=AE。

9

★★★例11.已知AC=BD,AD⊥AC于A ,BC⊥BD于B, 求证:AD=BC

BA

DC

★★★例12知:如图10-1;AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:∠A=∠D。

ADBC

★★★例13. 如图2-8-1,

求证:DF=EF。

DC B F 中,AB=AC,F为BC上一点,E为AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于F。 E

★★★★例14.如图2-8-8 P是等边△ABC外的一点,∠APB=∠APC=60°,求证:PA=PB+PC。

10

★★★★★例15.如图2-8-10,AC=BC,∠C=20°,又M在AC边上,N在BC边上且满足∠BAN=50°,∠ABM=60°,求∠NMB的度数。

1.连接BC

2.过B作BG重直于CB交CF于G.

4过E作EF垂直BA,EH垂直DC。EG垂直BC

5. 分析:要证CD=1BE,可将BE分成两条线段,然后再证明CD与这两条线段都相等.过D作DF平行于AB交BC2

于F

13.以D为圆心DE为半径做弧交EF于点G.

14.在PA上截取PD=PB.连BD.

15.30°

简解:易证AB=BN,∠AMB=40°,

如图2-8-11,作等腰△BAD,使BD=BA=BN,

11

又∠ABD=180°-2∠CAB=20°,∴∠DBN=80°-20°=60°, ∴△BDN是等边三角形,BD=DN,又在△BDM中,

∠DBM=∠DMB=40°,故△DMB为等腰三角形,由 ∠MDN=180°-∠ADB-∠BDN=40°知,

DN=DM=DB

∴∠NMB=∠NMA-∠BMA=70°-40°=30°。

12

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