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一元二次方程中考学常考点

发布时间:2014-01-31 12:35:57  

一元二次方程是初中数学的重点内容,是中考中代数部分的重点和热点。但在解一元二次方程有关问题时。许多学生常常由于忽视一些概念,原理以及题目自身的隐含条件,从而导致错解。现就几种常见的错误例题分类加以剖析,以便借鉴,供大家参考。

1 在运用一元二次方程概念时常见的错误

1、 忽视二次项系数a≠0

例1、(2011山东威海)关于x的一元二次方程(m2-1)x2+(m-2)x+2=0有一根为x=

2,则m的值是( ).

33B.1C.-或1D.±1 22

错解:因为方程有一根为x=2,利用根的定义,代入原方程,整理得,2m2+m-

33=0, 解这个关于m的方程得,m1=-,m2=1, 故选答案C. 2

错因分析:所求的m的值必须保证原方程为一元二次方程。由于当m=1时,m2-1=0,原方程二次项系数为零,可化为-x+2=0,为一元一次方程,与条件(m2-1)x2+(m-2)x+2=0为关于x的一元二次方程矛盾,故可知选C错误。

正解:因为方程有一根为x=2,利用根的定义,代入原方程,整理得,2m2+m-

33=0, 解这个关于m的方程得,m1=-,m2=1,又因为(m2-1)x2+(m-2)x+2=0为关2

3于x的一元二次方程,所以m2-1≠0,即a≠±1,所以m=-,故正确答案应为A. 2

2、忽视未知数的最高指数为2 A.-

例2、若关于x的方程xa2?2a?1-(9-a2)x-17=0 的两根互为相反数,则a的值为( )A、2 B、3 C、-3 D、±3

错解:∵方程的两根互为相反数,∴x1+x2=9-a2=0,即a±3,故应选答案D。

错因分析:由于条件提出方程有两根,所以关于x的方程xa2?2a?1-(9-a2)x-17=0是一元二次方程,故根据两根互为相反数,计算出的a的值,必须保证方程为一元二次方程。当a=-3时,原方程可化为x14-17=0不为一元二次方程,故可知选D错误。

正解:∵方程的两根互为相反数,∴x1+x2=9-a2=0,即a±3。当a=3时,a2-

2a-1=2,所以原方程为一元二次方程,故a=3合适,当a=-3时,a2-2a-1=14,所以原方程不为一元二次方程,故a=-3舍去,综合可知,a=3,故应选答案 B。

3、忽视方程类型是否明确

例3、(2010甘肃兰州) 已知关于x的方程(m-1)x2+x+1=0有实数根,则m的取值范围是 .

?m?2,?m?2?0,?错解:由题意知,?解得?5,故可知m的取值范围是2m?,?(?2)?4?(m?2)?1?0,?4?

5m≤,且m≠1。 4

错因分析:题设中未明确已知方程的所属类型,由于未知数x的最高指数为2,因此原方程有实数根,则原方程可分为一元二次方程有实数根和一元一次方程有实数根两种情况,显然误解中只考虑到一元二次方程有实数根这一种情

5况,故m的取值范围是m≤,且m≠1是错误的。 4

正解:①当m-1≠0,即m≠1时,原方程为一元二次方程。因为关于x的方程(m-

551)x2+x+1=0有实数根,则(?2)2?4?(m?2)?1?0,解得m≤。即m≤,且m≠1. 44

②当m-1=0,即m=1时,原方程可化为x+1=0,所以当m=1时,关于关于x的方程(m-1)x2+x+1=0为一元一次方程,解这个方程得,x=-1,可知此时关于x的方程(m-1)x2+x+1=0也有实数根,即x=-1.

5综合①②可知,m的取值范围是m≤. 4

4、忽视概念满足的条件

例4(2011甘肃兰州,1,4分)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ).

A.x?212B.ax?bx?c?0 ?02x

22C.(x?1)(x?2)?1D.3x?2xy?5y?0

错解:一元二次方程的一般形式为ax?bx?c?0,故可知选B。

错因分析:一元二次方程应同进满足三个条件:一元、二次、整式方程,即一个未知数,最高项的系数为2次,同时方程在形式上要是整式方程。方程ax?bx?c?0中并没有条件“a≠0”,则当a=0时,方程ax?bx?c?0就不是一元二次方程。故可知选B错误。

正解:A选项中方程中含有分式,它不是整式方程,故A选项不是一元二次方程;B选项中方程不一定满足“a≠0”的条件,故B选项不一定是一元二次方程;D项中含有两个未知数,最高项的次数为2(实际上每项次数均为2),故为二元二次方程,也不是一元二次方程;C选项中方程经过后是方程x2+x-3=0,能同时满足一元二次方程的三个条件,故可知选C. 222

2 、 在解一元二次方程时常见的错误

忽视等式的基本性质造成失根

(2011四川南充市,6,3分) 方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )

A.2 B.3 C.-1,2 D.-1,3

【答案】D

错解:原方程两边都除以(x+1),解得x=3,故可知选B。

错因分析:误解中解法错在方程两边都除以了代数式x+1,没有考虑x+1是否为零。由等式的基本性质,等式两边同除一个不为零的式了,等式仍成立。根据这一性质,在没有明确x+1是否为零的情问下,方程两边不能贸然除以x+1,否则就会导致原方程在降次过程中产生漏解。

正解:移项,得(x+1)(x-2)-(x+1)=0,分解因式,得(x+1)(x-3)=0,从而可得x=-1或x=3,故可知选D。

忽视基本解法要领导致解错

例:用配方法解方程4x2-x-3=0.

错解:移项,得4x2-x=3.

13111配方,得(2x)2-x+()2=3+()2,即(2x-)2=. 4222

1?1?1可得,2x-=±,所以x1=,x2=。 4422

错因分析:一元二次方程的解法主要有四种:开平方法、配方法,公式法和因式分解法,每一种解法,均有要求。注意并按照解法要求去解一元二次方程是能否正确解方程的关键。本题由于没有按照配方法解一元二次方程的要求来解,产生了两处错误:第一处是配方方法错误。配方法解一元二次方程,当二次项系数不为1是,一宁要先将二次项系数化为1,然后两边再加上一次项系

11数一半的平方;第二处是配方过程错误。(2x)2-x+()2≠(2x-)2,导22

11致配方错误,从而使方程解错,正确的应该是(2x)2-x+()2≠(2x-)44

2。

正解:移项,得4x2-x=3.

13二次项系数化为1,得x2-x=。 44

1314911配方,得x2-x +()2=+()2,即(x-)2=。 4486488

317可得,x-=±。所以x1=1,x2=-。 488

三、 在运用一元二次方程根的判别式时常见的错误

1、 待定字母系数的取值忽视a≠0

( 2011重庆江津, 9,4分)已知关于x的一元二次方程(a-1)x-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )

A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<-2· 2错解:因为关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,所以△=(-2)2-4(a-1)>0 ,解得a<2,∴a<2,方程有两个不相等实数根,故可知选A。

错因分析:因方程有两个不相等实数根,则Δ>0,得到a<2.这里,忽视了一元二次方程对二次项系数的要求,即用判别式时,一定要要注意二次项系数不能为0。 正解:因为(a-1)x2-2x+1=0是关于x的一元二次方程,所以a-1≠0,即a≠1。因为

2方程(a-1)x-2x+1=0有两个不相等的实数根,所以△=(-2)2-4(a-1)>0 ,解得

a<2。综合可得,a<2且a≠1。故可知选C。

2、 待定字母系数的范围忽视其他条件

例6、(2010湖北孝感,22,10分)已知关于x的方程kx2-2(k-1)x+ =0有两个实数根x1,x2.

(1)求k的取值范围;(4分)

(2)若x1?x2?x1x2?1,求k的值. (6分)

【答案】解:(1)依题意,得??0即[?2(k?1)]?4k?0,解得k?

待定

2

2

1. 2

字母系数的取值忽视实际意义

18.(2010 重庆江津)在等腰△ABC中,三边分别为

a、b、c,其中a?5,若关于x的方程

x2??b?2?x?6?b?0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.

【答案】解:根据题意得:△?

?b?2?

2

?4?6?b?

?b2?8b?20?0

解得:b?2 或b??10(不合题意,舍去)

∴b?2??????????????????????????????4分 (1)当c?b?2时,b?c?4?5,不合题意 (2)当c?a?5时,

a?b?c?12????????6分

(2000广西)已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-(2 相等的实数根,求k的取值范围。 错解:∵依题意得Δ=(-2 0,∴k≠

)2-4(1-2k)·(-1)>0 ,∴k<2 ,又∵1-2k≠

)x-1=0有两个不

诊断:误解中只注意到了Δ>0和二次项系数1-2k≠0 ,但没有注意到方程中一次项系数-2

对k的限制,故导致误解,若使-2

四、 在运用一元二次方程根与系数的关系时常见的错误 1、 待定 字母系数时忽视Δ≥Ο

例7、(2000江苏南通)已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的两个实数根为x1 x2 ,且x12+x22=25 ,求m的值。

错解:∵x1 ,x2是关于x方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的两个实数根,∴由根与系数的关系得x1+x2=1-2m ,x1·x2=m2+3 ;∵x12+x22=25 ,∴(x1+x2)2-2x1x2=25 ,即(1-2m)2-4(m2+3)=25 ,解之m1=-3 ,m2=5 ,故m的值为-3或5 。

诊断:因为利用根与系数的关系求出的字母系数的值必须使一元二次方程有两个实数根,所以要注意验字母系数的值是否满足根的判别式Δ≥Ο,而此题当m=5时,Δ=-31<0 ,方程则无实数根,从而要舍去m=5 ,故m的值为-3 。

有意义,则k+1

,故k的取值范围为k<2且k≠

≥0,即k≥-1 ,又因为k<2且k≠ ,所以正确答案应为-1≤k<2且k≠

10.(2011四川乐山23,10分)选做题:从甲、乙两题中选做一题,如果两题都做,

只以甲题计分。

22

题甲:已知关于x的方程x?2(a?1)x?a?7a?4?0的两根为x1、x2,且满足

x1x2?3x1?3x2?2?0.求(1?

【答案】

4a?2

的值。 )?2

a?4a

2

解:∵关于x的方程x?2(a?1)x?a?7a?4?0有两根x1,x2

2

?x1?x2?2?2a

??

∴?x1?x2?a2?7a?4 ?22????4?a?1??4a?7a?4?0

??

即:a??1

∵x1x2?3x1?3x2?2?0 x1?x2?3?x1?x2??2?0 ∴a?7a?4?3?2?2a??0

2

解得a1??3,a2?4 ∵a??1 ∴a?4 把a?4代入(1?

4?4?2464a?2?1????2 ,得:)????16?4434a2?4a??

2、求字母系数时忽视其他条件的限制

例8、(2000上海)已知关于x的一元二次方程mx2-(2m-1)x+m-2=0 (m>0) ①略 ②如果这个方程两个实数根分别为x1 、 x2 且(x1-3)(x2-3)=5m ,求m的值。

错解:②∵x1 , x2是已知方程的两根,则x1+x2=

x1·x2=

,解 ,

又∵(x1-3)(x2-3)=5m ,∴x1·x2-3(x1+x2)=5m ,即

之m1=1 ,m2=-

Δ=

,又∵当m1=1时,原方程Δ=5>0 ,当m2=- 。 时,原方程 >O ,∴m的值为1或

诊断:此题求出的字母系数m1=1 ,m2=- ,虽然使原方程Δ>O,满足方程有

两个实根,但未能注意到题目条件m>O ,故m的值应为1 。

(2011四川南充市,18,8分)关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。

(1)求k的取值范围;

(2)如果x1+x2-x1x2<-1且k为整数,求k的值。

【答案】解:∵(1)方程有实数根 ∴⊿=22-4(k+1)≥0

解得 k≤0

K的取值范围是k≤0

(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=-2, x1x2=k+1

x1+x2-x1x2=-2,+ k+1

由已知,得 -2,+ k+1<-1 解得 k>-2

又由(1)k≤0

∴ -2<k≤0

∵ k为整数 ∴k的值为-1和0.

3、 求作新的一元二次方程时忽视符号

例9、(2000辽宁)下列一元二次方程中,两根分别为-1+ ,-1- 的方程是( )

A、x2+2x+4=0 B、x2+2x-4=O C、x2-2x+4=0 D、x2-2x-4=0 错解:∵(-1+ )+(-1- )=-2 ,(-1+ )(-1- )=-4 ,∴方程为x2-2x-4=0 ,故选答案( D )。

诊断:以x1 , x2为两根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0 ,在此要注意

两根之和,两根之积的符号,误解中忽视了一次项系数的符号,正确的方程应为x2+2x-4=0 ,故选答案( C )。

4、 求与两根有关的代数式的值时忽视根的符号

例10、(1999江苏泰州)已知α、β是方程x2+5x+3=0的两根,求 α

+β 的值。

错解:∵ α

+β =

。 ,而αβ=3, ∴所求的代数式为2

诊断:∵α+β=-5 ,αβ=3 ,可知α<0 ,β<0 ,

∴α

江苏南京x2+4x+1=0

已知实数x与y满足x+y=-4,xy=2,试求出+β = xy+的值. yx 。

分析:利用二次根式非负性可知,xxyy≥0,≥0,≥0,≥0.即计算的结果yxyx

为非负数.借助x+y=-4,xy=2,利用有理数加法和乘法符号法则可确定出x与y的符号,从而化简xy+可计算出其值. yx

解答:因为xy=2>0,所以可知实数x与y同号.

因为x+y=-4<0,所以可知实数x与y同为负数. 故原式=xy2xy1x?y2122+=+=(+)=-×y2(?y)2xy(?x)2?x?yx2

=-2×?4=22. 2

说明:本题充分应用二次根式隐含条件和算式x+y=-4,xy=2,所隐含的有理数加法和乘法符号法则,准确确定了实数x与y的符号,借助二次根式a的非负性,确定结果应是非负数是本题能准确计算的关键.另外,本题的化简应本着“简”为主,故以下化简x2方式可能更简单:原式=+xy

(?x)2y2?x?y4(?y)2=+===22. xy2222

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