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【课件】第三章图形的全等(复习)

发布时间:2014-01-31 12:36:09  

三角形全等的条件(复习)

知识梳理:
1:什么是全等三角形?一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形? 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 2:全等三角形有哪些性质?
(1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。

(2):全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。 3:三角形全等的判定方法有哪些? SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)

方法指引
证明两个三角形全等的基本思路:
找第三边 (SSS) (1):已知两边---- 找夹角 (SAS) 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角,找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 练习

(3):已知两角---

例1:已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,AD=BF, 求证:∠E=∠C 证明:∵ AD=FB ∴ AD+DB=BF+DB 即AB=FD 在△ABC和△FDE中 AC=FE BC=DE AB=FD ∴ △ABC≌△FDE ∴ ∠E=∠C (SSS) E A D B F C

练习1:如图,AB=AD,CB=CD.
求证: AC 平分∠BAD 证明:在△ABC和△ADC中
A

AC=AC AB=AD CB=CD ∴ △ABC≌△ADC (SSS) ∴ ∠BAC= ∠DAC

B

C

D

∴ AC平分∠BAD

例2:如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证:DC∥AB
D
O A B

C

证明:在△ABO和△CDO中 OA=OC

∠AOB= ∠COD
OB=OD ∴ △ABO≌△CDO (SAS) ∴ ∠A= ∠C ∴ DC∥AB

练习2:已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在 一条直线上求证:BE=AD E 证明: ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA B C D A

在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA

变式:以上条件不变,将

DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD

△ABC绕点C旋转一定角度 (大于零度而小于六十度), 以上的结论海成立吗?

例3:如图,OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC
AO平分∠BAC吗?为什么? 答: AO平分∠BAC
理由:∵ OB⊥AB,OC⊥AC ∴ ∠B=∠C=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中 A O B

OB=OC
AO=AO ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO (HL)

C

∴ ∠BAO=∠CAO
∴ AO平分∠BAC

练习3:△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE、DF 分别垂直AB、AC,垂足为E、F , 求证:EB=FC

A

证明: ∵ AD是角平分线
DE⊥AB DF⊥AC

E B D

F

∴ DE=DF ∠BED=∠CFD=90°
C 在RT△BED和RT△CFD中 DE=DF

BD=CD
∴ RT△BED≌RT△CFD (HL) ∴ EB=FC

例4:如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC , ∠B=∠C,
A D B E C

试问AD=AE吗?为什么?

解: AD=AE
理由: 在△ACD和△ABE中
∠B=∠C AB=AC

∠A=∠A
∴ △ACD≌△ABE (ASA) ∴ AD=AE

练习4: 如图,小明不慎将一块三

角形模具打碎为 两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去, 就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以, 带那块去合适?为什么?

A B

AB

例5:已知 AC=DB, ∠1=∠2. 求证: ∠A=∠D
A 1 2 D 证明:在△ABC和△DCB中 C AC=DB

B

∠1=∠2
BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SAS)

∴ ∠A=∠D

练习5:如图,已知E在AB上,∠1=∠2, ∠3=∠4,那么AC等于AD吗?为什么?
C 3 A E 4 D 1 2 B

解:AC=AD

理由:在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4

EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD

例6:如图所示,AB与CD相交于点O, ∠A=∠B, ∠AOC=∠BOD OA=OB 添加条件 ∠C=∠D 所以 △AOC≌△BOD 理由是 AAS ASA
C O B

A

D

例7:如图所示,AB=AD,∠E=∠C
要想使△ABC≌△ADE可以添加的条 件是
∠EDA=∠B AAS A ∠DAE=∠BAC ∠BAD=∠EAC

依据是

E

B

D

C

例8:如图,已知AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,AE=CF 求证:△ABF≌△CDE

D
F E A B

证明:∵ DE⊥AC,BF⊥AC C ∴ ∠AFB=∠CED=90°

∵ AE=CF
∴ AE+EF=CF+EF 即 AF=CE

在RT△ABF和RT△CDE中
AF=CE AB=CD ∴ RT△ABF≌RT△CDE (HL)

例9:如图,已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补
充的条件可以是
或 DC=BF D C

AB=ED

或 AC=EF

或 BC=DF

A

E

F B

返回

练习
1:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:
D

△ABF≌△DEC △ABC≌△DEF △CBF≌△FEC

A

练2

练习
1:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:
D

△ABF≌△DEC

证明: ∵ AB∥DE
A ∴ ∠A=∠D 在△ABF和△DEC 中 AB=DE ∠A=∠D

AF=DC
∴ △ABF≌△DEC (SAS)

练习
1:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:
D

△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF (SAS)

证明: ∵ AB∥DE

A

练习
1:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:

△CBF≌△FEC ∵ △ABF≌△DEC ∴ BF=EC ∵ △ABC≌△DEF ∴ BC=EF 在△CBF和△FEC中 BF=EC BC=EF

证明:
A D

CF=FC
∴ △CBF≌△FEC (SSS)

练习
2:如图,已知,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选出两 个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。 (只写出一种情况)①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知: EG∥AF

求证: A

E B G D C F



练习
3:如图,AB∥A′B′,AC∥A′C′,且BB′=CC′你能 说明AC=A′C′的理由吗?
C C′ B B′ A′ A



总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“

对应边”与“对边”,“对应 角”与 “对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上; (3):要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”

1.如图,∠DCE=90°,CD=CE,AD⊥AC, BE⊥AC,垂足分别为A、B. 求证:AD+AB=BE.

1、已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD ∠AOB=∠COD=50°, (1)求证:①AC=BD;②∠APB=50°. (2)如图②,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD=α ,则AC与BD间的等量关系为 ,∠APB的大 小为 . 2、 如图①A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E、F 分别作DE⊥AC,B F⊥AC,若AB=CD. (1)图①中有 对全等三角形,并把它们写出来 (2)求证:BD与EF互相平分于G; (3)若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时,其余条件不变 第(2)题中的结论是否成立,如果成立,请予证明.

第1题

第2题

交流平台
本节课你还有理解不透彻的地方吗?

祝同学们学习进步

再 见


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