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7.2.2三角形的外角

发布时间:2014-01-31 14:40:48  

什么都没有呀,让人 三角形的内角是三角形内部的 感到很无奈 骄子

只要你添上一笔就精彩了 那三角形的外部呢?

α

外 角

那就 让我们

观察下面一组图形中∠ 1在各个图形中的位置,你能发现它们 的共同特征吗?

A

D
A 1 B 1 C

1
D B C B
·

C

A

D

三个特征:1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上;
2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边; 3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线
外角定义: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 叫做三角形的外角.

画一个三角形,再画出它所有的外角。 想一想: 1、每一个三角形有几个外角?
2、每一个顶点处相对应的外角 有几个? 3、这些外角中有几个外角相等? 4、三角形的每一个外角与三角 形的三个内角有什么位置关系

C
5 3 6 1 2 9 4

A
7 8

B

E

E A

A

B
F

C

D

C F B D

外角
外角

归纳:
1、每一个三角形都有6个外角;
2、每一个顶点相对应的外角都有2个; 3、这6个外角中有3个外角相等。 4、一个三角形的每一个外角对应 一个相邻的内角和两个不相邻的内 角。

趁热打铁:你能在下图中填出已知角是哪个三角形的外角或内角吗?
1.∠ BEF是( △AEC )的外角,也是( △BEF、 △BEC )的内角。 2.∠ BDC是( △ABD )的外角,也是(△BDC )的内角。 3.∠ BFC是( △BEF、 △ CDF )的外角, 、 △CDF

也是(
A E F B

△BFC ) 的内角。



内外角是相对而言的 内外角是相对而言的 . .



想一想:三角形的一个外角与三角形三个内角
之间有何关系?
三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°

1.三角形的一个外角与它相邻的内角之间有何关 系?
已知如图:∠ACD是△ABC的外角, 则 ∠ACD与∠ACB有何关系?并说明理由? 答: ∠ACD与∠ACB互补。理
由如下: 解: ∵ ∠ACD是△ABC的外角,(已知)
∴ ∠ACD+∠ACB=180°(邻补角性质)

A

B

C

D 即: ∠ACD与∠ACB互补。

想一想:
2.三角形的一个外角与它不相邻的两个 内角之间有何关系?

动手长智慧:
在一张白纸上任意画一个三角形ABC, 如图2,把∠B、∠C剪下拼在一起,放到 D A ∠CAD上,看看会出现什么结果?

B 图2

C

∠CAD=∠B+∠C

探究:
你能用推理的方法来论证∠ACD= ∠B+ ∠ A吗?你

能用几种方法呢?相信你一定能行!

A

B

C

D

方法一:

A

B
解:
∵∠ACD+ ∠ACB=180° ∴∠ACD =180 ° -∠ACB

C

D (邻补角的定义)

又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
∴∠A+ ∠B =180 ° -∠ACB ∴∠A+ ∠B= ∠ACD

(三角形内角和180 ° )

(等量代换)

方法二:

擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性 质,看动画,你知道他是怎么解释的吗?哪位同 学证明一下。

(CE//BA)

A

E

1

三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内 角的和

B

C

D

3、三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角
有怎样的大小关系?
∵∠ACD= ∠A+ ∠B

∴∠ACD﹥∠A ∠ACD﹥ ∠B

A

结论:

B

C

D

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻 的内角。

D

三角形外角的性质:
性质1、三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的
B

A

C

和。 ∠B+∠C=∠CAD
性质2、三角形的一个外角大于任何 一个与它不相邻的内角。
∠CAD > ∠B, ∠CAD > ∠C

找出△ABC的所有外角,共有几个外角?
D

H B
1

5
3 F A6

4 G C2

共有6个外角:∠1,

E

∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6。

I

∠1+∠2 +∠3就是▲ABC的外角和

议一议
A
2 5

∠1+∠2 +∠3 = ?
从哪些途径探究这个结果?

B
3

6

4

1

三角形的外角和 等于360°
方法1 方法2

C

A
1

解: ∠1+ ∠BAC=180°

3

∠2+ ∠ABC=180° ∠3+ ∠ACB=180°
三个式子相加得到

B
2 C

∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠BAC+ ∠ABC+∠ACB=540° 而∠BAC+ ∠ABC+∠ACB=180° ∠1+ ∠2+ ∠3=360°

1
B 2

A

4

D

3 C

解:过A作AD平行于BC ∠ 3= ∠ 4 ∠2= ∠BAD ∠2+ ∠ 3= ∠ 4+∠BAD
两直线平行, 同位角相等

所以, ∠1+ ∠2+ ∠3= ∠1+ ∠4+ ∠BAD=360°

快速抢答,看谁答得又快又准。 ∠1=_________+__________ ∠2=_________+__________ ∠2________∠3, 3 ∠ 2________∠4 B

A
4

1

2 D
°

C

1.三角形的外角和是指三角形所有外角和 2.三角形的外角和等于它内角和的2倍。

3.三角形的一个外角等于两个内角的和。
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和。 5.三角形的一个外角大于任何一个内角。 6.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的 内角

求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A

B

E

D C

2、如图,∠A+∠B+∠B+∠D+∠E+∠F的度数.
B A

∵∠A+∠B=∠1, ∠C+∠D=∠2, ∠E+∠F=∠3

C
P

1 2

N

∴∠A+∠B+∠C+∠D+
3
M

F

∠E+∠F=∠1+∠2+∠3

∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+

D

E

∠E+∠F= 360°

学有所用
例1:如图,D是△ABC的BC边上一点,

70°

∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°.
求:(1)∠B的度数; (2)∠C的度数.

A

80°

B

D

C

? 例题2:在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC, ∠B=80° ∠C=30 ° ? (1)求∠DAE ? (2)你能发现∠DAE与∠B、∠C的关系吗?
? (3)若只知∠B-∠C=20°,你能求出∠DAE吗?

A

B D

E

C

例题3:一个零件的形状如图所示,按规定 ∠BAC=90°, ∠B=21°, ∠C=20°,检验 工人量得∠BDC=130°,就断定这个零件 不合格,你能运用所学的知识说出其中的 道理吗? C
D A B

提示:可以先计算出合格时∠BDC的度数,但是∠BDC 与∠A 、∠B、 ∠C不在同一个三角形内,因而无法找到 它们之间的数量关系,因此需要添加辅助

线。那如何添加 辅助线才能建立这几个角之间的联系呢?

例4 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延长 D BC到D,连接DE. 2 求证: ∠1>∠2. C
?证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 ? ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). 4 A ? ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ? ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). ? ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). 3 1 B

F

课堂反馈:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这 个三角形是(c ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D. 无法确定 2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则 ∠DFE等于( B) A.120° B.115° C.110° D.105°
A
F D C

B

E

120 ° 3.如图所示,∠1=_______.
80 ° 1 140 °

4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为 30 或75° _____. 5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则 120° ∠BDC=________.
A D
B C

6.把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大 到小的顺序排列

∠1 > ∠2 > ∠3

如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC 的三个外角,你能利用三角形的内角 和等于1800求出这三个外角的和吗?
E A

B
F

C

D

三角形的三个性质
①三角形的一个外角与它相邻的内角 ② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。


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