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8.4_三元一次方程组的解法(1)

发布时间:2014-01-31 15:37:28  

问题情境1 思考
老师今天来的时候给大家带了漫画、 作文、英语读物三种书,共26本,漫画 书比作文书多1本,漫画书的两倍与英 语读物的和比作文书多18本,问老师 每种书各带了多少本?
这 里 有 几 个 未 知 量 ? 有 几 个 等 量 关 系 ? 可 列 出 几 个 方 程 ?

? x ? y ? z ? 26 列式: ? ?x ? y ? 1 ?2 x ? z ? y ? 18 ?

(1) ( 2) (3)

问题情景2 思考
今有上等谷子三捆,中等谷子二捆,下等谷 子一捆,共得谷子三十九斗;如果有上等谷 子二捆,中等谷子三捆,下等谷子一捆,共 得谷子三十四斗;上等谷子一捆,中等谷子 二捆,下等谷子三捆,共得谷子二十六斗。 问上中下三等的谷子每捆各可得几斗?
解:上等谷子一捆有x斗,中等谷子一捆有y斗,下等谷子 一捆有z斗。 按题意,得方程组: ?3 x ? 2 y ? z ? 39 这 里 有 几 个 未 知 量 ? 有 几 个 等 量 关 系 ? 可 列 出 几 个 方 程 ?

? ?2 x ? 3 y ? z ? 34 ? x ? 2 y ? 3 z ? 26 ?

二元一次方程组 的概念

共含有两个未知数, 含有未知数的项的次数 都是一次,共含有两个方 程

复 习 回 顾

解二元一次方程 组的基本思想和 方法

基本思想是消元, 基本方法是代入 法和加减法。

?3 x ? 2 y ? z ? 39 ? ?2 x ? 3 y ? z ? 34 ? x ? 2 y ? 3 z ? 26 ?

? x ? y ? z ? 26 ? ?x ? y ? 1 ?2 x ? z ? y ? 18 ?

(1) ( 2) (3)

这两个方程组都不是二元一次方程组.那么它 们与二元一次方程组的区别在哪里?它们有什么 共同特点呢? 特点: ①共含有三个未知数; ②含未知数的项的次数都是1.

③共含有三个方程.

共含有三个未知数,含有未知数的项的次
数都是一次,并且共含有三个方程,像这样 的方程组叫做三元一次方程组。

?x ? y ? z ? 2 ? ?x ? y ? z ? 0 ?x ? z ? 4 ?

?x ? y ? 3 ? ?y ? z ? 5 ?z ? x ? 4 ?

?x ? y 2 ? 3 ? ?y ? z ? 5 ?z ? x ? 4 ?

? x ? y ?1 ? ? y ? 2x ? 3 ? x ?1 ?

如何求解三元一次方程组?
解三元一次方程组 的基本思想呢? 是不是也是先设法 消去一个未知数,将 “三元”转化为“二 元”,再把“二元”转 化为“一元”呢? 试一试吧!

解二元一次方程 组的基本思想是: 设法消去一个未 知数,将“二元”转 化为“一元”。

二、例题讲解
用消元法解三元一次方程组,要先观察方程组
中未知数的系数情况,然后再决定是用代入

? 例1 解三元一次方程组

法还是用加减法来解

? 3x ? 4 z ? 7 ? ? 2x ? 3y ? z ? 9 ?5 x ? 9 y ? 7 z ? 8 ?

练习1:解方程组

?x ? y ? z ? 2 ① ? ?x ? y ? z ? 0 ② ? x?z ?4 ③ ?

分析:方

程组中的方程③ 是关于x、z的二元一次方程,因此 只需把方程① ②中的另一个未知数 y消去,得到的一 个新方程中只含有x、z,再与方程③ 连立就构成了一 二元一次方程组了。

练习1:解方程组

?x ? y ? z ? 2 ① ? ?x ? y ? z ? 0 ② ? x?z ?4 ③ ?
∴ z=-1.5

解: ①+ ②,得: 2x+2z=2 即: x+z=1 ③+ ④ 得: 2x=5 ∴ x=2.5 把 x=2.5 代入③,得: 2.5-z=4

把 x=2.5 ,z=-1.5代入②,得:
④ 2.5-y+(-1.5)=0 ∴ y=1

? x ? 2 .5 ? ∴原方程组的解为: ? y ?1 ? z ? ? 1 .5 ?

练习2:解方程组

?x ? y ? 3 ? ?y ? z ? 5 ?z ? x ? 4 ?

① ② ③
你还有其它方法吗?

解: ③- ②,得: x-y=-1 ④

①+ ④ ,得: 2x=2 ∴ x=1 把x=1代入方程①、③ ,分别得: y=2 , z=3 ? x ?1 ? ∴ 原方程组的解是 ? y ? 2 ?z ? 3 ?

变式练习
(1) 已知如下方程组,求 x? y?z ??

? x ? 3 y ? 23 ? ? y ? 3 z ? 27 ? z ? 3 x ? 22 ?

返回

变式练习:

? x ? y ? z ? 11 ① ? (2) 解方程组 ? y ? z ? x ? 5  ② ? 注意技巧 ? z ? x ? y ? 1  ③

任何两式相加都可以消去二元求一元 解:①+②,得 2y=16 ∴y=8 ①+③,得 2z=12 ∴z=6
?x ? 6 ? ②+③,得 2x=6 ∴ x=3 ? ? y ? 8 ?z ? 3 ?

说说你的 收获

(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法 加减法比较常用. (2) 解三元一次方程组的基本思想是消元, 关键也是消元。我们一定要根据方程组 的特点,选准消元对象, 定好消元方案. (3) 解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.

三元一次方程组

求出第三个未知数的值

二元一次方程组

求出第二个未知数的值

一元一次方程

求出第一个未知数的值

第114页第1、2题

今天的作业!

祝同学们学习进步!


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