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2.1(5)(6)两圆的公切线

发布时间:2014-01-31 15:37:30  

2.1 (4) 两圆的公切线

课前复习
什么是切线长?怎样计算呢?
A

·
O

·
· B

P

PA= OP 2 ? R 2

很多机器上 的传动带与主动轮、从动轮之间的 位置关系 , 给我们以直线和两个圆同时相切的形象 .

定义:
和两圆都相切的直线 , 叫做两圆的公切线 .

两个圆都在公切线的同旁时,这样的公切线 叫做 外公切线 .

两个圆在公切线的两旁时 , 这样的公切线,
叫做 内公切线 .

位置关系 内公切线 外公切线 内公切线数 内公切线数 外公切线数 图 形 图 形内公切线数 图 形

外公切线数 外公切线数

公切线

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第一种: 外离

·

R

d

·

r

d>R+r

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第一种: 外离

·

R

d

·
外公切线:2条

r

内公切线:2条 公切线共4条

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第二种: 外切

·

R

d

·

r

d=R+r

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第二种: 外切

·

R

d

·
外公切线:2条

r

内公切线:1条 公切线共3条

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第三种: 相交

·

R

d

·

r

R-r < d<R+r (R>r)

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第三种: 相交

·
内公切线:0条 公切线共2条

R

d

·

r

外公切线:2条

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第四种: 内切

· · d
d=R-r

R

r

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第四种: 内切

· d·
内公切线:0条 公切线共1条 外公切线:1条

R

r

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第 五种:内含

· ·
d

R

r

同心圆是内 含的一种特 殊情况 (R>r)

d<R-r

圆和圆有几种位置关系?各种位置 关系内外公切线各有几条?共几条? 第 五种:内含

· · d
内公切线:0条 公切线共0条 外公切线:0条

R

r

位置关系 内公切线 外公切线 内公切线数 内公切线数 外公切线数 图 形 图 形内公切线数 图 形

外公切线数 外公切线数

公切线

2 1 0 0 0

2 2 2 1 0

4 3

2 1
0

例9 已知:⊙O1、⊙O2 外离,O1O2 = d, 两圆的半径分别为 r1 和r2 ,且r1 < r2, 直线 l 是两圆的一条外公切线,分别 与是⊙O1、⊙O2 相切于A、B两点, 与直线O1O2 相交于P点, A B 求:线段 PO1的长 B
P O1 A P O2

若直线 l 是两圆的内公切线呢?

例10 如图:⊙O1 和⊙O2 内切于点T, 直线MN是经过点T的公切线,⊙O1、 ⊙O2 的半径长分别是5和3,P是MN 上的一个动点,求 PO12 – PO22 的值, 并指出这

个值是否与点P的位置有关
M P

两圆内切时,唯一的 公切线垂直于连心线



O1 O2



T N

2.1 (5) 两圆的公切线

公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.

C

D

P

O1

A B

由圆的对称性可知,图中两圆有两条外

相等 公切线,并且这两条外公切线的长_______.
延长两条切线相交于P点,P点落在连心线上 连心线平分两条外公切线的夹角

·

·

O2

C

D

O1

A B

记⊙O1和⊙O2的两圆的半径分别为r1、r2,

圆心距 O1O2 = d,如何求外公切线的长?

外公切线的长 AB = d 2 ? ( R ? r ) 2

·

·

O2

A

B C 外离两圆有两条内公切线,这两条 内公切线的长相等,且如果它们有交点, 则交点一定在两圆的连心线上。

内公切线的长 AB = d 2 ? ( R ? r ) 2

·

O1

·

O2

已知⊙O1、⊙O2 的半径分别为 4、2, 圆心距O1O2 = 10,⊙O1、⊙O2的

8 内公切线的长为___________

4 6 外公切线的长为___________

例12.如图,⊙O1与⊙O2外切于点T, AB、CD都是⊙O1和⊙O2的外公切线,A、 B、C、D为切点,AB与CD相交于点P, 如果⊙O1的半径长是⊙O2半径长的3倍, 求AB与CD的夹角的度数.
B A P O1 T O2

例13 如图:⊙O1 和⊙O2 外切于点A,BC 是⊙O1和⊙O2的公切线,B,C为切点, B 求证:AB⊥AC D C
O1


A O2


1°连接O1B,O2C,O1O2 △O1BA与△O2CA是等腰三角形 O1B//O2C 2°相切两圆,通常作两圆的公切线为辅助线 (当两圆外切时,内公切线垂直于连心线) 若连结O1D与O2D,它们的位置关系是______ 垂直

课后总结
两圆的公切线及公切线长的概念: (1) 和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线, 两个圆在公切线的同旁时,这样的公切线 叫做外公切线,两圆在公切线两旁时,这 样的公切线叫做内公切线。 (2) 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长。

两圆公切线的性质:
(1) 两圆的公切线是圆的切线,因此具有圆的 切线的性质、如公切线垂直过切点的半径, 当两圆外切时,内公切线垂直于连心线(左图) 当两圆内切时,外公切线垂直于连心线(右图)
M M O2

O1

P
N

O1 O2

P N

(2) 两圆若有两条外公切线或两条内公切线时,则: ① 由圆的对称性易知:两条外公切线的长相等; 两条内公切线的长相等。 ② 两条外(内)公切线如果相交,那么由轴对称的 性质易知,交点一定在连心线上,且两圆连心 线平分两条外(内)公切线的夹角,
如左图∠APO1=∠CPO1,如右图∠FQO2=∠HQO2
B A P C D
O1 O2 O1

G Q E

F

O2

H


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