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三元一次方程组的(上课)

发布时间:2014-01-31 15:37:38  

小明手头有12张面额分别是1元、2 元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸 币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、 2元、5元的纸币各多少张?
此题是否可以利用二元一次方程组解呢?
元张数+2元张数+5元张数=12张 分析:本题数量关系1 ____________________

例1

纸币问题

1元钱数+2元钱数+5元钱数=22元 ____________________
1元张数=4倍2元张数 _____________________

(1)二元一次方程组法

(2)三元一次方程组法

解:设2元有x张,1 解:设1元的x张,2 元有4x张,5元的y张。元的y张,3元的z张。 x+y+z=12 4x+2x+5y=22 x+2y+5z=22 4x+x+y=12 x=4y

{

{

定义
含有三个未知数,并且含有未知数的 未知数的项的次数都是 1 ,一共有三个方程 项的次数都是1,像这样的整式方程叫 做三元一次方程。 ,像这样的方程组叫做三元一次方程组
含有三个相同的未知数,每个方程中含有





判断下列方程组是不是三元一次方程组?

? x ? y ? z ? 17 ①? ?3x ? y ? 7 z ? 2
方程个数一定是三个

? x ? y ? 16 ②? ?3x ? y ? 2
方程中含有未知数的 个数是三个

×

×






?x ? 2 y ? z ? 3 ? ③ ?3 x ? y ? z ? 2 ?2 xy ? y ? z ? 11 ?

x+y =20 y+z=19

x+z=21
方程组中一共有 三个未知数

方程中含有未知数的 项的次数都是一次

×



?3x ? y ? 2 1、解二元一次方程组? 的方法有哪些? ?2 x ? y ? 3

代入消元法

加减消元法

2、解二元一次方程组的基本思路是什么?

消元
消 元

二元一次方程组

一元一次方程

怎样解三元一次方程组?
三元一次方程组 消元 总 结 二元一次方程组
消元

一元一次方程

三元一次方程组求法步骤:

1.化“三元”为“二(也就是消去一个未知数) 元” 2.化“二元”为“一元”

观察方程组: ? x ? y ? z ? 12, ? ? x ? 2 y ? 5z ? 22, ? x ? 4 y. ?

① ② ③

仿照前面学过的代入法,可以把③分 别代入①②,得到两个只含y,z的方程 ?5 y ? z ? 12 ? ?6 y ? 5 z ? 22

例1

? x ? y ? z ? 12, ? 解方程组 ? x ? 2 y ? 5z ? 22, ? x ? 4 y. ?

1 . 化“三元”为“二元” 解法一:消去y
①+②,得

? x+y+z=2, 例2 解方程组 ? x-y+z=0, ? ? x-z=4. ?

① ②



考虑消去哪个未知数(也就是三个未知数要去掉哪一个?)

2x+2z=2
④ ③ ④

x ? z ?1 x-z = 4

x ? z ?1
2.

化“二元”为“一元” 。

? x+y+z=2, ? ? x-y+z=0, ? x-z=4. ? 解法二:消去x

① ②



由③得,x=z+4 ④ 把④代入①、②得, (z+4)+y+z=2 ⑤ (z+4)-y+z=0 ⑥ 化简得, 2z+y=-2 ⑦

2z-y =-4



? x+y+z=2, ? ? x-y+z=0, ? x-z=4. ?
解法三:消去z
由③得,z=x-4 ④
把④代入①、②得 x+y+(x-4)=2,⑤ x-y+(x-4)=0,⑥ 化

简得, 2x+y=6 4-y=0 ⑦ ⑧

① ②



? x+y+z=2, ? ? x-y+z=0, ? x-z=4. ?

① ② ③

注:如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程(如例2中的③),则可以先通过对另 外两个方程组进行消元,消元时就消去三个 元中这个二元一次方程(如例2中的③)中 缺少的那个元。缺某元,消某元。

在三元化二元时,对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。

解:

2x+2z=2 , 化简,得 x+z=1 ④ x-z=4 ③

①+②,得

? x+y+z=2, ? ? x-y+z=0, ? x-z=4. ?

① ② ③

5 3 把x ? , z ? ? 代入②,得 2 2 5 3 ? y ? (? ) ? 0 2 2



x+z= 1
③+④,得 2x=5



y=1
5 ? ?x ? 2 ? 所以,原方程组的解是 ?y ?1 ? 3 ?z ? ? 2 ?

5 把 x= 2

x ?

5 2

代入③,得
5 ?z?4 2

3 z?? 2



例1 解三元一次方程组
3x+4z=7 ① 2x+3y+z=9 ② 5x-9y+7z=8 ③ 解:②×3+③ ,得 11x+10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x+4z=7 {11x+10z=35 X=5 解这个方程组,得 {Z=-2

分析:方程①中只 含x,z,因此,可以由 ②③消去y,得到一 个只含x,z的方程, 与方程①组成一个 二元一次方程组

1 把x=5,z=-2代入②,得y= 3 因此,三元一次方程组的解为



X=51 Y= 3 Z=-2

例3 解方程组

?x ? y ? 3 ? ?y ? z ? 5 ?z ? x ? 4 ?

① ② ③

1 .

化“三元”为“二元” 可不可以不用①? 解:② - ③ ,得 ④ 原方程组中 y ? x ?1 有哪个方程 y ? x ? 1 ④ 还没有用到 ? x? y ?3 ① 化“二元”为“一元”

2.

例3 解方程组 解:
② - ③ ,得

?x ? y ? 3 ? ?y ? z ? 5 ?z ? x ? 4 ?

y ? x ?1
2x ? 2

① ② ③ ④

① + ④,得

∴ x ?1
把 x=1 代入方程①、③,分别得

y ? 2, z ? 3
?x ? 1 ? 所以,原方程组的解是 ? y ? 2 ?z ? 3 ?

?x ? y ? 3 ? ?y ? z ? 5 ?z ? x ? 4 ?

① ② ③

例3 也可以这样解:
①+②+③,得 即, ⑤-①,得 ⑤-②,得

2( x ? y ? z) ? 12

④ ⑤

x? y?z ?6
z?3
x ?1

⑤-③,得

y?2

所以,原方程组的解是

?x ? 1 ? ?y ? 2 ?z ? 3 ?

解方程组 a-b+c= 0



4a+2b+c=3 25a+5b+c=60

① ② ③

解:
②-①, 得 a+b=1 ④ ③-①,得 4a+b=10 ⑤





a=3 b=-2 代入①,得

C=-5 因此

④与⑤组成二元一次方程组 a+b=1 { 4a+b=10 答:a=3, b=-2, c=-5. a=3 解这个方程组,得{ b=-2



a=3 b=-2 c=-5


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