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一元一次不等式组第五讲

发布时间:2014-01-31 16:42:45  

第四讲一元一次不等式组

温故知新
1、不等式-X>-2的解是(
A. X >2 B. X>-2

C

)
D. X<-2

C. X<2

2、不等式( D )的解 在数轴表示,如图所示: A. X>-1 B. X<-1

-2

-1 0

1

2

C. X≤-1

D. X≥-1

创设情景(一)
为迎接校第七届田径运动

会,学校里将在我们班级里选
拔几位同学(不论男女)组织 彩旗队,但被选拔的同学应 具备下列条件: ①身高X要在1.6米以上(包括1.6米)

②身高X要在1.7米以下.

x≥1.6 x< 1.7

创设情景(二)
田坝中心学校从超市购买了墨水
笔和圆珠笔共15桶,所付金额超

墨水笔

34.

90 元

过570元,但不到580元.已知这两
种笔的单价如图所示,设购买圆 珠笔X盒,你能列出几个不等式? 44.9X+34.9(15-X) <580
圆珠笔

44.

90 元

44.9X+34.9(15-X) >570
定义: 一般地,由几个同一未知数的一元一次不等 式所组成的一组不等式,叫做一元一次不等式组.

议一议: (用数轴来解释)
在① X>-1 ② X>-2 ③ X<-2 ④ X <-1

X≤2

X>-1

X <2

X >1

各个一元一次不等式组中,两个不等式里X的值,

有公共部分的是:
没有公共部分的是:

① ② ③ ④
-2 -2 .

;

-2 -2

-1 0 -1 0

1

2 1 2

-1 0 -1 0

1 1

2 2

定义:
一般地,几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做

由它们所组成的一元一次不等式组的解集(不等式组的解) “有公共部分”
“无公共部分”

不等式组的解集
不等式组无解

求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组, x≥1.6 x<1.7
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

∴不等式组的解集为 1.6≤x<1.7

例1.利用数轴判断下列不等式组是 否有解集?如有,请写出。

?x ?1 (1)? ?x ? 3
0 1

2

3

不等式组的解集为 x< 1

两小取小

例2.写出下列不等式组的解集:

?x ?1 ( 2) ? ?x ? 3
0 1 2

3

不等式组的解集为 x>3

两大取大

例2.写出下列不等式组的解集:

?x ?1 (3)? ?x ? 3
0 1 2
3

不等式组的解集为 1<x< 3

大小小大中间找

例2.写出下列不等式组的解集:

?x ?1 ( 4) ? ?x ? 3
0 1

2

3

不等式组的解集为空集 即:不等式组无解

大大小小解不了

练习1.求下列不等式组的解集:

x ? 3 , x ? 0 , ? 2 , x ? ? , ? ? 1 , ? ?? ? x ? 0 , x ? 3 , ? 3 , ? ( 3 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 8 6 ( 1 ?? ? (7 ) ? 5? ) ? x ? 7 . x ? ? 5 . x ? ? 4 . .. x ? ? ?? 4 ? x? ?? 73 .4

x ? 7 . ?? ?

比一比:看谁反应快

1. 两大取大, 2.两小取小;

3.大小小大中间找, 运用规律求下列不等式组的解集:
4.大大小小解不了。

x ? 3 , x ? ? 1 ? ? 0 , ? x 3 x ? 2 , ?? ? xx ?? 2 , ? 3 , ( 2 ) ( 5 ) ( 6 ) ? 4 ? (( 1 ) 7 ) ? ? 3) ? x ? ? 5 . ? ? x ? 7 . x ? ? 3 . x ? 4 . x ? ? 4 . ? ? ? 7 . ? x ? 7 . ? ?

x<

-2 -2≤ x <1 x>2 x≤ -1<x<4 3<x<7 x<-4 -2 x>-2 x<3 无解

探究活动:
设a<b,你能说出下列四种情况下不等式组的解吗?用 数轴试一试
设a < b X>a X >b 在数轴上表示解 不等式组的解集 规律(口诀)

a a a a

b b

X>b
X<a a<X<b

两大取大

X<a
X <b X>a

两小取小

大小小大中间找

X <b
X<a

b
无解
大大小小解不了

X >b

b

2x+1 < -1 ① 例2.解不等式组: 3-x≥1 ②



解: 解不等式①得: x< -1
解不等式②得: x ≤2
在数轴上表示不等式①、②的解集:
-1 0 1

所以不等式组的解集为:x< -1

2

练习:解不等式组:

?5 x ? 2 ? 3( x ? 1) ? 1、 ? 1 3 x ? 1 ? 7 ? x ? 2 ?2

2 (x+2) < x+5
2、

3 (x-2)+8 >2x

?5 x ? 2 ? 3( x ? 1) ? ?1 3 x ?1 ? 7 ? x ? 2 ?2

① ②

5 解:解不等式①,得 x ? 2
解不等式②,得 x ? 4

0

1

2 2.5 3

4

不等式组的解集是 x ? 4

2 (x+2) < x+5 ①
3 (x-2)+8 >2x ②

解:
解不等式① ,得 x < 1 解不等式② ,得 x >-2
-2 -1 0 1

所以,原不等式组的解集是 - 2 < x<1

例4

解不等式组

?3 x ? 2 ? 0 ? ?5 x ? 4 ? 0 ?2 x ? 6 ? 0 ?

① ② ③

解:解不等式①,得 解不等式②,得

x??
x? 4 5

2 3

x?3 解不等式③,得 在数轴上表示不等式组①②③的解集:
所以这个不等式组的 解集为

4 ? x?3 5

2x ? 1 ?1 ? ?5 例 5 解不等式 3
? 2x ? 1 ? ?1 ? ? 3 ? 解法一:这个不等式可改写成不等式组: ? 2 x ? 1 ? 5 ? ? 3

① ②

解不等式①,得 x ? ?1 解不等式②,得 x ? 8 在数轴上表示不等式组①②的解集:

所以这个不等式组的解集为

?1 ? x ? 8

2x ? 1 ?1 ? ?5 解法二: 3
不等式各项都乘以 3,得

? 3 ? 2 x ? 1 ? 15
各项都加上 1,得

? 3 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1 ? 15 ? 1

? 2 ? 2 x ? 16

各项都除以 2,得 ? 1 ? x ? 8

?x ? m ? 1 例 6、若不等式组 ? 无解, x ? 2 m ? 1 ?

则 m 的取值范围是什么?

分析:要使不等式组无解, 故必须 m ? 1 ? 2 m ? 1 , 从而得 m ? 2 .

例 7 若关于 x

?x ? 4 x ? ?1 ① ? 2 ? 3 ② 的不等式组 ? x ? a ? 0 ?

的解集为 x ? 2 ,则 a 的取值范围是什么?

分析:由①可解出 x ? 2 , 而由②可解出 x ? ?a , 而不等式组的解集为 x 故 2 ? ?a , 即 a ? ?2 .

? 2,

例 8、已知关于 x 的不等式组

x-m≥0 的整数 5-2x>1 解共有 5 个,则 m 的取值范围_____

x-m≥0 可化为 x ≥m 5 -2x>1 x <2 由于有解,∴解集为 m≤x<2 在此解集内包含 5 个整数,则这 5 个整数依次 是 1、0、-1、-2、-3 ∴m 必须满足-4<m≤-3

解:∵不等式组

x ≥-5
(1)不等式组
x> -2

的解集是 ( B

)

A.

x ≥-5

B.

x >-2

C. 无解 D.? 5 ? x ? ?2

≥2 ?x (2)不等式组 ? 的解集是( C ) ≤1 ?x B. x≤2 C. 无解 D. A. ≥2

x

x=2.

例2(1 ).若不 等式组

? x ? 2? m ① ? ? x ? 1? n ②
式组,将m,n看 作两个已知数, 求不等式的解集

的解集是-1<x<2,则m=____, n=____. 这里是一个含x 的一元一次不等 解: 解不等式①,得,x>m-2 解不等式②,得,x < n + 1 因为不等式组有解,所以 m-2 <x< n + 1 又因为 -1<x<2
-1



x





m-2 n+1 m-2= -1 , n + 1 = 2 所以, m=1 , n=1

?x ≥ - 2 (3)不等式组 ? 的解集在数轴表示为( B ) ? x ? ?5

A
.

-5

-2

B
.

-5

-2

C -5
.

-2

D
.

-5

-2

(4)如图:

-1

2.5

4

则其解集是( C )
C.2.5< x ≤4 D 2.5 ? x ? 4

. A. ?1? x ? 2.5

B.

?1 ? x

练习、
(1)若a>b,那么不等式组

{

X<a 的集是( ) X<b

(A)x<a(B)x<b(C)b<x<a(D)无解 (2)若不等式组

有解,那么m的取值范围是 X>m ( ) (A)m>3(B)m ≥ 3(C)m<3(D)m ≤ 3

{

X<3

(3)若不等式组

{

X<b

X>a

(a?b) 无解,那么不等式组

{

X<2 - b X>2- a

的解集是( )

(A)2-b<x<2-a(B)b-2<x<a-2(C)2-a<x<2-b (D)无解 (4)已知关于x的不等式组

则a的取值范围是( ) (D)a<-1或a>2

{

X<2 X>-1 无解,

X>a

(A)a ≤ -1(B)a ≥ 2(C)-1 <a<2

练习3、解下列不等式组.

?2 x ? 1 ? x ? 1, (1)? ?x ? 8 ? 4x ? 1

? x ? 2 ? ?1 (2)? ?3x ? 1 ? 8

(3) 15 ? x ? 3x ? 7 ? 6 x ? 1

7 ? 8? ( x≥3 ) (1 ? x ? ) ? x ? ? 3 ? 3?

解一元一次不等式组的步骤:
1.求出不等式组中各个不等式的解集; 2.利用数轴找几个解集的公共部分: 3.写出这个不等式组的解集;

练一练

选择题: 的解集是( D )

? x≥2 (1)不等式组 ? ? x ≤2
A.x ≥2, B.x≤2,

C. 无解, D.x =2.

? x ? 0.5, (2)不等式组? 的整数解是( C ) ? x ≤1
A. 0, 1 , B. 0 ,
C. 1, D. x≤1.

? x ≥-2, (3)不等式组 ? 的负整数解是( C ) ? x ? ?3 A. -2, 0, -1 , B. -2 C. -2, -1, D.不能确定. ? x ≥-2, (4)不等式组? 的解集在数轴上
表示为

? x ? ?5 ( B )
-2 -2
.

A
.

-5 -5

B D.

-5 -5

-2 -2

C
.

(1)若不等式组?

x?m? 1 (较小) x?2m? 1 (较大)

无解,则

m的取值范围为______________ m≥ 2
m+1≤ 2m - 1
x ?m ?1 (较小) x ?3

m?2 则m的取值范围为_______________
(较大)

(2)若不等式组 ?

的解集为x>3,

3 ? m ?1





1.关键概念: 一元一次不等式组;不等式组的解集. 2.学法指导: 数形结合法,依靠数轴找不等式组的解集.

例1:利用数轴判断下列不等式组是否有解集?如有,请写出。

? x ? ?2 (1) ? ?x ? 3

-2 0

3

不等式组的解集是X>3

? x ? ?2 (2) ? ?x ? 3


-2 0

3

不等式组的解集是X< -2

? x ? ?2 (3) ? ?x ? 3

-2 0

3

不等式的解集是-2<X<3

? x ? ?2 (4) ? ?x ? 3

-2 0

3

无解

练习一 1、关于x的不等式组

?x ? 8 ? ?x ? m


有解,那么m的取值范围是(
A、m>8 D、m≤8 B、m≥8



C、m<8

x ? a ? 2、如果 的解集是x>a,则 ? 不等式组 ? x ? b a_______b。

例1.若不等 式组 解:化简不等式 组得

有解,则m的取值范围是_____
这中间的m当作数轴上 的一个已知数

因为不等式组有解, 所以有 根据不等式组解集的 规律,得
0 m 1 3/2

2

? x? 2 2.已知关于x不 ? ? x? ? 1 无解,则a的取值范围 等式组 是____ ? x ? a ?
解:将x>-1,x<2在数轴上表示出来为
-1 2

要使不等式组无解,则a不能在-1的右 边,则a≤-1

?5 ? 2 x ? ?1 无解,则a的取值范 1.已知关于x不 ? x ? a? 0 围是___ ? a>3 等式组 2 x ? 3 ? 0无解,则m的取值范围 ? 2.若不等式组? ? x ? m 是__________。
一.练习

2、关于x的 不等式组

?x ? 2 ? 1 ? ?x ? a ? 0

的解集为x>3,则a的取值范围是( A )。 A、a≥-3 B、a≤-3 C、a>-3 D、a<-3

(2)已知关于x的 ? 不等式组 ?

x?m?n

的解集为3≤x<5, 则n/m= 解: 解不等式①,得,x≥m+n 解不等式②,得,x <
因为不等式组有解,所以

?2 x ? m? 2n ? 1

这里也是一个含x 的一元一次不等式, (2n+m+1 )÷2 将m,n 看作两个已 知数

m+n≤ x < ( 2n+m+1 )÷2 又因为 3≤x<5
m ? n ? 3 ? ? 2n ? m ? 1 所以 ? ?5 ? 2 ?

解得 ?n ? 4

所以 n/m=4

? ?m ? 1

例3.若

2?x ? 1? ? 5< 3?x ? 1? ? 4的最小整数是方程

2 1 x ? mx ? 5的解,求代数式 m ? 2m ? 11 3 方法:

的值。

解:2(x+1)-5<3(x-1)+4

解得x >-4 由题意x的最小整数解为x =-32.将x的值代入一 1 元一次方程 将x =-3代入方程

1.解不等式,求 最小整数x的值;

解得 m=2 将m=2代入代数式

3
2

x ? mx ? 5
求出m的值.

m

3.将 m 的值代入 ? 2m ? 11 = - 11 含m的代数式

x ? 3 a ? 2 ? 1.不等式 ? 的解集为x>3a+2,则a的 组 ? x? a ? 4
取值范围是 。

? x ? y ? 2k 2.k取何值时, 中的x大于1,y小于1。 ? 方程组 ? x? y ?4 5 x ? 3m m 15 的解是非 3.m是什么正整数时, ? ? 负数 方程 4 2 4 4.关于x的 ? x ? a ? 0 的整数解共有5个, ? 不等式组 则a
?3 ? 2 x? ? 1 的取值范围是 。

课堂练习
1:关于x的方程x-a=1-2x的解是一个非负数, 则a的取值范围是____ 2:若不等式3x-m≦0的正整数解为1,2,3,则 m的取值范围是______ 3:某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30

斤,价 格为每斤x元;下午,他又买了20斤,价格 x? y 为每斤y元,后来他以每斤 元的价格卖 2 完后,结果发现自己赔了钱,原因为( ) A:x<y B: x>y C:x≦y D:x≧y

应用题 1:某渔场计划购买甲乙两种鱼苗共6000尾, 甲种鱼苗每尾0.5元,乙种鱼苗每尾0.8元, 相关资料表明:甲乙两种鱼苗的成活率分别 为90%和95%。 (1)若购买这批鱼苗共用了3600元,求甲乙 两种鱼苗各购买了多少尾? (2)若购买这批鱼苗的钱不超过4200元,应 如何选购鱼苗? (3)若要使这批鱼苗的成活率不低于93%, 且购买鱼苗的总费用最低,应如何选购鱼苗?

2:某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10 辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万 元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车 款不超过55万元。 (1)符合公司要求的购买方案有几种?请说 明理由。 (2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面 包车的日租金为110元,假设新购买的这10 辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金 不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方 案?

应用题:

3:青春商场销售甲乙两种商品,甲种 商品每件进价15元,售价20元,乙种 商品每件进价35元,售价45元。 (1)若该商场同时购进甲乙两种商品 共100件,恰好用去2700元,求购进 甲乙两种商品各多少件? (2)该商场为使甲乙两种商共100件的 总利润(利润=售价-进价)不少于750 元,且不超过760元,请你帮助该商 场设计相应的进货方案。

(2)某童装厂,现有甲种布料38米,乙种布

料26米,现计划用这两种布料生产L,M两种 型号的童装共50套,已知做一套L型号的童 装 需用甲种布料0.5米,乙种布料1米,可获利45 元;做一套M型号的童装需用甲种布料0.9 米,乙种布料0.2米,可获利30元;设生产L 型号的童装为x套,用这些布料生产两种型 号 的童装所获得利润为y元。 (1)写出y(元)关于x(套)的代数式 (2)求出上式中X的取值范围; (3)该厂生产的这批童装中,当L型号的童

1.

熟悉一元一次不等式组 解集的规律.

2. 几个一元一次不等式中含有其它字母参与(如a,m,n等),
一般先将它们看成已知数,再解不等式组的解集. (1) 求出不等式组中各个不等式的解集 (2) 利用数轴找出这几个不等式解集的公共部分 即求出了不等式组的解集 (找不到公共部分则不等式组无解)
(3)在数轴上或用不等式组解集的规律考察参与的字母范围

(注意:邻界点的选取及有无等号)

教学设计:
一、本节的重点: 理解一元一次不等式组及其解集的意义, 二、难点是: 如何找一元一次不等式组的解集, 三、学习本节时应注意以下两点: ①两个一元一

次不等式合在一起组成一个不等式组,要理解其解集 是什么,即一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分, 叫做一元一次不等式组的解集; ②二元一次方程组的解通过消元直接产生,而一元一次不等式组的 解集要借助画出数轴得出。一定要注意:如果不等式组中各个不 等式的解集没有公共部分,那么这个不等式组无解;


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