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一元二次方程的根的判别式

发布时间:2014-01-31 16:42:46  

一元二次方程 的根的判别式

目的要求
? 使学生知道什么是一元二次方程的根的判别 式。
? 使学生会用判别式判定根的情况。

(1)写出一元二次方程的一般形式

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

(2)用配方法将一元二次方程变形为
b 2 b 2 ? 4ac (x ? ) ? 2a 4a 2

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

因为a ? 0, 所以可以把方程的 两边都除以二次项的系 数a, 得
x
2

b c ? x? ?0 a a

移项,得

x

2

b c ? x ? ? a a

配方,得

b b 2 c b 2 x ? x?( ) ? ? ?( ) a 2a a 2a
2



b 2 b ? 4ac (x ? ) ? 2 2a 4a
2

新课教学
现在我们来研究方程

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

变形得到的

b 2 b ? 4ac (x ? ) ? 2a 4a 2
2

首先应说明,对上述方程的左边,是个平方 数,开平方后成两个数和,移项即得 x 。因此可 以不用考虑。我们主要研究方程的右边。

方程右边中,因为 a ? 0 , 所以 因此,对于被开方数

4a 2 ? 0 。 2 b ? 4ac 2 4a
就可以了

来说,只需研究 b 2 ? 4ac 下面结合提问进行讨论

b ? 4ac ? 0 时,方程根的情况如何呢? 2 当 b ? 4ac ? 0 时,方程右边是一个正数,因此,方程有
(1)当
2

? b ? b ? 4ac x1 ? , 2a
2

? b ? b 2 ? 4ac x2 ? 2a

这就是说,方程有两个不相等的实数根。

(2)当 b
2

2

? 4ac ? 0

时,方程根的情况如何呢?

当b

? 4ac ? 0

时,方程右边是0,因此,方程有

b x1 ? x2 ? ? 2a
这就是说,方程有两个相等的实数根。

(3)当

b ? 4ac ? 0 时,方程根的情况如何呢?
2

当b

2

? 4ac ? 0 时,

b 2 方程的右边是一个负数,而方程的左边 ( x ? ) 2a
不可能是一个负数,因此,方程没有实数根。



不解方程,判别下列方程的根的情况:

(1) 2x ? 3x ? 4 ? 0
2

(2) 16y ? 9 ? 24y
2

(3) 5(x ? 1) ? 7 x ? 0
2

(1) 2x ? 3x ? 4 ? 0
2

? ? ? 3 ? 4 ? 2 ? (?4) ? 9 ? 32 ? 0
2

? 原方程有两个不相等的 实数根
事实上, 方程的两个根是: ? 3 ? 41 x1 ? , 4 ? 3 ? 41 x2 ? 4

(2) 16y ? 9 ? 24y
2
此例与(1)不同,必须先把方程变形为一 元二次方程的一般形式。

原方程变形为 16y ? 24y ? 9 ? 0
2

? ? ? (?24)2 ? 4 ?16? 9 ? 576? 576 ? 0

?原方程有两个相等的实 数根.
事实上, 方程的两个根是: ? 24 3 x1 ? x2 ? ?? 32 4

(3) 5(x ? 1) ? 7 x ? 0
2

原方程变形为 5x ? 7 x ? 5 ? 0
2

? ? ? (?7)2 ? 4 ? 5 ? 5 ? 49 ?100? 0

?原方程没有实数根 .

课堂练习
不解方程, 判别下列方程的根的情 况: (1) 3x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 (2) 2 y 2 ? 5 ? 6 y (3) 4 p( p ? 1) ? 3 ? 0 (4) x ? 5 ? 2 5 x
2

课外作业

不解方程, 判别下列方程的根的情 况: (1) 2 x 2 ? 4 x ? 35 ? 0 (2) 4m(m ? 1)

? 1 ? 0 3 (3) 0.2x ? 5 ? x 2 2 (4) 4(y ? 0.09) ? 2.4 y
2


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