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一次函数与一元一次不等式第四讲

发布时间:2014-01-31 16:42:55  

在数学的天地里,重要的不 是我们知道什么,而是我们怎么 知道什么。

——毕达哥拉斯

利用函数图象解出x: (1)5x-1=2x+5 解:原方程化为 3x-6 =0 画出函数y=3x-6的图象
0

y

y=3x-6 x

2

由图象可知直线 y=3x ?6 与 x 轴的交点为 (2,0)

∴ 此方程的解为 x =2

-6

“方程ax+b=0(a≠0)的解” 就是“函数y=ax+b的值为0(y=0) 时

自变量x的值。”

也就是与x轴交点的横坐标



根据下列一次函数的图象,你能求出哪些方 程的解?并直接写出相应方程的解. y y=3x+6
-2 0

y

x

0

3

x y=-x+3

( 1)

( 2)









1、探究不等式与函数的关系,感悟函 数和不等式相互渗透、互为转化的紧密 联系。 2、学会把函数的有关问题转化为一元 一次不等式来求解 3、会用图象法来求一元一次不等式的 解集。

引入
上节课我们用函数观点,从数和形两个角度

学习了一元一次方程求解问题。

练一练:

=2 如图:当x—————— 一次函数y=x-2的值为0 , x-2=0 的解. x=2是一元一次方程——————— 1 当x=3时,函数y=x-2的值是------思考:当x为何值 时, 2 当x=4,函数y=x-2的值是-------函数Y=x-2对应 的值大于0 ?
y

Y=x-2

0

2 -2

3 4 x

我们从函数图象来看看
画出直线y=2x-4, 可以看出,当x>2时,这条
Y=2x-4
y

直线上的点在x轴的上方,
即这时y=2x-4>0。

所以2x-4>0的解集为x>2

0

2

x

-4

做一做 用“函数图象法”及“解不等式法”解函数
问题 如果 y=-2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ? 你解答此道题, 可有几种方法 ? 法一: 将函数问题转化为不等式问题. 即 解不等式 -2x- 5 > 0 ; 法二: 图象法。
反过来 想一想

3 2 1

y

能否把 ” 变换成

-5 -4 -3 -2 -1 -1 (-2.5,0) -2 -3 -4 “关于一元一次不等式的问题 -5 -6 “关于一次函数的值的问题”?

1 x

14.3.2一次函数与一元一次不等式

例 根据下列一次函数的图像,直接写出下列不等 式的解集 y y=3x+6 y
y=-x+3
-2 x 3 x

(1)3x+6>0 (即y>0) X>-2 (2)3x+6 ≤0 (即y≤0) X≤-2

(3) –x+3 ≥0 (即y≥0) x≤3 (4) –x+3<0 (即y<0) x>3

当自变量x取什么值时,函数y=3x+8的 值满足下列条件?

(1)y= -7

( 2) y < 2

试一试(根据一次函数与不等式的关系填
空):

(1) 解不等式3x-6<0,可看作
求一次函数y=3x-6的函数值 小于0的自变量的取值范围。

(2)“当自变量x取何值时,函 数y=3x+8的值大于0”可看作 求不等式3x+8>0的解集。

问题1:解不等式2x+4>0

x>-2

问题2:当x为何值时,函数y=2x+4的值大于0? y 当x>-2时,函数y=2x+4的值大于0. 4 问题3:画出函数y=2x+4的 2 图 象,并确定 它在x轴上方 -4 -2 0 的所有点的横坐标; 2 4 x -2 直线y=2x+4在x轴上方的所有点的 -4 横坐标都满足 x>-2 问题4:问题① ②有

何关系? ① ③呢? 问题①与②可以看作是同一个问题两种形式.

画出函数 y ? 2 x ? 4 的图象,并确定它 在x轴上方所有点的横坐标。 y 观察得: 4 在x轴上方的所有点 2 的横坐标都大于-2 (?2,0)

? x ? ?2

-4 -2 0 -2 -4

2

4 x

序号 一元一次不等式问题

一次函数问题 当x为何值时, y=3x-2的值大于0?

1 2 3

解不等式 3x-2>0 解不等式 8x-3<0

当x为何值时, y=8x-3的值小于0? 当x为何值时, 解不等式 - 7x+2>0 y=-7x+2的值大于0?

4

一元一次不等式的标准式:

kx ? b ? 0 或 kx ? b ? 0
(k、b为常数,且k≠0) 不等式: 5x ? 6 ? 3x ?10
变形为

2x ? 4 ? 0

解不等式:5x-6>3x-10 化为标准形式:2x+4>0 x为何值时,函数y=2x+4的值大于0?
y=2x+4>0

画函数图象,确定它在x轴上方所有点 的横坐标范围

你能通过观察函数y=2x-4 的图像,求得不等式 2x-4>0解集吗?

由函数图像可得:
即:x>2 时, y=2x-4 >0 同理 x< 2 时, y=2x-4 < 0
0

y

y=2x-4 x

2

由此可知:通过 函数图像可以求不等 式的解集

-4

归纳

数学转化思想


求一次不等 不等式 式的解集
数形结合

求一次函数的值大 函数 于(或小于)0时自变 量的取值范围

求直线在x轴上 方(或下方)所 有点的横坐标 图象



3 如图,直线解析式为 y ? x ? 3; 2 (1)相应不等式 的
y

解集为 ; (2)另一相应不等 式 的解集 为 。

4 2 -4

-2

0
-2
-4

2

4 x

根据下列一次函数的图象,你能求出哪些不等 式的解集?并直接写出相应不等式的解集. y y y=3x+6
-2 0

x

0

3

x y=-x+3

( 1)

( 2)

例 用画函数图象的方法解不等式: 5x+4<2x+10 解:不等式变形为 3x-6 <0 y 画出函数y=3x-6的图象 由图象可以看出:
0 2

y=3x-6 x

当 x<2 时这条直线上的 点都在x轴的下方,
∴ 此不等式的解集为x <2
-6

用图象法解不等式:5x+4<2x+10
解法二:把 5x+4<2x+10 看做两个

y
14

一次函数y=5x+4和y=2x+10, 画出y=5x+4和y=2x+10的图象. 由图象可知 它们的交点的横坐标为2. 当x <2时直线y=5x+4 上的 点都在直线y=2x+10的下方.

10

4

即5x+4<2x+10
∴此不等式的解集为 x <2
-5 y=2x+10
0

2

x

y=5x+4

用函数图象的方法解不等式 5x ? 2 ? 3x ? 6 。 你有哪些方法?
画两条直线 画直线 y ? 5x ? 2 y ? 3x ? 6

画一条直线: 化简:
画直线

2x ? 4 ? 0
y ? 2x ? 4

两种解不等式的方法都是把不等式 转化为比较直线上点的位置的高低
y

y
14

y=3x-6
10 x 4

0

2

-6

-5 y=2x+10

0

2

x

y=5x+4

3 如图,直线y1的解析式为y1 ? x ? 3 , 2 直线y2的解析式为y2=-x-2 y 1 y 结合图象,写出
一个不等式 其解集为 ;
4 2 -4 -2



0
-2

2

4 x

-4

y2









1、探究不等式与函数的关系,感悟函 数和不等式相互渗

透、互为转化的紧密 联系。 2、学会把函数的有关问题转化为一元 一次不等式来求解。 3、会用图象法来求一元一次不等式的 解集。

转化思想

数形结合思想

相信自己 是最棒的吆!

1、当x x>-3 时,函数y=3x+9 的值大于0。 2、当x x<-2 时,函数y=2x+6 的值小于2。

3、图象中的函数解析式为 y ? 2 x ? 6 , 根据图象回答: 当x ≤-3 时,y≤0? y
6

-3 0

x

y ? 2x ? 6

4、利用函数图象解不等式:
解: 不等式变形为 3x-6>0 画出函数 y=3x-6 的图像 由图象可以看出:

5x ? 1 ? 2 x ? 5

.
0

y

2

x

当 x>2 时这条直线上的点 在x轴的 上 方,
∴ 此不等式的解集为

x> 2 .

-6

根据y1=-x+3, y2=3x-4的图象填空:
1)当x 2)当x
7 ? 4 7 ? 4

时, y1=y2 时, y1≤y2

3)当x>0时,
y1 < 3 .

已知一次函数 y = 2x+1,根据它的图象回答下列问题

(1) x 取什么值时,函数值 y =3?
(2) x 取什么值是,函数值 y >3?

(3) x 取什么值时,函数值 y <3?
解:从图中可知: (1)当 x = 1 时,函数值 y 为3。 (2)当x > 1 时,函数值 y 大于3。 (3)当x <1 时,函数值 y 小于3。

y = 2x +1


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