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中考:以图形变换为背景的综合题18[1]

发布时间:2014-02-03 11:03:51  

以图形变换为背景的综合题

1(CW)在△ABC中,∠ACB=45o.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果AB=AC.如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论. (2)如果AB≠AC,如图②,且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立,为什么? (3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC

=BC?3,CD=x,求线段CP的长.(用含x的式子表示)

2(YQ)在图25-1至图25-3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.

(1)如图25-1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,

求证:FM = MH,FM⊥MH;

(2)将图25-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图25-2,

求证:△FMH是等腰直角三角形;

(3)将图25-2中的CE缩短到图25-3的情况,△FMH还是等腰直角三角形吗?

(不必说明理由) A

C

A

M

F

F

G(N)

H

H

A

B

C(M)

D

F E

G H M C

N

图25-1

图25-2

图25-3

第1页

3(XW)已知:?MAN,AC平分?MAN

(1)在图1中,若?MAN?120?,?ABC??ADC?90?,AB?AD___AC。(填写“?”或“?”或“?”)

(2)在图2中,若?MAN?120?,?ABC??ADC?180?,则(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

(3)在图3中:

①若?MAN?60?,?ABC??ADC?180?,判断AB?AD与AC的数量关系,并说明理由;

②若?MAN??(0????180?),?ABC??ADC?180?,则AB?AD?_____AC(用含?的三角函数表示,直接写出结果,不必证明)

4(XC)如图1,在□ABCD中,AE⊥BC于E,E恰为BC的中点,tanB?2.

(1)求证:AD=AE;

(2)如图2,点P在BE上,作EF⊥DP于点F,连结AF. 求证:DF?EF?2AF;

(3)请你在图3中画图探究:当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF⊥DP于点F,连结

AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论.

D A A D

B E 图1 C B P E 图2 C B E 图3 C

第2页

5(SJS)我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质: 重

心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1.请你用此性质解决下面的问题.

已知:如图,点O为等腰直角三角形ABC的重心,?CAB?90?,直线m过点O,过A、B、C三点分别作直线m的垂线,垂足分别为点D、E、F.

(1)当直线m与BC平行时(如图1),请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明;

(2) 当直线m绕点O旋转到与BC不平行时,分别探究在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?

若成立,请给予证明;若不成立,线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系?请写出你的结论,

不需证明.

6(FT)直线CD经过?BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且?BEC??CFA???.

(1)若直线CD经过?BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:

??①如图1,若?BCA?90,???90,则EF

?AF(填“?”,“?”或“?”号);

?②如图2,若0???BCA?180,若使①中的结论仍然成立,则 ??与?BCA 应满足的关系

是 ;

(2)如图3,若直线CD经过?BCA的外部,????BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,

并给予证明.

第3页

7(DX)如图10-1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:

(1)①请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系;

②将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?,得到如图10-2、如

图10-3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断.

(2)将原题中正方形改为矩形(如图10-4~10-6),且AB?a,BC?b,CE?ka,CG?kb (a?b,k?0) ,图1 B F D A 图2 A B D E F A

图3 D

试判断(1)①中得到的结论哪个成立,哪个不成立?并写出你的判断,不必证明.

(3)在图10-5中,连结DG、BE,且a?4,b?2,k?1,则BE2?DG2. 2

8(FS) 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90?,AD=AB=2,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合),连结ED,过ED的中点F作ED的垂线,交AD于点G,交BC于点K,过点K作KM⊥AD于M.

(1) 当E为AB中点时,求

(2) 若DM的值; DGDMAE1的值等于 ; ?, 则DGAB3

AE1(3) 若, ?(n为正整数)ABn

DM则的值等于 (用含n的式子表示). DG

第4页

9(SY)在△ABC中,AC=BC,?ACB?90?,点D为AC的中点.

(1)如图1,E为线段DC上任意一点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连结CF,过点F作FH?FC,交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明.

(2)如图2,若

E为线段DC的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)中得出的结论是否发生改变,直接写出你的结论,不必证明.

A A

FD FD HE

C B

C

图1E图2H

10(MTG) 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.

(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;

(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG.

你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.

(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)

D D

D E 图3

图1

2

第5页

11(PG)已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.

(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系: ;

(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由.如果成立请证明;(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长. (可利用(2)得到的结论)

12(TZ)小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形. (1)如图①所示△ABC,△DBE,两直角边交于点F,过点F作FG∥BC交AB于点G,连结BF、AD,则线段BF与线段AD的数量关系是 ;直线BF与直线AD的位置关系是 ,并求证:FG+DC=AC;(2)如果小华将两块三角板△ABC,△DBE如图②所示摆放,使D、B、C三点在一条直线上,AC、DE的延长线相交于点F,过点F作FG∥BC,交直线AE于点G,连结AD,FB,则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是 ;(3)在(2)的条件下,若AG

=DC=5,将一个45°角的顶点与点B重合,并绕点B旋转,这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点(如图③),线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点,若PG=2,求线段MN的长.

(第24题图①) (第24题图②)

(第24题图③)

第6页

13(HD)已知:△AOB中,AB?OB?2,△COD中,CD?OC?3,∠ABO?∠DCO. 连接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

图1 图2

(2) 如图2,若A、O、C三点在同一直线上,且∠ABO?2?,证明△PMN∽△BAO,并计算

含?的式子表示);

AD的值(用BC

(3) 在图2中,固定△AOB,将△COD绕点O旋转,直接写出PM的最大值.

14(CY) 请阅读下列材料

问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2, PB=3, PC=1.求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.

李明同学的思路是:将△BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2).连接PP′,可得△P′PC是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证).所以∠AP′C=150°,而∠BPC=∠AP′C=150°.进而求出等边△ABC的边长为7.问题得到解决.

请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=,BP=2,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.

第7页

15(MY)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?3,DC?5,BC?10,梯形的高为4.动点M从B点

出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速

度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD

以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t

(秒).

(1)当MN∥AB时,求t的值;

(2)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.

16(DC)如图,在平面直角坐标系中,A

(0),B

(2).把矩形OABC逆时针旋转30?得到矩形OA1B1C1.

(1)求B1点的坐标;

(2)求过点(2,0)且平分矩形OA1B1C1面积的直线l方程;

(3)设(2)中直线l交y轴于点P,直接写出?PC1O与?PB1A1的面积和的值及?POA1与?PB1C1的面积

差的值.

第8页

17(DC).如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M,正方形MNPQ与正方形ABCD全等,射线MN

与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点.

(1)求证:ME=MF;

(2)若将原题中的正方形改为矩形,且BC?2AB?4,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系.

A

BN

CQD

AMBD

18(CP) (1)已知:如图1,△ABC中,分别以AB、AC为一边向△ABC 外作正方形ABGE和ACHF,直线

AN?BC于N,若EP?AN于P,FQ?AN于Q. 判断线段EP、FQ的数量关系,并证明;

(2)如图2,梯形ABCD中,AD∥BC, 分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD 外作正方形ABGE和DCHF,线段AD的垂直平分线交线段AD于点M,交BC于点N,若EP?MN于Q.(1)中结论还成立吗?请说明理由.

E

Q

G

A

H

B

N图1

C

B

P

F

G

AE

QM

H

N图2

C

于P,FQ?MN

P

F

第9页

参考答案

1. (1)CF与BD位置关系是垂直;

证明如下:?AB=AC ,∠ACB=45o,∴∠ABC=45o. 由正方形ADEF得 AD=AF ,∵∠DAF=∠BAC =90o, ∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC , ∴∠ACF=∠ABD. ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o.即 CF⊥BD. (2)CF⊥BD.(1)中结论成立.

理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG 可证:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o. 即CF⊥BD

(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q, ①点D在线段BC上运动时,

∵∠BCA=45o,可求出AQ= CQ=4.∴ DQ=4-x,

A

F

B

G

E

C

CPCDCPx

??

易证△AQD∽△DCP,∴DQAQ , ∴4?x4,

x2

?CP???x

4.

②点D在线段BC延长线上运动时,

∵∠BCA=45o,可求出AQ= CQ=4,∴ DQ=4+x.

过A作AG?AC交CB延长线于点G,则?AGD??ACF.? CF⊥BD,

CPCDCPx

??

?△AQD∽△DCP,∴DQAQ , ∴4?x4,

x2

?CP??x

4.

2(1)

证明:∵四边形BCGF和CDHN都是正方形,

又∵点N与点G重合,点M与点C重合,

∴FB = BM = MG = MD = DH,∠FBM =∠MDH = 90°.

????????2分

∴△FBM ≌ △MDH. ∵∠FMB =∠DMH = 45°, ∴∠FMH = 90°.

∴FM⊥HM. ????????4分 (2)证明:连接MB、MD,如图2,设FM与AC交于点P.

????????5分

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点, ∴MD∥BC,且MD = BC = BF;MB∥CD, 且MB=CD=DH.

∴四边形BCDM是平行四边形.

∴ ∠CBM =∠CDM. ????????6分 又∵∠FBP =∠HDC,∴∠FBM =∠MDH. ∴△FBM ≌ △MDH. ∴FM = MH, 且∠MFB =∠HMD. ∴∠FMH =∠FMD-∠HMD

C

F

G H

A

H

F

G(N)

H

∴FM = MH. ????????3分

A B C(M) D E

图14-1

图2

M =∠APM-∠MFB =∠FBP = 90°.

∴△FMH是等腰直角三角形. ????????7分 图14-3

(3)是. ????????8分

3,解:

(1) AB+AC.--------------------------------------------------------------------------1分

(2) 仍然成立.

证明:如图2过C作CE⊥AM于E,CF⊥AN于F, 则∠CEA=∠CFA=90°.

∵ AC平分∠MAN,∠MAN=120°, ∴ ∠MAC=∠NAC=60°.

又∵ AC=AC, ∴ △AEC≌△AFC, ∴ AE=AF,CE=CF.

∵ 在Rt△CEA中,∠EAC=60°, ∴ ∠ECA=30°, ∴ AC=2AE.

∴ AE+AF=2AE=AC. ∴ ED+DA+AF=AC.

∵ ∠ABC+∠ADC=180°,∠CDE+∠ADC=180°, ∴ ∠CDE=∠CBF.

又∵ CE=CF,∠CED=∠CFB, ∴ △CED≌△CFB. ∴ ED=FB, ∴ FB+DA+AF=AC.

∴ AB+AD=AC.----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=AC.

证明:如图3,方法同(2)可证△AGC≌△AHC. ∴AG=AH.

∵∠MAN=60°, ∴∠GAC=∠HAC=30°. ∴AG=AH=

A

AC.∴AG+AH=3AC. 2

∴GD+DA+AH=AC. 方法同(2)可证△GDC≌△HBC. ∴GD=HB, ∴ HB+DA+AH=AC.

∴AD+AB=AC.-------------------------------------------------------------------------------------6分

②AB+AD=2cos

?

2

·AC.-------------------------------------------------------------------7分

4证明:(1)在Rt△ABE中,∠AEB=90°, ∴ tanB?

AE

?2 BE

∴AE?2BE. ················································ 1分 ∵E为BC的中点,

∴BC?2BE.

∴AE=BC.

∵ABCD是平行四边形, ∴AD=BC. ∴AE=AD. ··································································································· 2分

(2)在DP上截取DH=EF(如图8).

H ∵四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC,

∴∠EAD=90°. ∵EF⊥PD,∠1=∠2,

∴∠ADH=∠AEF. ∵AD=AE,

∴△ADH≌△AEF. ·················· 4分 ∴∠HAD=∠FAE,AH=AF. ∴∠FAH ==90°.

在Rt△FAH中, AH=AF, ∴FH?2AF.

∴FH?FD?HD?FD?EF?2AF. 即DF?EF?2AF. ····

······ 5分

(3)按题目要求所画图形见图9,

线段DF、

EF、AF之间的数量关系,

F

A

DF?EF?2AF;

当EP>2时(如图10),

B

E

C

EF?FD?2AF. 图10 ····················································································································· 7分

5(1)猜想:BE+CF=AD ????????????1分

证明:如图,延长AO交BC于M点, ∵点O为等腰直角三角形ABC的重心 ∴AO=2OM且AM⊥BC

又∵EF∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE⊥EF,CF⊥EF ∴EB∥OM∥CF ∴EB=OM=CF

∴EB+CF=2OM=AD ?????????3分

(2)图2结论:BE+CF=AD

证明:联结AO并延长交BC于点G, 过G做GH⊥EF于H 由重心性质可得AO=2OG

∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG

∴△AOD∽△GOH ∴AD=2HG ????????????5分 ∵O为重心 ∴G为BC中点 ∵GH⊥EF,BE⊥EF,CF⊥EF ∴EB∥HG∥CF ∴H为EF中点

B

G

图2

A

B

M

图1

∴HG=1(EB+CF) 2

∴EB+CF=AD ????????????????7分

(3)CF-BE= AD ???????????????8分 6解:(1)EF= BE?AF; ----------------------------------------------- 1分

(2) ∠α+∠BCA=180°; ----------------------------------------------- 3分

(3) 探究结论: EF=BE+AF. ----------------------------------------------- 4分

证明:∵∠1+∠2+∠BCA=180°, ∠2+∠3+∠CFA=180°.

又∵∠BCA=∠α=∠CFA,∴∠1=∠3. ------------------ 5分 ∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA, 1 ∴△BEC≌△CFA. ----------------- 6分 3 ∴BE=CF , EC=AF.

∴EF=EC+CF=BE+AF. ------------------- 7分 7⑴①BG=DE;

BG⊥DE;………………………………………………… .1分

②①中得到的结论仍然成立…………………………………………………2分 证明: 2?四边形ABCD和四边形EFGC分别是正方形,

?CG?CE.

BC?CD.

?ECG??BCD?90?.

??ECG??DCG??BCD??DCG

即?DCE??BCG.

??BCG??DCE

?DE?BG

??CED??BGC

??CQE??DQG

?CQE??CED?90?

??DQG??BGC?90?

??GOE?90?

?DE?BG..............................................................................4分⑵BG⊥DE成立;………………………………………..5分

BG=DE不成立………………………………………….6分

⑶BE2+DG2……………………………………………………………7分

Q

8(1)连接GE.

∵KM⊥AD,KG是DE的垂直平分线

∴∠KMG=∠DFG=90°

∴∠GKM=∠GDF

∵MK=AB=AD,∠KMG=∠DAE=90°

∴ΔKMG≌ΔDAE--------------1分

∴MG = AE

∵E是AB中点,且AB=AD=2

∴AE=MG=1

∵KG是DE的垂直平分线

∴GE=GD --------------------2分

设GE=GD=x

则AG=2-x 在RtΔAEG中,∠EAG=90°,

222由勾股定理得(2-x)+1=x

∴x=5 -----------------3分 41∴DM=GD-GM= 4

DM1∴?DG52(2) 5(n?1)2

(3) 2 -----------------------------------------7分 n?1

9解:(1)FH与FC的数量关系是:FH?FC. ? 1分

证明:延长DF交AB于点G,

由题意,知 ∠EDF=∠ACB=90°,DE=DF.

∴DG∥CB.

∵点D为AC的中点, ∴点G为AB的中点,且DC?

∴DG为△ABC的中位线.

∴DG?A1 AC.2DE

F1BC. 2

∵AC=BC,

∴DC=DG.

∴DC- DE =DG- DF.

即EC =FG. ??????????????????????? 2分 ∵∠EDF =90°,FH?FC, C

∴∠1+∠CFD =90°,∠2+∠CFD=90°.

∴∠1 =∠2. ??????????????????????? 3分

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形, ∴∠DEF =∠DGA = 45°.

∴∠CEF =∠FGH = 135°. ????????????????? 4分 ∴△CEF ≌△FGH. ????????????????????? 5分 ∴ CF=FH. ???????????????????????? 6分

(2)FH与FC仍然相等. ?????????????????? 7分

10解:(1)CG=EG……………………… 1分 (2)(1)中结论没有发生变化,即EG=CG.

证明:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点. 在△DAG与△DCG中, D ∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG.

∴ AG=CG.………………………2分 在△DMG与△FNG中,

∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG. 图 2

∴ MG=NG …………………………3分

在矩形AENM中,AM=EN. ……………4分

D 在Rt△AMG 与Rt△ENG中,

∵ AM=EN, MG=NG,

∴ △AMG≌△ENG. E

∴ AG=EG.…………………………5分 ∴ EG=CG. ……………………………6分

(3)(1)中的结论仍然成立.………………7分 图311解:(1)如图①AH=AB………………………..1分 (2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN ∵ABCD是正方形 ∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°

∴Rt△AEB≌Rt△AND………………………………3分 ∴AE=AN,∠EAB=∠NAD

∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM

∴△AEM≌△ANM………………………………….4分 ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高, ∴AB=AH…………………………………………….. .5分

(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH, 得到△ABM和△AND

图①

∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°

分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE.

由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x,则MC=x?2, NC=x?3 图②

在Rt⊿MCN中,由勾股定理,得

MN2?MC2?NC2

∴52?(x?2)2?(x?3)2………………………6分

解得x

1?6,x2??1.(不符合题意,舍去)

∴AH=6.……………………………………………7分

图③

12

A

E G

BD

(1)结论:

则线段BF于线段AC的数量关系是:相等;直线BF于直线AC的位置关系是:直; .......................................................................(1分)

证明:??ABC、?BDE是等腰直角三角形

??ABC??BAC??BDE?45?,

?AD?BC

??CFD?45?

?CD?CF ............................................................(2分)

?FG//BC

?AGF??ABC ?45?

?FG?AF

?AD?AF?FC

?AD?FG?DC ............................................................(3分) 互相垂

(2)FG、DC、AD之间满足的数量关系式是FG?AD?DC;..........(4分)

(3)过点B作BH?FG垂足为H,过点P作PK?AG垂足为K......(5分) ?FG//BC,C、D、B在一条直线上,

可证?AFG、?DCF是等腰直角三角形, ?AG?72,CD?5

?根据勾股定理得:AF?FG?7,FD?5

?AC?BC?2

?BD?3

?BH?FG, 2

?BH//CF,?BHF?90?

?FG//BC

?四边形CFHB是矩形

?BH?5,FH?2

?,FG//BC

??G?45?

?HG?BH?5,BG?52

?PK?AG,PG?2 ?PK?KG?2

?BK?52?2?42

??PBQ?45?,?HGB?45?

??GBH?45?

??1??2

?PK?AG,BH?FG

??BHQ??BKP?90?

??BQH∽?

BPK

?PKBK?QHBH

5

QH?4 ............................................................(6分) ?

3

4

?FG//BC ?FQ?

??D??MFQ,?DBM??FQM

??FQM∽?DBM

DM?42 ............................................................(7分)

??D??MFQ,?DNB??FNP

??BDN∽?PFN ?

?

?DNBD?FNPF DN?1528 MN?42?152172?88 ............................................................(8分)

13解:(1)等边三角形,1;(每空1分) ------------------------2分

(2)证明:连接BM、CN.

由题意,得BM?OA,CN?OD,?AOB??COD?90???.

∵ A、O、C三点在同一直线上,∴ B、O、D三点在同一直线上.

∴ ∠BMC?∠CNB?90?.∵ P为BC中点,

11BC.在Rt△BNC中,PN?BC. ∴ PM?PN.-------------------------3分 22

1∴ B、C、N、M四点都在以P为圆心,BC为半径的圆上.∴ ∠MPN?2∠MBN. 2

1又∵ ?MBN??ABO??,∴ ∠MPN??ABO.∴ △PMN∽△BAO. -------------------4分 2

MNAO11ADMN??.由题意,MN?AD,又PM?BC.∴ .--------------------5分 ∴ PMBA22BCPM

ADAOAM??sin?. . 在Rt△BMA中,∴ BCBAABAOAD?2sin?.∴ ?2sin?.---------------6分 ∵ AO?2AM, ∴ BABC5(3).--------------------------------7分 2∴ 在Rt△BMC中,PM?

14(1)如图,将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得△BP′A,则△BPC≌△BP′A.

∴AP′=PC=1,BP=BP′

连结P P′,

在Rt△BP′P中,

∵ BP=BP′

PBP′=90°,

∴ P P′=2,∠BP′P=45°. ????????????2

在△AP′P中, AP′=1,P P′=2,

1?2?,即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2.

∴ △AP′P是直角三角形,即∠A P′ P=90°.

∴ ∠AP′B=135°.

∴ ∠BPC=∠AP′B=135°. ???????????????????????? 4分

(2)过点B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E.

∴ ∠EP′ B=45°.

∴ EP′=BE=1.

∴ AE=2.

∴ 在Rt△ABE中,由勾股定理,得

??????????????? 7分 ∴ ∠BPC=135°

15解:(1)如图①,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形. ∵ MN∥AB,∴ MN∥DG.

∴ BG?AD?3.

∴ GC?10?3?7.

由题意知,当M、N运动到t秒时, 222分

CN?t,CM?10?2t.

∵ DG∥MN,∴ △MNC∽△GDC.

CNCMt10?2t??CDCG57. ∴ .即

t?

解得,5017. 5分

(3)分三种情况讨论:

① 当NC?MC时,如图②,即t?10?2t.

t?

∴ 103. 6分

② 当

图③,过N作NE?MC于E,DH?BC于H. MN?NC时,如

EC?

则 11MC??10?2t??5?t22,DH?4.

∴ CH?3.

∵ ∠C?∠C,?DHC??NEC?90?,∴ △NEC∽△DHC.

NCECt5?t??DCHC53. ∴ .即

t?

∴ 258. 7分

③ 当MN?MC时,如图④,过M作MF?CN于F点.

FC?

则 11NC?t22.

∵∠C?∠C,?MFC??DHC?90?,

∴ △MFC∽△DHC.

1t10?2tFCMC??5. ∴ HCDC.即 3

t?

∴ 6017. --------------------------------------------------------------------------8分 t?102560t?t?3、8或17时,△MNC为等腰三角形. 综上所述,当

16解:(1

)由已知可得:OA?AB?2,?A?90?,

??BOA??B1OA1?30?,OB?OB1?4.

又??AOA1为旋转角,

??AOA1?30?.

??B1OA?60?. ???????1分

过点B1作B1E?OA于点E,

在Rt?B1OE中,?

B1OE?60?,

OB1?4,

?OE?2,B1E??B1(2,

. ???????2分

(2)设F为A1C1与OB1的交点,可求得F. ???????

4分 设直线l的方程为y

?kx?b,把点(2,0)、(1

??k?0?2k?b,

??

解得:?b?

???k?b

?直线l

的方程为y??

???????5分

(3)???????7分

17.(1)证明:过点M作MG⊥BC于点G,MH⊥CD于点H. ∴∠MGE=∠MHF=900.

∵M为正方形对角线AC、BD的交点,∴MG=MH.

又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90, ∴∠1=∠2.

在△MGE和△MHF中

∠1=∠2, MG=MH, ∠MGE=∠MHF. ∴△MGE≌△MHF.

∴ME=MF. ??????3分

(2)解:①当MN交BC于点E,MQ交CD于点F时.

过点M作MG⊥BC于点G,MH⊥CD于点H.

∴∠MGE=∠MHF=900.

∵M为矩形对角线AC、BD的交点,

∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=900.

∴∠1=∠2.

在△MGE和△MHF中, 1=∠2

∠MGE=∠MHF

∴△MGE∽△MHF.

∴MEMG. ?MFMH

∵M为矩形对角线AB、AC的交点,∴MB=MD=MC

又∵MG⊥BC,MH⊥CD,∴点G、H分别是BC、DC的中点. ∵BC?2AB?4,

∴MG?11AB,MH?BC. 22

∴ME1?. ??????4分 MF2

A

E

G②当MN的延长线交AB于点E,MQ交BC于点F时. 过点M作MG⊥AB于点G,MH⊥BC于点H.

∴∠MGE=∠MHF=900.

∵M为矩形对角线AC、BD的交点,

∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=900. .

PDC

∴∠1=∠2.

在△MGE和△MHF中,

1=∠2,

∠MGE=∠MHF.

∴△MGE∽△MHF .

∴QMEMG. ?MFMH

∵M为矩形对角线AC、BD的交点,∴MB=MA=MC.

又∵MG⊥AB,MH⊥BC,∴点G、H分别是AB、BC的中点. ∵BC?2AB?4,∴MG?

∴11BC,MH?AB. 22ME?2. ??????5分 MF

③当MN、MQ两边都交边BC于E、F时.

过点M作MH⊥BC于点H.

∴∠MHE=∠MHF=∠NMQ=900. ∴∠1=∠3,∠2=∠4.

∴△MEH∽△FEM,FMH∽△FEM .

MEMHFMMH

∴,. ??

FEFMFEEM

∵M为正方形对角线AC、BD的交点, ∴点M为AC的中点.

又∵MH⊥BC,∴点M、H分别是AC、BC的中点. ∵BC?2AB?4,∴AB=2. ∴MH=1. ∴

N

1FMFM1EMEM

, . ????

MEMH?EFEFMFMH?EFEF

11FM2?EM2∴???1. ??????6分 ME2MF2EF2

④当MN交BC边于E点,MQ交AD于点F时. 延长FM交BC于点G.

易证△MFD≌△MGB. ∴MF=MG.

同理由③得

P

11

??1. 22

MGME11∴??1. ??????7分 ME2MF2

综上所述:ME与MF的数量关系是

ME1ME11

?或?2或??1. ?8分

ME2MF2MF2MF

18证明:(1)线段EP、FQ1分

∵EP?AN,AN?BC,

∴?P??ANB?90?,?1??3?90?. 又∵四边形ABGE是正方形,

∴?EAB?90?,AE?AB, ∴?1??2?90?.

∴?3??2.

∴?EPA≌?ANB.

∴EP?AN .????????2分 同理可证 FQ?AN .????3分 ∴EP?FQ. ????????4分 (2)过点A作JK⊥AD交EP于J,交BC于K,

G

E

PQA

F

H

B

N图1

C

过点D作RT⊥AD交FQ于R,交BC于T.

∵PN⊥AD于M,

∴JK∥PN.

∵AD∥BC,

∴四边形AKNM为平行四边形.

∴AK?MN.

同理可得DT?MN.

∴AK?DT.???????5分 EJQMPRHFGBKNTC 又∵EP?MN,JK∥PN,AD∥BC,

∴JK?EP,JK?BC,

同(1)的证明可得

EJ?AK,FR?DT.

∴EJ?FR.

由平行四边形JAMP和QMDR可知JP?AM,QR?MD. 又∵AM?MD,

∴JP?QR.????????????????6分

∴EJ?JP?QR?RF.

∴EP?FQ.????????????????7分

第8页 图2

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