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正方形中经典题[1]

发布时间:2014-02-03 11:03:54  

正方形中经典题

1.已知正方形ABCD,绕A点顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,如图所示,如果正方形ABCD边长为1,则四边形的ABED′周长是 _________ .

2.(2008?大兴安岭)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.

3.在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.如果∠MAN在如图1所示的位置时,有BM+DN=MN成立(不必证明).请问当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请说明理由.

4.(2012?密云县一模)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.

(1)如图1,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,有BM+DN=MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并证明.

5.(2013?湖北模拟)已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.

(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系: _________ ;

(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;

(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)

6.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),求证:BM+DN=MN;

(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),则线段BM,DN和MN之间数量关系是 _________ ;

(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系呢?并对你的猜想加以说明.

7.把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,然后把三角板绕点A顺时针旋转,它的两边分别交直线CB、DC于点M、N.

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(1)当三角板绕点A旋转到图(1)的位置时,求证:MN=BM+DN.

(2)当三角板绕点A旋转到图(2)的位置时,试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并给予证明.

8.已知:如图边长为2的正方形ABCD中,∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点,且∠MAN=45° ①求证:MN=BM+DN;

②若AM、AN交对角线BD于E、F两点.设BF=y,DE=x,求y与x的函数关系式.

9.请阅读下列材料:

问题:正方形ABCD中,M,N分别是直线CB、DC上的动点,∠MAN=45°,当∠MAN交边CB、DC于点M、N(如图①)时,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?

小聪同学的思路是:延长CB至E使BE=DN,并连接AE,构造全等三角形经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:

(1)直接写出上面问题中,线段BM,DN和MN之间的数量关系;

(2)当∠MAN分别交边CB,DC的延长线于点M/N时(如图②),线段BM,DN和MN之间的又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明;

(3)在图①中,若正方形的边长为16cm,DN=4cm,请利用(1)中的结论,试求MN的长.

10.(2011?铁岭一模)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠MAN=∠BAD.

(1)如图1,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不用证明;

(2)如图2,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?并证明你的结论;

(3)如图3,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不用证明.

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11.(1)已知:如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F为DC上一点,且∠1=∠2,求证:AF=BC+FC;

(2)已知:如图2,把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处,若旋转三角尺时,它的两条直角边

222与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N,试证:MN=BM+DN.

12.已知:边长为1的正方形ABCD中,M、N分别是BC、CD上的点.

(1)若MN=BM+ND,求证:∠MAN=45°;

(2)若△MNC得周长为2,求∠MAN的度数.

13.(1)如图1,已知正方形ABCD中,∠MAN=45°,猜想线段MN、BM与DN之间有怎样的关系?并证明.

(2)如图2,已知四边形ABCD中,AB⊥BC于点B,AD⊥CD于点D,AB=AD,∠BAC=120°,∠MAN=60°,(1)中线段BM与DN之间的关系还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.

(3)张大爷有一块五变形的土地,如图3,已知AB=AE=6,BC=4,DE=3,∠BAE=2∠CAD,AB⊥BC于点B,AE⊥DE于点E,请你帮助张大爷计算这块土地的面积.

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14.(2012?许昌一模)已知,四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H

(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明;

(2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长;

小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?

15.如图,正方形ABCD的边长为1,P为AB上的点,Q为AD上的点,且△APQ的周长为2.求∠PCQ的度数.

16.已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合,将此三角板绕A点旋转时,两边分别交直线BC、CD于M、N.

(1)当M、N分别在边BC、CD上时(如图1),求证:BM+DN=MN;

(2)当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时(如图2),线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系,请直接写出结论 _________ ;(不用证明)

(3)当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时(如图3),线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系,请写出结论并写出证明过程.

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17.如图,在正方形ABCD中,M,N分别在BC,CD上,∠MAN=45°,AB=2,MN=1.5,求△AMN的面积.

18.正方形ABCD中,E是CD边上一点,

(1)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD、AB重合,得到△ABF,如图1所示.观察可知:与DE相等的线段是 _________ ,∠AFB=∠ _________

(2)如图2,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD边上的点,且∠PAQ=45°,试通过旋转的方式说明:DQ+BP=PQ

(3)在(2)题中,连接BD分别交AP、AQ于M、N,你还能用旋转的思想说明

BM+DN=MN.

19.如图,在正方形ABCD中,M、N分别是BC、CD上的点,∠MAN=45°.

求证:MB+ND=MN.

222

20.已知四边形ABCD是正方形,M、N分别是边BC,CD上的动点.

(1)如图①,设O是正方形ABCD对角线的交点,若OM⊥ON,求证:BM=CN,

(2)在(1)的条件下,若正方形ABCD的边长为4cm,求四边形MONC的面积;

(3)如图②,若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半.

21.(2010?朝阳区二模)如图1,四边形ABCD,将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转,角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一边与CB的延长线交于点E,连接EF.

(1)如果四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°时,有EF=DF﹣BE.请你思考如何证明这个结论(只需思考,不必写出证明过程);

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(2)如图2,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,当∠EAF=∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式(只需写出结论);

(3)如图3,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAF=∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数学关系?请写出它们之间的关系式并给予证明;

(4)在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结果即可).

22.(2011?咸宁)(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.

(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.

(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的长.

23.正方形ABCD中,E、F分别为边BC、DC上的点,若∠BAE=30°,∠DAF=15°.

(1)试猜想EF、BE、DF之间的数量关系,并证明;

(2)若正方形的边长为,求△AEF的面积;

(3)若连接BD,交AE于M、交AF于N,请探究线段BM、MN、DN之间的数量关系,并给出证明.

24.如图,已知正方形ABCD的边长是2,E是DC上一点,△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合.

(1)指出旋转的中心和旋转的角度;

(2)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?请说明理由.

(3)已知点G在BC上,且∠GAE=45°.

①试说明GE=DE+BG.

②若E是DC的中点,求BG的长.

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2013年11月丽的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.填空题(共1小题)

1.已知正方形ABCD,绕A点顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,如图所示,如果正方形ABCD边长为1,则四边形的ABED′周长是

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二.解答题(共23小题)

2.(2008?大兴安岭)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM、DN和MN

之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.

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3.在正方形ABCD

中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.如果∠MAN在如图1所示的位置时,有BM+DN=MN成立(不必证明).请问当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请说明理由.

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4.(2012?密云县一模)已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.

(1)如图1,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,有BM+DN=MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图2,请问图1

中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并证明.

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5.(2013?湖北模拟)已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.

(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系: AH=AB ;

(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;

(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)

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6.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),求证:BM+DN=MN;

(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),则线段BM,DN和MN之间数量关系是 BM+DN=MN

(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系呢?并对你的猜想加以说明.

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7

.把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,然后把三角板绕点A顺时针旋转,它的两边分别交直线CB、DC于点M、N.

(1)当三角板绕点A旋转到图(1)的位置时,求证:MN=BM+DN.

(2)当三角板绕点A旋转到图(2)的位置时,试判断线段MN、BM、DN之间具有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并给予证明.

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8.已知:如图边长为2的正方形ABCD中,∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点,且∠MAN=45° ①求证:MN=BM+DN;

②若AM、AN交对角线BD于E、F两点.设BF=y,DE=x,求y与x的函数关系式.

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9.请阅读下列材料:

问题:正方形ABCD中,M,N分别是直线CB、DC上的动点,∠MAN=45°,当∠MAN交边CB、DC于点M、N(如图①)时,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?

小聪同学的思路是:延长CB至E使BE=DN,并连接AE,构造全等三角形经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:

(1)直接写出上面问题中,线段BM,DN和MN之间的数量关系;

(2)当∠MAN分别交边CB,DC的延长线于点M/N时(如图②),线段BM

,DN和MN之间的又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明;

(3)在图①中,若正方形的边长为16cm,DN=4cm,请利用(1)中的结论,试求MN的长.

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10.(2011?铁岭一模)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠MAN=∠BAD.

(1)如图1,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不用证明;

(2)如图2,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边

BC、CD的延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?并证明你的结论;

(3)如图3,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不用证明.

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11.(1)已知:如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F为DC上一点,且∠1=∠2,求证:AF=BC+FC; ?2010-2013 菁优网

(2)已知:如图2,把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处,若旋转三角尺时,它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N,试证:MN=BM+DN.

222

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12.已知:边长为1的正方形ABCD中,M、N分别是BC、CD上的点.

(1)若MN=BM+ND,求证:∠MAN=45°;

(2)若△MNC得周长为2,求∠MAN的度数.

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13.(1)如图1,已知正方形ABCD中,∠MAN=45°,猜想线段MN、BM与DN之间有怎样的关系?并证明.

(2)如图2,已知四边形ABCD中,AB⊥BC于点B,AD⊥CD于点D,AB=AD,∠BAC=120°,∠MAN=60°,(1)中线段BM与DN之间的关系还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.

(3)张大爷有一块五变形的土地,如图3,已知AB=AE=6,BC=4,

DE=3,∠BAE=2∠CAD,AB⊥BC于点B,AE⊥DE于点E,请你帮助张大爷计算这块土地的面积.

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14.(2012?许昌一模)已知,四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、

AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H

(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?并证明;

(2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长;

小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?

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15.如图,正方形ABCD的边长为1,P为AB上的点,Q为AD上的点,且△APQ的周长为2.求∠PCQ的度数. ?2010-2013 菁优网

16.已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合,将此三角板绕A点旋转时,两边分别交直线BC、CD于M、N.

(1)当M、N分别在边BC、CD上时(如图1),求证:BM+DN=MN;

(2)当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时(如图2),线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系,请直接写出结论 BM﹣DN=MN ;(不用证明)

(3)当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时(如图3),线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系,请写出结论并写出证明过程.

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17.如图,在正方形ABCD中,

M,N分别在BC,CD上,∠MAN=45°,AB=2,MN=1.5,求△AMN的面积.

18.正方形ABCD中,E是CD边上一点,

(1)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD、AB重合,得到△ABF,如图1所示.观察可知:与DE相等的线段是 BF ,∠AFB=∠ AED

(2)如图2,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD边上的点,且∠PAQ=45°,试通过旋转的方式说明:DQ+BP=PQ

(3)在(2)题中,连接BD分别交AP、AQ于M、N,你还能用旋转的思想说明

BM+DN=MN.

222

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19.如图,在正方形

ABCD中,M、N分别是BC、CD上的点,∠MAN=45°.

求证:MB+ND=MN.

20.已知四边形ABCD是正方形,M、N分别是边BC,CD上的动点.

(1)如图①,设O是正方形ABCD对角线的交点,若OM⊥ON,求证:BM=CN,

(2)在(1)的条件下,若正方形ABCD的边长为4cm,求四边形MONC的面积;

(3)如图②,若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半.

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21.(2010?朝阳区二模)如图1,四边形ABCD,将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转,角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一边与CB的延长线交于点E,连接EF.

(1)如果四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°时,有EF=DF﹣BE.请你思考如何证明这个结论(只需思考,不必写出证明过程);

(2)如图2,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,当∠EAF=∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式(只需写出结论);

(3)如图3,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAF=∠BAD时,EF

与DF、BE之间有怎样的数学关系?请写出它们之间的关系式并给予证明;

(4)在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结果即可).

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22.(2011?咸宁)(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.

(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.

(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的长. ?2010-2013 菁优网

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23.正方形ABCD中,E、F分别为边BC、DC上的点,若∠BAE=30°,∠DAF=15°.

(1)试猜想EF、BE、DF之间的数量关系,并证明;

(2)若正方形的边长为,求△AEF的面积;

(3)若连接BD,交AE于M、交AF于N,请探究线段BM、MN、DN之间的数量关系,并给出证明.

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24.如图,已知正方形ABCD的边长是2,E是DC上一点,△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合.

(1)指出旋转的中心和旋转的角度;

(2)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?请说明理由.

(3)已知点G在BC上,且∠GAE=45°.

①试说明GE=DE+BG.

②若E是DC的中点,求BG的长.

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