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华师九年级第29章《几何的回顾》(1) 教案

发布时间:2014-02-03 13:43:59  

课题:29.1几何问题的处理方法 课时安排:4课时 教材分析:

本节用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知和操作说理得到的有关三角形、四边形的一些命题重新进行研究。通过对证明的方法与步骤的介绍,让学生充分地感受到直观感知和操作说理是研究几何图形属性的重要方法,而逻辑推理则是研究并确认几何图形属性的重要方法。

教学目标:

1.学生充分感觉到直观感知和操作说理是研究几何图形属性的重要方法。

2.培养学生观察问题和分析问题的能力。

3.让学生体会证明的必要性,体验数学的逻辑美。

教学重点、难点:

重点:推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。

难点:学生逻辑推理能力的培养。

教学方法:

启发引导,渐近式教学

教学过程:

一.复习引入:

我们已经学习了许多几何图形的性质,在认识这些图形的性质时,常常采用看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜等方法,并在实验、操作中对它们作出解释,这是研究几何图形性质的一种基本方法.同时我们也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的性质.

二.新课评析

1、回顾与尝试

让学生每人做一个等腰三角形的半透明纸片,第个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样,如图示,把纸对折,让两腰AB、AC重叠在一起,折痕为AD。你能发现什么现象吗?

AA

B对称图形,折痕AD所在的直线就是它的对称轴。

1

由于AB与AC重合,因此点B与点C重合,这样线段BD与CD也重合,所以∠B=∠C。

由此我们可以得出结论:

等腰三角形的两个底角相等。(简写成“等边对等角”)

这种合情推理的方法是研究几何图形属性的一种基本方法。同时也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的属性。

2、理解为何需要推理证明

已知:在△ABC中,AB=AC, ∠B=80°,求∠C和∠A的度数。 解: ∵AB=AC(已知),

∴ ∠C= ∠B= 80°(等边对等角)

∵ ∠A +∠B+ ∠C=180 °(三角形内角和等于180 ° )

∴∠A=180°- ∠B- ∠C(等式的性质)

=180 ° -80 ° -80 ° =20 °。

用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的属性这种合情推理的方法是研究问题的又一种基本方法。

逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法.

逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的,最原始的依据,因此在第19章中,给出了如下的公理:

(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等.

(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。

(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别对应相等,那么这两个三角形全等。

(4)全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。

等式、不等式的有关性质以及选等量代换也是推理的依据。也将“经过两点有且只有一条直线”以及“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”(平行公理)作为添加辅助线的依据。

有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理的方法证明本教材中出现地的所有的几何图形的属性。

三.平行线的性质回顾

如图AB//CD, 同位角∠1 与∠2大小有

什么关系?其他同位角大小也有这样的关

A 系吗?

结论:如果两条平行直线被第三条直线所C 截,同位角相等

讨论:在这个特征中,条件是什么?结论是什

2

么?

它与”同位角相等,两直线平行”有什么不同?

如图AB//CD, 内错角∠2 与∠3大小有什么关系?

∵ a // b ( 已 知 ) ∴ ∠1= ∠3(两直线平行,同位角相等)A 2

又∵ ∠1= ∠2(对顶角相等) C ∴ ∠2= ∠3(等量代换)

结论:如果两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。

如图AB//CD, 同旁内角∠2 与∠4大小有什么关系?

A 4

C

结论:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补

想一想:

如图,三根木条相交成∠1与∠2,固定木条b,c,转动木条a。并猜想: ∠1与∠2满足什么条件时, a//b?

平行线的判定方法1:

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 如图:如何判断这块玻璃板的上、下两边平行?

已知∠1 =∠3,直线a、b会平行吗?

解:略 a 平行线的判定方法2: 1

b

3

两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 感受证明

求证:三角形的内角和为180°

已知:△ABC

求证:∠A+∠B +∠C=180°

由此我们知道,逻辑推理是最终确认几何图形属性的重要方法。 联想:

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

直角三角形的两锐角互余

n边形的内角和等于(n-2)×180°。

例 求证:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

已知:如图,∠CBD是△ABC的一外角。

求证:∠CBD=∠A+∠C

证明: ∵∠A+∠ABC+∠C=1800(三角形内角和定理),

∠A+ ∠C=1800- ∠ABC(等式的性质)

∠ABC+∠CBD=1800(平角的定义),

∴∠CBD=1800-∠ABC.(等量性质). A B D

∴ ∠CBD=∠A+∠C (等量代换).

如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系? ∠1+∠4=1800 ;∠1>∠2;∠1>∠3;

∠1=∠2+∠3.

证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),

∠1+∠4=1800(平角的意义) ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).

∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分?用文字表述为: ? B C 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

?三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论 D

4

推论可以当作定理使用.

?三角形内角和定理的推论:

?推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

?推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.看谁更聪明:

有了“三角形的三个内角和等于180°”这条定理后,你能证明直角三角形的两个锐角之间所具有的数量关系吗?

课堂感悟:

谈一谈你对于证明,有了哪些新的认识.

新课引入

在公理的基础上,我们以证得了许多与平行线、三角形有关的图形的属性,并将这些图形的属性均作为进一步推理的依据,于是又进一步证明等腰三角形、平行四边形的性质与判定定理。

例如,有了“边角边”公理,我们以证明了等腰三角形的性质定理“等腰三角形的底角相等”、“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即等腰三角形三线合一)”

探索:

如图(见P66图16.1.2)按照下面的步骤,在方格纸上画一个平行四边形。

步骤1:画两条平行线;

步骤2:在两条线上分别取点A和点B,连结AB;

步骤3:沿着水平方向平移AB到DC,就得到平行四边形ABCD。

如图P66 16.1.3。用剪刀把 ABCD从方格纸上剪下,再在一张纸上沿 ABCD的边沿,画出一个四边形,记为四边形EFGH。则四边形EFGH和四边形ABCD完全一样,也为平行四边形。它们的对应边、对应角都相等。

ABCD中连结AC、BD,它们的交点记为O。

用一枚图钉在点O穿过,将 O旋转180,观察旋转后的 ABCD0

5

和纸上所画的 是否重合。

你能从中得出 的一些边角关系吗?

旋转180之后两个平行四边形完全重合。即平行四边形是中心对称图形,对角线的交点O就是对称中心。由此得到:

AD=BC,AB=DC

∠A=∠C;∠B =∠D

即平行四边形的对边相等、对角相等。

平行四边形的性质

定理:平行四边形的对边相等.

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴AB=CD,BC=DA.

定理:平行四边形的对角相等.

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴∠A=∠C, ∠B=∠D.

定理:平行四边形的对角线互相平分.

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴CO=AO,BO=DO.

推论:夹在两条平行线间的平行线段相等.

∵MN∥PQ,AB∥CD,

∴AB=CD.

有了平行四边形的性质,还

可以证明矩形、菱形、正方形、

等腰梯形的有关性质

例如要证明菱形的对角线

互相垂直,可以先证明菱形的四

条边相等。这是因为菱形的对边

相等,且有一组邻边相等,故四

条边都相等。

例3:如图29.1.5,四边形ABCD

是菱形。

求证:AC⊥BD,且AC平分∠BAD。

证明:设AC与BD相交于O。 0C C P Q

6

∵四边形ABCD是菱形,

∴BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)AB=AD(菱形的四条边相等) ∴ AC⊥BD,且AC平分∠BAD(等腰三角形三线合一)

在第20章中,我们证明了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定方法。

由此可知,由给出的公理,以及与等式、不等式有关的性质出发,是能够通过逻辑推理的方法证明我们已经探索研究过的所有几何图形属性的。

作业:习题29.1

教学反思:

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