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1第一讲 实数的概念 平方根和开平方

发布时间:2014-02-03 13:44:03  

第一讲 实数的概念 平方根和开平方

【典型例题1】把下列各数入相应的括号内:

..22-3.14、0、、3.1416、7、0.23、-、0.2020020002?(每两个2之间多一个0)、7

π

有理数﹛ ﹜;无理数﹛ ﹜;

正实数﹛ ﹜;负实数﹛ ﹜

【解】

..22有理数﹛-3.14、 0、、3.1416、0.23 ﹜ 7

无理数﹛7、-、0.2020020002?、π﹜ ..22正实数﹛、3.1416、7、0.23、0.2020020002?(每两个2之间多一个0)、π﹜ 7

负实数﹛-3.14、-﹜

【知识点】

1、无理数:无限不循环小数叫做无理数。

无理数也有正、负之分: 如2、π、0.101 001 0001?等这样的数叫正无理数(有时在这些数的前面加上“+”号); 如-2、-π、-0.101 001 0001?等这样的数叫负无理数(这些数前面的“-”号不可省略)。只有符号不同的两个无理数,如2与-2,π与-π,它们互为相反数。

2、实数:有理数和无理数统称为实数。

实数可以这样分类:

正有理数

有理数 零 ——有限小数或无限循环小数

实数 负有理数

正无理数

无理数 ——无限不循环小数

负无理数 { { {

【基本习题限时训练】

1、判断下列说法是否正确

(1)有限小数都是有理数,无限小数都是无理数。 ( )

1

(2)一个有理数,不是正数就是负数。 ( )

(3)一个无理数,不是正数就是负数。 ( )

(4)一个实数,不是正数,就是负数。 ( )

答案: (1) × (2) × (3)√ (4)× ..322222、在-2、、(-1)、、、0.2329、?、0、0.1515515551?(两个3

1之间依次多1个5)中无理数的个数有( )

(A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)3个

【解】D

3、如果a、b是任意两个不相等的无理数,那么①a+b也是无理数;②a-b也是无理数;③a?b也是无理数;④a也是无理数。上面四个判断,不正确的是( ) b

(A)全部 (B)①② (C)①③ (D)①②④

【解】A

4、下面正确的说法是( )

(A)有理数都是有限小数 (B)无理数都是无限小数

(C)无限小数都是无理数 (D)实数中不带根号的数都是有理数

【解】(B)

【拓展题1】

将边长为2分米的正方形纸片对折两次,折成边长为1分米的小正方形,如图(1)所示。打后,得到各边中点E、G、H、F,折痕EG、HF交于正

方形中心O。再将顶点A、B、C、D向中心O折叠,得

四边形EFGH,如图(2)所示。

(1) 四边形EFGH是什么图形?

(2) 四边形EFGH的面积是多少?

(3) 四边形EFGH各边的长是多少?

【解】(1)四边形EFGH是正方形

(2)四边形EFGH的面积是2平方分米

(3)四边形EFGH各边的长是分米。

【典型例题2】1、求下列各数的平方根

2 FF图1

图2

(1)9 (2)400 (3)0.49 (4)

2264 81【解】(1)因为3=9,(-3)=9,所以9的平方根是±3

(2)因为20=400,(-20)=400,所以400的平方根是±20

(3)因为0.7=0.49,(-0.7)=0.49,所以0.49的平方根是±0.7

(4)因为(222282646488264)=,(-)=,所以的平方根是± 981981819

2、下列各数是否有平方根,如果有,有几个?并说明理由。

2 2(1)(-4)(2)-8 (3)0 (4)-x

【解】(1)有两个平方根

(2)没有平方根

(3)有一个平方根

(4)当x=0时,有一个平方根;当x≠0时,没有平方根。

【知识点】

1、平方根:如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做a的平方根。(即如果x2=a,则x叫做a的平方根)

2、一个正数有两个平方根,它们互为相反数.零的平方根是零;负数没有平方根.

【基本习题限时训练】

1、下列说法正确的是( )

(A)因为3的平方是9,所以9的平方根是3

(B)因为-3的平方是9,所以9的平方根是-3

22(C)因为(-3)的底数为-3,所以(-3)没有平方根

(D)因为-9是负数,所以-9没有平方根

【解】(D)

2、9的平方根是( )

(A)3 (B)?3 (C)3 (D)?

【解】(D)

3、已知:a2=b,且a<0,则a等于( )

(A)?3 (B)b (C)- (D) –b

【解】(C)

4、计算:41?的结果是( ) 916

(A)731911 (B) (C) (D)以上答案都不对 121212

3

【解】(C)

【典型例题3】 已知a?b?3与?b?5互为相反数,求a2+b2的值

【解】 由?b?3与a?b?5互为相反数,故a?b?3+?b?5=0,由算术平方根的性质得:a?b?3≥0,a?b?5≥0,所以?

得a2+b2=15

【知识点】

正数a的两个平方根可以用“±”表示,其中a表示a的正平方根(又叫算术平方根),?a?b?3?0?a?4,解得? a?b?5?0??b?1读作“根号a”; -a表示a的负平方根,读作“负根号a”。

【基本习题限时训练】

判断下列等式是否成立

22(1)?36=-6; (2)(?7)=7 (3)25=±5 (4)-(?3)=3

【解】(1)× (2)√ (3)× (4)×

【拓展题3】

1、请观察、思考下列计算过程:

2因为11=121,所以=11;

因为1112=12321,所以=111;

? 由此猜想7654321=________________

【解】111 111 111

2、计算:???622

【解】原式=?6=3

3、已知:a2=9,b=5,求a?b2的值

【解】由a2=9得:a=?3 ,由b=5得:b=?5

当a=3,b=5时,a?b2=8;

4

当a=3,b=-5时,

当a=-3,b=-5时,

当a=-3,b=5时,

所以a?b2=2; =8; ?a?b?2?a?b?2=2 a?b2的值是8或2。

4、如果2n-6与3n+1是同一个数的平方根,你能求出这个数吗?

【解】16或400

由于2n-6与3n+1是同一个数的平方根,则2n-6与3n+1的关系存在两种情况:互为相反数或相等 。当2n-6+3n+1=0时,n=1,2n-6=-4,-4是16的平方根;当2n-6=3n+1时,n=-7,2n-6=-20,-20是400的平方根。

【典型例题4】求下列各数的平方根和算术平方根

(1)0.0009 (2)(-5) (3)??6?2 -2

【解】(1)?0.03 0.03

(2)?5 5

(3)?

【知识点】

求一个数a的平方根的运算叫做开平方,a叫做被开方数。(开平方与平方互为逆运算)

【基本习题限时训练】求下列各数的平方根 11 66

79; (4)1.96; (5)0.0324; (6)2 9121

35【解】(1)?5 (2)?0.01 (3)? (4)?1.3 (5)?0.18 (6)? 311(1) 225; (2)0.0001; (3)

【拓展题4】

1、若x?16,那么5-x的算术平方根是( )

(A)?1 (B)?4 (C)1或9 (D)1或3

【解】D

2、计算??3

【解】-2

3、已知一个长方形广场,长是宽的2倍,它的面积为4000m。请问该长方形广场的宽最接近的两个整数是多少?

【解】设广场宽为x米,长为2x米,

由题意得:2x?x?4000 22???2?81

5

x2=2000 ,x1=?(不合题意,舍去) x2=2000

44<2000<45

所以该长方形广场的宽最接近的两个整数是44和45

【典型例题5】求值

(1)? (2)232 (3)-2 (4)? (5)??2?82 (6)-?82

【解】(1)15 (2)3 (3)-13 (4)10 (5)8 (6)-8

【知识点】

当a>0时,(a)

222= a,(-a)= a 2当a≥0时,a= a; 当a<0时,a=-a

【基本习题限时训练】 (1)?52= ( )

(A)5 (B)-5 (C)25 (D)?5

【解】(A)

(2)下列各式中,正确的是( ) 11?3?3(A)25=?5 (B)-.1=-0.9 (C)???= (D)9=3 42?4?4【解】(C)

(3) 2a2=a?成立的条件是( ) 2

(A)a是任意数 (B)a>0 (C)a<0 (D)a≥0

【解】(D) (4)若?a有意义,则a?a的值一定是( )

(A)正数 (B)负数 (C)非正数 (D)非负数

【解】(C)

【拓展题5】

1、求x+x中x的值 【解】由于负数没有平方根,要使x、?x同时成立,只有当x=0,所以x的值为0。

2、求代数式a?2+

【解】4

3、已知x=,求

2?a+4的值 x2?8x?16+9?6x?x2的值 6

【解】

x?8x?16+9?6x?x

=4-??3?1 22=x?4?2??3?x?2=?42?3?2 4、已知x、y为实数,求u=?x?y?1??2

22x?y?3的最小值和取得最小值时x,y的值。 【解】因为?x?y?1??0,2x?y?0 当?x?y?1??0,2x?y?0时,u=?x?y?1??222x?y?3=3 ?x?y?1?0?x?1即?,解得? 2x?y?0y?2??

所以,u=?x?y?1??22x?y?3的最小值是3,此时x=1,y=2

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