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数学奥林匹克初中训练题

发布时间:2014-02-03 14:42:00  

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数学奥林匹克初中训练题

第一试

一、选择题(每小题7分,共42分)

1.如图,已知在Rt△ABC中,AB=35,一个边长

为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的

周长为( ).

(A)35 (B)40 (C)81 (D)84

2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中,数码1

有( )个.

(A)50 (B)90 (C)99 (D)100

3.已知f(x)=x2+6ax-a,y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点

(x1,0),(x2,0),且

的值是( ).

(A)1 (B)2 (C)0或1 (D)1 22a3?(1?x1)(1?x2)(1-6a-x1)(1-6a-x2)=8a-3.则a

4.若不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立,则x的取值范

围是( ).

(A)2≤x≤3 (B)2<x<3 (C)-1≤x≤1

(D)-1<x<1

5.在Rt△ABC中,∠B=60°,∠C=90°,AB=1,分别以AB、

BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP

、等

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边△CAQ,联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ). (A)

(D)9323

3 (B)34 (C)1 2

6.在3×5的棋盘上,一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向

移动一小格,但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格

子开始,要求棋子经过全部的小正方格恰好一次,但不必回

到原来出发的小方格上.在这15个小方格中,有( )个可以

是这枚棋子出发的小方格.

(A)6 (B)8 (C)9

(D)10

二、填空题(每小题7分,共28分)

1.正方形ABCD的边长为5,E为边BC上一点,使得BE=3,

P是对角线BD上的一点,使得PE+PC的值最小.则

2.设a、b、c为整数,且对一切实数x,(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c)

恒成立.则a+b+c的值

为 .

3.如图,在以O为圆心的两个同心圆图2中,

MN为大圆的直径,交小圆于点P、Q

,大圆

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的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2,OP= 1,MA=AB=BC,则△MBQ的面积为 .

4.从1, 2,…, 2 006中,至少要取出个奇数,才能保证其中必定存在两个数,它们的和为2 008.

第二试

一、(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0,且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.

二、(25分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,

联结AD与内切圆相交于另一点P,联结

PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:

(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.

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三、(25122220082分)在[],[],?[]中,有多少个不同的整数(其200820082008

中,[x]表示不大于x的最大整数)?

数学奥林匹克初中训练题参考答案

第一试

一、1.D.

设BC=a,AC=b.则

a2+b2=352=1 225.①又Rt△AFE∽Rt△ACB,则FE/CB=AF/AC,.

故12(a+b)=ab.

由式①、②得(a+b)2=1 225+24(a+b).解得a+b=49(a+b=-25舍去).所以,周长为84.

2.C.

因为n=(10-1)+(100-1)+…+(100…0(99

1)0-99=11…1(97个1)011, 个0)-1)=11…1(99个

所以,n的十进制表示中,数码1有97+2=99(个).

3.D.

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由Δ=36a2+4a>0,得a>0或a<-1/9.由题意可设f(x)=x2+6ax-a=(x-x1)(x-x2). 则(1+x1)(1+x2)=f(-1)=1-7a, (1-6a-x1)(1-6a-x2)=f(1-6a)=1-7a. 所以,

a-31-7a

=8a-3.

解得a=1/2或a=0(舍去). 4.B.

由题意知,不等式ax2+7x-1>2x+对-1≤a≤1恒成立,即关于a的不等x2a+5x-6>0对-1≤a≤1恒成立.令g(a)=x2a+5x-6.则g(-1)=-x2+5x-6>0,g(1)=x2+5x-6>0.解得2<x<3. 5.A.

如图,联结PQ.由题设得BC=1/2 ,AC=/2,∠QAT=90°,

∠QCP=150°,P、B、R三点共线. 因为S△AQT=1 AT·AQ=1 AT·AC=

2

2

3

4

AT,

4

而S△ART/S△ARB=AT/AB,所以,S△ART=QT=RT. 于

S△PRT=

1

2

AT=S△AQT.从而,

S△PQR=

32

1 2

(S△ABC+S△ABR+S△BCP+S△CAQ+S△CPQ-S△AQR)=96.B.

.

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如图5,将3×5的棋盘黑白染色.图5中有8个黑色小方格和7个白色小方格,棋子每次移动都是黑白交替的,则7个白格不能作为出点.另一方面,如图6的8个黑格中的任一个都可以作为出发点.

二、1.15 2 /8.因为PE+PC=PE+PA,所以,当A、P、E三点共线时,PE+PA最小.

如图,建立直角坐标系,设B为坐标原点,

BA为x轴.则lBD:y=x,

lAE:3x+5y=15.所以,P(15/8,15/8).故PB=15

/8.

2.20或28.

因x2-(8+a)x+8a+1=x2-(b+c)x+bc恒成立,所以,8+a=b+c,8a+1=bc.

消去a可得bc-8(b+c)=-63,即(b-8)(c-8)=1.

因为b、c都是整数,所以,b-8=c-8=1或b-8=c-8=-1. 从而,a+b+c=20或28. 3.3 /8. 2

设MA=x.

由MA·MB=MP·MQ,得x·2x=1×3.解得x=

3

2.

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联结CN.在Rt△MCN中,MC=3x=3

所以,NC=5

232,MN=4. ,S△MCN= 34.

8又S△MQB/S△MCN=1/2,则S△MQB=3

4.503. .

从1,2,…,2 006中选出两个奇数,和为2 008的共有如下501组: 3+2 005,5+2 003,…,1 003+1 005.

由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2 008,因此,至少要取出503个奇数,才能保证其中一定有两个数,它们的和为2 008.

第二试

一、设z=w+a,y=w+a+b,x=w+a+b+c.则a、b、c≥0,且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.

100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c)

≥4(x+y+z+w).

因此,x+y+z+w≤25.

当x=y=z=25/3,w=0时,上式等号成立.故x+y+z+w的最大值为25.

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100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w),

则 x+y+z+w≥20.

当x=20,y=z=w=0时,上式等号成立.故x+y+z+w的最小值为20.

二、(1)如图,联结DF.则△BDF是等腰直角

三角形.于是,∠FPD=∠FDB=45°.故

∠DPC=45°.

又因为∠PDC=∠PFD,所以,△PFD∽△PDC.

从而,PF/FD=PD/DC.①

由∠AFP=∠ADF,∠AEP=∠ADE,

得△AFP∽△ADF,△AEP∽△ADE.

于是,EP/DE=AP/AE=AP/AF=FP/DF.

故由式①得EP/DE=PD/DC.

(2)因为∠EPD=∠EDC,结合式②得△EPD’∽△EDC.所以,△EPD也是等腰三角形.

三、设n2f(n)=2 008.

2 008当n=2,3,…,1 004时,有f(n)-f(n-1)=2n-1 <1.

而f(1)=0,f(1 004)=1 0042/2 008=502,

以,从0到502的整数都能取到.当n=1 005,1 006,…,

2 008

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时,有f(n)-f(n-1)= 2n-1>1. 2 008

而f(1 005)=1 0052/2 008=(1 004+1)2/2 008=502+1+1/2 008>503, 故122220082

[],[],?[]200820082008是互不同的整数.从而,在

503+1 004=1 507个不同的整数. 122220082

[],[],?[]中,共有200820082008

第12届中国数学奥林匹克 (1997年)

一、 设实数x1,x2,…,x1997满足如下两个条件:

(1)?1

?x1?(i?1,2,?,1997);

(2)x1?x2???x1997??3183.

二、点P是凸四边形内一点,且P到各顶点的连线与四边形过该点的两条边的夹角均为锐角.递推定义Ak、Bk、Ck和Dk分别为P关于直线Ak-1Bk-1、Bk-1Ck-1、Ck-1Dk-1、和Dk-1Ak-1的对称点(k=2,3, ……).

考察AjBjCjDj(j=1,2, ……).试问:

(1) 前12个四边形中,哪些必定与第1997个相似,

哪些未必;

(2) 假设第1997个是圆内接四边形,那么在前12个

四边形中,哪些必定是圆内接四边形,哪些未必.

三、求证存在无穷多个正整数n,使得可将1,2,…,3n列成数表

1212试求:x1?x12. 2???x1997的最大值,并说明理由

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a1 a2 … an

b1 b2 … bn

c1 c2 … cn

满足如下两个条件:

(1) a1+b1+c1=a2+b2+c2=…=an+bn+cn且为6的倍

数;

(2) a1+a2+…+an=b1+b2+…bn=c1+c2+…+cn且为6

的倍数.

四、四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q,过Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E、F.

求证:P、E、F三点共线.

五、设A={1,2,3,…,17},对于映射f:A?A,记f[1](x)?f(x),f[k?1](x)?f(fk(x))(k?N).设从A到A的一一映射f满足条件存在自然数M,使得:

(1)当m?M,1?i?16时,有

f[m](i?1)?f[m](i)?/?1(mod17),f[m](1)?f[m](17)?/?1(mod17).

(2)当1?i?16时,有

试对满足上述条件的一切f,求所对应的M的最大可能值,并证明你的结论.

六、设非负数列a1,a2, ……满足条件am?n?an?am,m,n?N. f[M](i?1)?f[M](i)?1或?(1mod17),f[M](1)?f[M](17)?1或?(1mod17).

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求证:对任意

n?m均有an?ma1?(n?1)am.m

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