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圆的应用题

发布时间:2014-02-04 10:42:56  

例1 如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm

,EB=2cm

,∠BED=30°,求CD的长.

分析 要充分利用条件∠BED=30°,构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形,通过解直角三角形求得未知量.

解 过O作OF⊥CD于F,连结CO,

∵AE=6cm,EB=2cm, ∴AB=8cm

∴OA=AB=4cm,OE=AE-AO=2cm,

在Rt△OEB中,∵∠CEA=∠BED=30°,

∴OF=OE=1cm.

在Rt△CFO中,OF =1cm,OC=OA=4cm,

∴CF= cm.

又∵OF⊥CD.∴ CD=2CF=2cm.

答:CD的长为2cm.

说明:此题是利用垂径定理的计算问题.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时,常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解;另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解,较为困难.

例2 已知:△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.

分析:①此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的图形,此题有两种情况;②利用条件构造垂径定理的基本图形解题.

解:分两种情况:

(1)如图①,过A作AD⊥BC于D,

又∵AB=AC,∴点O在AD上,∴OD=3cm.连结OB,

在Rt△ODB中,OB==5cm,OD=3cm,由勾股定理,得

在Rt△ADB中, AD=AO+OD=5+3=8cm,由勾股定理,得 ∴

,∴

(2)如图②,同理可得: (cm)

AB=(cm).

说明:①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②作辅助线的能力.

例3 在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD,求:AB与CD之间的距离.

分析:此题没有图形,在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧,也可能在在圆心的两侧,即有两解.

解:(略,8cm,22cm)

说明:此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题.

例4 已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E ,BF⊥CD于F .求证: CE=DF ;OE=OF

分析:本题的关键是作OH⊥CD

,构造垂径定理的基本图形解题,另外还用到平行线等分

线段定理等.

证明:(一)过O作OH⊥CD于H,

∵AE⊥CD,BF⊥CD ∴AE∥OH∥BF

∵AO = BO ∴EH = HF

∵OH⊥CD且O为圆心 ∴CH = HD

∴CH-EH = HD-HF 即 CE = DF

∵EH = HF ,OH⊥EF ∴ OH是EF的中垂线

∴ OE = OF .

证明(二)延长EO交BF于G,用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE = OF.

说明:(1)此题展示构造垂径定理的基本图形解题的基本方法;(2)让几何动起来.引申:让弦CD动起来,与直径AB不相交,让学生在运动中观察、发现问题,培养学生的探究能力.

例5 如图,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是的中点,AD⊥BC于D,求证:AD=BF.

分析:(方法一)由于A是的中点,连结OA可构造垂径定理的基本图形,BE=BF,△ADO≌△BEO,得AD=BE=BF.

(方法二)如图,补圆,延长AD交⊙O于E,造垂径定理的基本图形,问题即可解决. 证明:(略)

说明:此题是垂径定理的应用为过程,培养学生的发散思维.

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