haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

二次函数 轴对称

发布时间:2014-02-04 13:52:20  

5. (2011山东菏泽,21,9分)如图,抛物线y=

轴交于C点,且A(-1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)判断△ABC的形状,证明你的结论; 12x+bx-2与x轴交于A,B两点,与y2

(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.

解:(1)把点A(-1,0)的坐标代入抛物线的解析式y=

整理后解得b??3, 2

123x?x?2. 2212x+bx-2, 2所以抛物线的解析式为 y?

?325?顶点D?,??. 8??2

(2)∵AB=5,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.

(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′ (0,2),OC′=2.

连接C′D交x轴于点M,

根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.

设抛物线的对称轴交x轴于点E.

△C′OM∽△DEM. ∴m224OMOC??.∴.∴m=. ?32541EMED?m28

17. (2011贵州安顺,27,12分)如图,抛物线y=

y轴交于C点,且A(一1,0).

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

12x+bx-2与x轴交于A、B两点,与2

⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;

⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值. 第27题图

【答案】(1)∵点A(-1,0)在抛物线y=

解得b =?12 1x+ bx-2上,∴× (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0,223 2

1231311325x-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-, 22222228

325∴顶点D的坐标为 (, -). 28∴抛物线的解析式为y=

(2)当x = 0时y = -2, ∴C(0,-2),OC = 2。

当y = 0时, 123x-x-2 = 0, ∴x1 = -1, x2 = 4, ∴B (4,0) 22

∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.

∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,

∴AC2 +BC2 = AB2. ∴△ABC是直角三角形.

(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC′=2,连接C′D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC + MD的值最小。

解法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM. OMOC? ?EMED

m224∴,∴m =. ?32541?m28∴

解法二:设直线C′D的解析式为y = kx + n , ?n?241?则?325,解得n = 2, k?? .21世纪教育网 k?n??12?8?2

∴y??41x?2 . 12

∴当y = 0时, ?41x?2?0, 12

2424 . ∴m?. x?4141

9.(2011年浙江省杭州市城南初级中学中考数学模拟试题)已知二次函数y?ax2?bx?c的图象Q与x轴有且只有一个交点P,与y轴的交点为B(0,4),且ac=b,

(1)求这个二次函数的解析式。

(2)将一次函数y=-3x的图象作适当平移,使它经过点P,记所得的图象为L,图象L

与Q的另一个交点为C,请在y轴上找一点D,使得△CDP的周长最短。

答案:(1)由B(0,4)得,c=4.

Q与x轴的交点P(?b,0), 2a

由条件ac?b,得bbc?c,所以?=???2,即P(?2,0). a2a2

所以??a?1,?b?4a,解得? ?b?4.?4a?2b?4?0.

2所求二次函数的解析式为y?x?4x?4.

(2)设图象L的函数解析式为y=?3x+b,因图象L过点P(?2,0),

所以b??6,即平移后所得一次函数的解析式为

y=?3x?6.

令?3x?6=x?4x?4,

解得x1??2,x2??5.

将它们分别代入y=?3x?6,

得y1?0,y2?9.

所以图象L与Q的另一个交点为C(?5,9).

∵点P(?2,0)关于y轴的对称点为点P’(2,0)

2

则直线CP’的解析式为y??91818x?,且与y轴的交点为D(0 , ) 777

D(0 , 即 在y轴上使得C?CD最小的点是P18) 7

11.(浙江杭州金山学校2011模拟)(根据2010年中考数学考前知识点回归+巩固 专题13

二次函数题目改编)

如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.

(1)直接写出点E、F的坐标;

(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰...

三角形,求该抛物线的解析式;

(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周 长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.

,;F(1,2). 答案:解:(1)E(31)

(2)在Rt△EBF中,?B?90,

?

?EF???

设点P的坐标为(0,n),其中n?0,

,2),[来源:学科∵顶点F(1

网]

∴设抛物线解析式为

y?a(x?1)2?2(a?0).

①如图①,当EF?

PF时,

EF2?PF2,

?12?(n?2)2?5.

解得n1?0(舍去);n2?4.

?P(0,4).

?4?a(0?1)2?2.

解得a?2.

?抛物线的解析式为y?2(x?1)2?2

22②如图②,当EP?FP时,EP?FP,

?(2?n)2?1?(1?n)2?9. 解得n??5(舍去). 2

③当EF?

EP时,EP??3,这种情况不存在.

综上所述,符合条件的抛物线解析式是y?2(x?1)2?2.

(3)存在点M,N,使得四边形MNFE的周长最小.

如图③,作点E关于x轴的对称点E?,作点F关于y轴的对称点F?,连接E?F?,分别与x轴、y轴交于点M,N,则点M,N就是所求点.

?E?(3,?1),F?(?1,,2)NF?NF?,ME?ME?.

?BF??4,BE??3.

?FN?NM?ME?F?N?NM?

ME??F?E???5.

又?EF?

?FN?NM?ME?EF?5,此时四边形MNFE的

周长最小值是5

25、(2011年北京四中33模)如图,△ABC的三个顶点

坐标分别为A(-2,0)、B(6,0)、C(0,?23), D

抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

(1)求直线AC的解析式;

(2)求抛物线的解析式;

(3)若抛物线的顶点为D,在直线AC上是否存一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。

答案:解(1)设直线AC的解析式为y=kx+b 2

???k??3?0??2k?bA(-2,0),C(0,-23),∴?,∴? ????23?b?b??2∴y??3x?23

(2)∵A(-2,0),B(6,0),C(0,-23),抛物线y=ax+bx+c过A、B、C三点 2

??a?6??0?4a?2b?c??23?0?36a?6b?c ∴?,∴?b?? 3???23?c??c??2???

∴所求抛物线方程为y?

(3)存在满足条件的点P。 3223x?x?23 63

P D 83(x?2)2? ∵抛物线方程为y?, 63

∴顶点D的坐标为?2,??

??8?? 3??

要使△BDP的周长最小,只需DP+PB最小,

延长BC到点B′,使B?C?BC,连接B?D交直线AC于点P

∵BC⊥AC,∴B?P?BP,

∴DP+BP=DP+B?P?B?D最小,则此时△BDP的周长最小,

∴点P就是所求的点

过点B′作B?H⊥AB于点H,∵B(6,0),C(0,?23)

∴在Rt△BOC中,∴BC=4

∵OC//B?H,B?C?BC,

∴OH=BO=6,B?H?2OC?43,∴B??6,?4

设直线B?D的解析式为y=mx+n,

∵D?2,????

??83??,B??6,?43在直线B?D上, 3????

???4??6m?n3?m??∴?83 ∴?6

?2m?n???n??3?3?

∴y?x?33 6

6??x?3??620?x?337?y???,?? ∵?,∴,∴P6??7??y??3x?23?y??203?7???7?

?6203?? ∴在直线AC上存在点P,使得△BDP的周长最小,此时P?,??77???

27、(2011年浙江杭州28模)已知二次函数y?ax2?bx?c的图象Q与x轴有且只有一个交点P,与y轴的交点为B(0,4),且ac=b,

(1)求这个二次函数的解析式。

(2)将一次函数y=-3x的图象作适当平移,使它经过点P,记所得的图象为L,图象L与Q的另一个交点为C,请在y轴上找一点D,使得△CDP的周长最短。

答案:解:(1)由B(0,4)得,c=4.

Q与x轴的交点P(?

由条件ac?b,得b,0), 2abbc?c,所以?=???2,即P(?2,0). a2a2

所以??a?1,?b?4a,解得?

?b?4.?4a?2b?4?0.

2所求二次函数的解析式为y?x?4x?4.

(2)设图象L的函数解析式为y=?3x+b,因图象L过点P(?2,0),

所以b??6,即平移后所得一次函数的解析式为 y=?3x?6.

令?3x?6=x?4x?4, 2

解得x1??2,x2??5.

将它们分别代入y=?3x?6,

得y1?0,y2?9.

所以图象L与Q的另一个交点为C(?5,9).

∵点P(?2,0)关于y轴的对称点为点P’(2,0)

则直线CP’的解析式为y??91818x?,且与y轴的交点为D(0 , ) 77

即 在y轴上使得C18

?CDP最小的点是D(0 , 7)

7

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com