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5.3.2命题、定理、证明

发布时间:2014-02-04 14:47:50  

5.3.2 命题、定理、证明

对事情作了判断的语句是否正确? 下列语句在表述形式上,哪些是对事情作了判 断?哪些没有对事情作出判断? 1、对顶角相等; 是 √ 2、画一个角等于已知角; 否 √ 3、两直线平行,同位角相等; 是 否 4、a、b两条直线平行吗? 否 5、温柔的小明; 是 6、玫瑰花是动物; ×

判断一件事情的语句叫做命题。
注意: 1、只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题。 如:相等的角是对顶角。

2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就 不是命题。
如:画线段AB=CD。 命题是由题设和结论两部分组成。题设是已知事项,结论是由 已知事项推出的事项。 两直线平行, 题设 同位角相等。 结论

命题的结构
在数学中,许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部 分组成的.题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事 项.这样的命题常可写成“如果……,那么……”的形 式.用“如果”开始的部分就是题设,而用“那么”开始 的部分就是结论. (1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;

题设

结论

(2)如果两个角是直角,那么这两个角相等。

题设

结论

例1 把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写 成“如果??,那么??”的形式,并分别指出命题的题设 与结论. 解 这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相 等,那么这个三角形是等边三角形”. 这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”, 结论是“这个三角形是等边三角形”.

注意:添加“如果”、“那么”后,命题的意 义不能改变,改写的句子要完整,语句要通顺, 使命题的题设和结论更明朗,易于分辨,改写 过程中,要适当增加词语,

指出下列各命题的题设和结论,并改写 成“如果??那么??”的形式。
1、对顶角相等; 2、等角的补角相等; 3、两平行线被第三直线所截,同位角相等; 4、正数与负数的和为0 ; 5、同平行于一直线的两直线平行; 6、直角三角形的两个锐角互余。

有些命题如果题设成立,那么结论一定成立; 而有些命题题设成立时,结论不一定成立。

如命题:“如果一个数能被4整除,那么它也能 被2整除”就是一个正确的命题。
如命题:“如果两个角互补,那么它们是邻补 角”就是一个错误的命题。 正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题。 确定一个命题真假的方法: 利用已有的知识,通过观察、验证、推理、举 反例等方法。

下列句子哪些是命题?是命题的,指出 是真命题还是假命题? 是 真命题 1、猪有四只脚; 2、内错角相等; 是 假命题 否

3、画一条直线; 是 假命题 4、四边形是正方形; 否 5、你的作业做完了吗? 6、同位角相等,两直线平行; 是 真命题 7、对顶角相等; 是 真命题 8、同垂直于一直线的两直线平行;是 假命题

1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践 中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真 假的原始依据,这样的真命题叫做公理。 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发,用 逻辑推理的方法判断它们是正确的,这样的真 命题叫做定理。 公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。 3、在很多情况下,一个命题的正确性需要经过 推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明。

命题1: 在同一平面内,如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条. (1)这个命题的题设和结论分别是什么呢? 题设:在同一平面内,一条直线垂直于两条平行线中 的一条; 结论:这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.

命题1 在同一平面内,如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条.

(2)你能结合图形用几何语言表述命题的题设和 结论吗?
已知:b∥c, a⊥b . 求证:a⊥c.

证明中的每一步推理都要有根据,不能想“当然”
(3)请同学们思考如何利用已经学过的定义定理 来证明这个结论呢? 已知:b∥c,a⊥b . 求证:a⊥c. 证明:∵ a⊥b(已知), ∴∠1=90o (垂直的定义). 又∵ b∥c(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).

∴∠2=∠1=90o(等量代换).
∴ a⊥c(垂直的定义).

命题2 相等的角是对顶角. (1)这个命题题设和结论分别是什么? 题设:两个角相等; 结论:这两个角互为对顶角. (2)判断这个命题的真假. 我们知道假命题是在条件成立的前提下,结论 不一定成立,你能否利用图形举出一个反例说明当 两个角相等时它们不一定是对顶角的关系. 判断一个命题是假命题,只 要举出一个例子(反例),它符 合命题的题设,但不满足结论就 可以了。这种方法称为举反例。

3、

课堂小结

1、命题:判断一件事情的语句叫命题。 (1)正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题。 (2)命题的结构:命题由题设和结论两部分构成,常可写成 “如果?,那么?”的形式。 2、公理:人们长期以来在实践中总结出来的,并作为判断其他 命题真假的根据的命题,叫做公理。 3、定理:经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推 理的依据。 4、在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,

才能作出判断,这个推理过程叫做证明。
5、判断一个命题是假命题,只

要举出一个例子,说明该命题不 成立就可以了,这种方法称为举反例。

公理举例: 1、直线公理:经过两点有且只有一条直线。 2、线段公理:两点的所有连线中,线段最短。 3、平行公理:经过直线外一点,有且只有一条 直线与已知直线平行。

4、平行线判定公理: 同位角相等,两直线平行。
5、平行线性质公理: 两直线平行,同位角相等。

定理举例: 1、补角的性质:

同角或等角的补角相等。

2、余角的性质:

同角或等角的余角相等。

3、对顶角的性质: 对顶角相等。

4、垂线的性质:

①过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直; ②垂线段最短。

5、平行公理的推论: 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直 线也互相平行。

定理举例:

6、平行线的判定定理:
内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。

7、平行线的性质定理:
两直线平行,内错角相等。 两直线平行,同旁内角互补。

作业

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