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圆知识点复习

发布时间:2014-02-04 15:51:54  

圆的知识点小结

一、圆的概念

集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;

3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念:

1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;

(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫

中垂线);

3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

有关概念:

圆——到定点的距离等于定长的点的集合

圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

等圆——圆心不相同,半径相等的圆;同心圆——圆心相同,半径不等的圆。 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。按与半圆的大小关系可分为:优弧和劣弧 等弧——在同圆或等圆中,能够重合的两条弧

弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的弦。 弦心距——圆心到直线的距离

弓形——弧与所对的弦所组成得图形。

圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部

圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部

圆心角:顶点在圆心的角

圆周角 :顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

弦切角、

圆内角、圆外角及性质:

顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。

顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.

顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半. 确定圆的条件:

定理——不在同一直线上的三点确定一个圆。

相关概念及性质——三角形的外接圆 圆的内接三角形 三角形的外心

三角形的外心的性质:三角形的外心到各个顶点的距离相等。

定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

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圆的知识点小结

二、圆的对称性:

圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线;

垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 ④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 依据垂径定理及其推论①②③可概括为定理:对于一条直线和一个圆来说,如果具备下列五个条件中的任意两个,那么也具备其他三个:①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧 即:

①{ EMBED Equation.DSMT4 |AB是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙中,∵∥ ∴弧弧

圆是中心对称图形,对称中心是圆心;其特有旋转不变性。 1、圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。

此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①;②;③;④ 弧弧

推论——在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相

等,那么它们所对应的其余各组量都相等 2、圆周角与圆心角的关系:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴

3、圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;

即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角 ∴

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D

B

圆的知识点小结

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙中,∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径

推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△中,∵

∴△是直角三角形或

B

O

B

A

A

注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

4、圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙中,

∵四边形是内接四边形 ∴

三、圆的相关位置关系 (1)点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内; 2、点在圆上 点在圆上; 3、点在圆外 点在圆外;

A

(2)直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点; 2、直线与圆相切 有一个交点; 3、直线与圆相交 有两个交点;

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圆的知识点小结

切线的性质与判定定理

(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可

即:∵且过半径外端

∴是⊙的切线

直线和圆位置关系的判定:

①依据定义 ②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系

圆的切线的判定:

① 定义②依据d=r

③用判定定理——圆的切线证明的两种情况:①连半径,证垂直;②作垂直,证半径。

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)

推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中

两个条件就能推出最后一个。

切线长定理

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵、是的两条切线

P 平分

相关概念及性质:三角形的内切圆 圆的外切三角形 三角形的内心

三角形的内心的性质:三角形的内心到三角形各边距离相等

圆的外切四边形两组对边和相等

弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

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圆的知识点小结

(3)、圆与圆的位置关系

外离(图1) 无交点 ; 外切(图2) 有一个交点 ; 相交(图3) 有两个交点 ; 内切(图4) 有一个交点 ; 内含(图5) 无交点 ;

图1

图2

图4

图5

一些重要的圆的相关定理 圆幂定理

(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在⊙中,∵弦、相交于点, ∴

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即:在⊙中,∵直径, ∴

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙中,∵是切线,是割线 ∴

B

B

D

A

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圆的知识点小结

(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。 即:在⊙中,∵、是割线 ∴

两圆公共弦定理

圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。 如图:垂直平分。

即:∵⊙、⊙相交于、两点 ∴垂直平分 圆的公切线

两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长:中,;

(2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 。

四、圆的相关运算 (1)圆内正多边形的计算 (1)正三角形

在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:;

(2)正四边形

同理,四边形的有关计算在中进行,:

(3)正六边形

同理,六边形的有关计算在中进行,.

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圆的知识点小结

(2)、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:;

(2)扇形面积公式:

:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积

2、圆柱:

(1)圆柱侧面展开图 =

D1

C1

O

l(2)圆柱的体积:

(2)圆锥侧面展开图 (1)=

(2)圆锥的体积:

五、圆有关问题辅助线的常见作法

半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内切圆,内角平分线梦圆。如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。

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