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勾股定理知识点总结

发布时间:2014-02-05 11:43:37  

勾股定理全章知识点归纳总结

一.基础知识点:

1:勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a+b=c) 222 要点诠释:

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:

(1)已知直角三角形的两边求第三边(在?ABC中,?C?90?

,则c

b?

,a?

(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边

(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2:勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角222

形。

要点诠释:

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:

(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;

(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三角形)。

(定理中a,b,c及a2?b2?c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2?c2?b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边)

3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定

理; DE

C联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。

4:互逆命题的概念 AbB

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导

1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系:a2+b2=c2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.

5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解.

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)

5:勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理

常见方法如下:

1方法一:4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD,4?ab?(b?a)2?c2,化简可证. 2

方法二:

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

1

S?4?ab?c2?2ab?c2

2

a

bc

a

b

b

c

cb

C

a

大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2 所以a2?b2?c2

D

a

111

方法三:S梯形?(a?b)?(a?b),S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2,化

222

A

E

bc

B

Aa

Db

简得证

c

6:勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即

a2?b2?c2中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数

B

b

E

aC

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数:n2?1,2n,n2?1(n?2,n为正

C

整数);

2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1(n为正整数)m2?n2,2mn,m2?n2

A

BD

(m?n,m,n为正整数)

二、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在?ABC中,?C?90?.

⑴已知AC?6,BC?8.求AB的长

⑵已知AB?17,AC?15,求BC的长分析:直接应用勾股定理a2?b2?c2

解:⑴AB?10

⑵BC8

题型二:利用勾股定理测量长度

例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么

15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!

根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.

例题2 如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度A

C.

解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下(仅供参考):

解:如图2,根据勾股定理,AC+CD=AD

设水深AC= x米,那么AD=AB=AC+CB=x+0.5

x2+1.52=( x+0.5)2

222

详细解题步骤如下:

解:设正方形ABCD的边长为4a,则

BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a

在Rt△CDE中,DE=CD+CE=(4a)+(2 a)=20 a222222

同理EF2=5a2, DF2=25a2

在△DEF中,EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2

∴△DEF是直角三角形,且∠DEF=90°.

注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。

题型四:利用勾股定理求线段长度——

例题4 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.

解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

详细解题过程如下:

解:根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF

∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE

设CE=xcm,

则DE=EF=CD-CE=8-x

在Rt△ABF中由勾股定理得:

AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102,

∴BF=6cm

∴CF=BC-BF=10-6=4(cm)

在Rt△ECF中由勾股定理可得:

EF2=CE2+CF2,即(8-x) 2=x2+42

∴64-16x+x=2+16

∴x=3(cm),即CE=3 cm

注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题5 如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边,他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗?怎样去验证AD边与CD边是否垂直?

解析:由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。我们2

通常截取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD表示桌面形状,在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度?),连结MN,测量MN的长度。

①如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直;

②如果MN=a≠15,则9+12=81+144=225, a≠225,即9+12≠ a,所以∠A不是直

角。利用勾股定理解决实际问题——

例题6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5

米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身

高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?

解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5

米还是脚先

距离灯5米,可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型,

如图6 所示,A点表示控制灯,BM表示人的高度,BC∥MN,BC⊥AN当头(B点)距离A有5米时,求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。

题型六:旋转问题:

例1、如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,若AP=3,求PP′的长。

变式1:如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=求△ABC的边长.

分析:利用旋转变换,将△BPA绕点B逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中, 根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.

变式2、如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E、F是BC上的点,且∠EAF=45°, 试探究BE2、CF2、EF2间的关系,并说明理由.

222222

题型七:关于翻折问题

例1、 如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片

沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.

变式:如图,AD是△ABC的中

直线AD翻折,点C落在点C’的

题型八:关于勾股定理在实际中的应用:

例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中

学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行

驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN

上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受

到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?

题型九:关于最短性问题

例5、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边

沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉

这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条

螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了

一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?(π取3.14,结果保

留1位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?

线,∠ADC=45°,把△ADC沿位置,BC=4,求BC’的长.

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