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新北师大版数学八年级下第一章三角形的证明导学案

发布时间:2014-02-05 11:43:40  

第一章 三角形的证明

第一节 等腰三角形(一)

模块一 预习反馈(P2—P6)

一.知识点

1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。(论证)

2、全等三角形的对应边相等,对应角相等。

3、等腰三角形性质定理: (等边对等角)。(论证)

4、推论(三线合一): 。(论证)

5、等边三角形性质定理: 。(论证) 论证要求(画图、写出已知、求证、证明过程)

1

模块二 基础训练

1.如图,已知∠D =∠C,∠A =∠B,且AE = BF。求证:AD = BC。

D

F

2.如图,在△ABC中,AB = AC,AD⊥AC∠BAC = 100°。

求∠1、∠3、∠B的度数。

3BC

3.如图,在△ABC中,D为AC上一点,并且AB = AD,DB = DC,若∠C = 29°,求∠A。

A

BC模块三 能力提升

1. 填空:

(1)如图,在△ABC中,AB = AC,点D在AC上,且BD = BC = AD。

请找出所有的等腰三角形 。 (2)等腰三角形的顶角为50°,则它的底角为 。

(3)等腰三角形的一个角为40°,则另两个角为 。

(4)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 D

BC

2. 如图,在△ABC中,AB = AC,D是BC边上的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC。 求证:∠1 =∠2。 A

F BC

模块四:课下练习

2

☆能力提升

1.△ABC中,AB=AC,∠A=50°,P是△ABC 内一点,且∠PBC=∠ACP,求∠BPC的度数 _________.

2. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的角平分线. 求证:BD=CE.

3.如图,A、B、F、D在同一直线上,AB=DF, AE=BC,且AE∥BC.

求证:⑴△AEF≌△BCD, ⑵EF∥CD.

F D

●中考在线

1、 已知:如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE, DG⊥CE,G是垂足, 求证:(1)G是CE中点;

(2)∠B=2∠BCE.

2.C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.

(1)求证:△ACD≌△BCE; (2)若∠D=50°,求∠B的度数.

第一节 等腰三角形(二)

3

模块一 预习反馈(P5例1—P9)

一.知识点

1、等腰三角形两个底角的平分线相等;

2、等腰三角形腰上的高相等;

3、等腰三角形腰上的中线相等;

4、推理论证:等腰三角形腰上的中线相等;

(以上定理画图、写出已知、求证、证明过程)

5.等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60?。

6、两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角对等边)

7、反证法:在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法。

模块二 基础训练

1. 在如图的等腰三角形ABC中,

11(1)如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论? 33

1111(2)如果AD= AC,AE= AB,那么BD=CE吗?如果AD=,AE=呢?由此你得到什么2233

结论?

A

ED

2.想想出反证法证明问题的一般步骤。把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。 a) 三角形中必有一个内角不少于60度;

b) 一个三角形中不能有两个角是钝角;

c) 垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、如图,?ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD = CE。求证:?ABC是等腰三角形。

A

4

E

BC

模块三 能力提升

1、如图,在△ABC中,AB = AC,DE∥BC,求证:△ADE是等腰三角形。

DE

BC

2、如图,E是△ABC内的一点,AB = AC,连接AE、BE、CE,且BE = CE,延长AE,交BC边于点D。求证:AD⊥BC。 A

BD

模块四:课下练习

1、 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°,则 ∠B等于________度.

2、 如图,已知∠ABC=20°,BD=DE=EF=FG,求∠CGF和∠AFG的度数分别是_________.

3、 如图,在△ABC中,

∠B、∠C的平分线交于E,过E作DF∥BC交AB于

D

,交AC于F.若BD+CF=8,则线段DF的长( ).

A.9 B.7

C.8 D.6

5

5.如图,在△ABC中,∠A=20°,D在AB上,AD=DC,∠ACD∶∠BCD=2∶3,求:∠ABC的度数.

●中考在线

1、 如图,△ABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,且ED⊥BC于D,求证:AE=AF.

2.如图,△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACG的平分线交于点D,过D点作BC的平行线交AB于E,交AC于F,那么EF与BE,CF之间存在怎样的关系

.

第一节 等腰三角形(三)

模块一 预习反馈(P10—P11)

一.知识点

1、等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质。

2、等边三角形的判定

1) 三个角都相等的三角形是等边三角形 。

2) 有一个角等于60?的等腰三角形是等边三角形。(证明)

3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30?,那么它所对的直角边等于斜边的一半。(证明)

6

模块二 基础训练

1、 已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB、AC于D、E。

求证:△ADE 是等边三角形。 A

E

BC

2、如图,△ABC是等边三角形,BD = CE,∠1 =∠2。求证:△ADE是等边三角形。 AE

B C

3、如图,在Rt?ABC中,∠B = 30°,BD = AD,BD = 12,求DC的长。

A

?

DC

模块三 能力提升

1、 填空:

(1)如图1,BC = AC,若 ,则△ABC是等边三角形。

(2)如图2,AB = AC,BC⊥AD,BD = 4,若AB = ,则△ABC是等边三角形。

(3)如图3,在Rt?ABC中,∠B = 30°,AC = 6cm,则AB = ;若AB = 7,则AC = 。 A

C BBC图1 图2 图3

2、如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD。

模块四:课下练习

1、填空:

(1)如图1,AB = AC,AD是△ABC的一条中线,AB = 5,若BD = ,则△ABC是等边三角形。

7

(2)如图2,∠BAC=120°,AB=AC,AB=14,则AD = 。

B

图1 图2

2、已知:?ABC中,?ACB?90?,CD?AB,?A?30?,AB = 40,

求DB的长。

B

3、在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求:AB的长

B

D ●中考在线

已知:在△ABC中,∠ACB = 900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=AB/4

第二节 直角三角形(一)

模块一 预习反馈(P14—P16)

一.知识点

1、直角三角形的两个锐角互余。(性质)

2、有两个角互余的三角形是直角三角形。(判定)

3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。(性质)

4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。(判定)

5、在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

模块二 基础训练

1、如图,BA⊥DA于A,AD = 12,DC = 9,CA = 15,求证:BA∥DC。

8

A12D9

C

B

2、若直角三角形的三条边长分别是6,8,a,则a =__________。

3、已知:如图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=9。 5

(1)求DC的长;(2)求AD的长;(3)求AB的长;

(4)求证:△ABC是直角三角形.

模块三 能力提升

1、 填空:

(1)直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为 ;直角三角形的斜边为13,其中一条直角边为5,则另一条直角边为 。

(2)如果一个三角形的三边分别是6、10、8,则这个三角形是 三角形。

2、说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假。

1)等边对等角;

2)对顶角相等;

3)平行四边形的两组对边相等;

4)正方形的四条边都相等;

3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图5所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?最低造价是多少?

图5

模块四:课下练习

1、 找出下列定理有哪些存在逆定理,并判断每对命题的真假。

(1)矩形是平行四边形 。

(2)内错角相等,两直线平行。

9

(3)如果x?y,则x2?y2 。

(4)全等三角形对应角相等。

(5)对顶角相等

(6)如果ab=0,那么a=0,b=0;

2、如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于 。

3 、如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积。

第二节 直角三角形(二)

模块一 预习反馈(P18—P20)

一.知识点

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(“斜边、直角边”或“HL”) (证明)

模块二 基础训练

1、在Rt△ABC中,∠C = 90°,且DE⊥AB,CD = ED,求证:AD是∠BAC的角平分线。 A

10

2、如图,∠ACB = ∠ADB = 90°,AC = AD,E是AB上的一点。求证:CE = DE。 C

AB

D3、在△ABC≌△A'B'C'中,CD,C'D'分别分别是高,并且AC=A'C',

CD=C'D'.∠ACB=∠A'C'B'.求证:△ABC≌△A'B'C'.

'

AD

A'D''模块三 能力提升

1、填空:.如下图,Rt△ABC和Rt△DEF,∠C=∠F=90°。

(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

(4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

(5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

2、如下图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:CD=CB。

模块四:课下练习

1.已知x、y为正数,且,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角 形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ).

A.5 B.25 C.7 D.15

2.折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠AD边与对角线BD重合,得折痕DG,如图,若AB=2,BC=1,求AG的长.

11 x2?4?y2?3?0??2

●中考在线

1.如图,在Rt△DBC中,∠C=900,∠A=300,BD是∠ABC的平分线,AD=20。求BC的长. B

A D

C

2.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 .点D为BC边上一点,且BD= 2AD,∠ADC=60°,求△ABC的周长(结果保留根号).

3.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上,点B在第一象限,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转到△OA′B′,使点B的对应点B′落在y轴的正半轴上,已知OB=2,∠BOA=300。

(1)求点B与点A′的坐标;

(2)求经过点B与点B′的直线所对应的一次函数解析式,并判断断点A′是否在直线BB′上.

B

第三节 线段的垂直平分线(一)

模块一 预习反馈(P22——P23)

一、知识点

1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。(性质)

12

2、到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。(判定) 论证要求(画图、写出已知、求证、证明过程)

模块二 基础训练

1、如图,在△ABC中,∠C = 90°,DE是AB的垂直平分线。

1)则BD = ;

2)若∠B = 40°,则∠BAC = °,∠DAB = °,∠DAC = °,∠CDA = °;

3)若AC= 4, BC = 5,则DA + DC = ,△ACD的周长为 。

B

D CA

2、如图,DE为△ABC的AB边的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E, AC = 5,BC = 8,求△AEC的周长。

BEC

3、在△ABC中,AB = AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm,求AB、BC。

E

13

模块三 能力提升

1、如图,已知AB = AC = 14cm,AB的垂直平分线交AC于D。

1)若△DBC的周长为24cm,则BC = cm;

2)若BC = 8cm,则△BCD的周长是 cm。

E

2、已知在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE = 3cm,△ABD的周长是13cm,求△ABC的周长。 A

CBD

模块四:课下练习

1、如图,△ABC中,AB = AC,∠A = 40°,DE为AB的中垂线,则∠1 = °,∠C = °,∠3 = °,∠2 = °;若△ABC的周长为16cm,BC = 4cm,则AC = ,△BCE的周长为 。

A

E BC

2、如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC= 5cm,BC= 4cm,AE = 2cm,求△CDB的周长。

E

CB

3、如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABC的周长为12cm, △ABD的周长为9cm,求AC的长度。 A

E

14

第三节 线段的垂直平分线(二)

模块一 预习反馈

一.知识点

1、三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、尺规作图:已知直线外一点作直线的垂线。

证明1

模块二 基础训练

1、用尺规作线段的垂直平分线。

B

B

2、已知直线l和l上一点P,利用尺规作l的垂线,使它经过点P。

AB

3、已知:线段a、h,求作:△ABC,使AB = AC,且BC = a,高AD = h

作法:

h

模块三 能力提升

1、△ABC的三条边的垂直平分线相交于点P,若PA = 10,则PB = ,PC = 。

2、已知:线段a=4cm、h=6cm求作:△ABC,使AB = AC,且BC = a,高AD = h 作法:

a

15

模块四:课下练习

1、 如果△ABC的边BC的垂直平分线经过顶点A,与BC相交于点D,且A 则B?2AD,△ABC中必有一个内角的度数为( ).

A.45? B.60? C.90? D.120?

2、如图,△ABC中,?A?124?,BC边上的垂直平分线交AC于D,交BC于E,BD分 ?ABC为两部分.若?ABD:?DBC?3:2,则?C?( ).

A.24 B.16 C.30 D.8

9.△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,两腰AB、AC的垂直平分线交于点P,则( ).

A.点P在△ABC 内 B.点P在△ABC 底边上 C.点P在△ABC 外 D.点P的位置与△ABC 的边长有关 ????

●中考在线

1、如图,在△ABC中,AB=AC=3cm,AB的垂直平分线交AC于点N,

△BCN的周长是5cm,则BC的长等于 cm.

1、如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB边的垂直平分线,分别交AB、AC于D、E,△ BEC的周长是14cm,BC=5cm,则AB的长是( ).

A.14cm B.9cm C.19cm D.12cm

16

2、如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相 交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则 △ABC的周长为( ).

A.7 B.14 C.17 D.20

3、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长 AE交BC的延长线于点F.

求证:(1)FC=AD; (2)AB=BC+AD.

第四节 角平分线(一)

模块一 预习反馈(P28—P29)

一.知识点

1、角平分线定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。(性质)

2、在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。(判定) 论证要求(画图、写出已知、求证、证明过程)

17

模块二 基础训练

1、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且∠1 =∠2。 求证:OB = OC。 A

BC

2、如图,AB = AC,DE为△ABC的AB边的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E。 求证:BE + EC = AB。

E

3、如图,在△ABC中,AC = BC,∠C = 90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E。

(1)已知CD = 4cm,求AC的长;

(2)求证:AB = AC + CD。

模块三 能力提升

1、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且OB = OC。 求证:∠1 =∠2。

A

18

ABC

2、如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD。 求证:AD平分∠BAC。

模块四:课下练习

1、如图,E是线段AC上的一点,AB⊥EB于B,AD⊥ED于D,且∠1 =∠2,CB = CD。 求证:∠3 =∠4。

B

CA

2、如图,在△ABC中,BE⊥AC,AD⊥BC,AD、BE相交于点P,AE = BD。

求证:P在∠ACB的角平分线上。

A

P

BDC

3、如图,E为AB边上的一点,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,∠1 =∠C,DE = EC。 求证:DA + CB = AB。

D

C

AE

B

第四节 角平分线(二)

模块一 预习反馈(P30—P31)

一.知识点

1、三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 论证要求(画图、写出已知、求证、证明过程)

模块二 基础训练

19

1、用尺规作图法作下列各个角的平分线。

B

OA

2、如图,求作一点P,使PC = PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等。

3、(1)利用角平分线的性质,找到△ABC内部距三边距离相等的点。

(2)在右图△ABC所在平面中,找到距三边所在直线距离相等的点。 ..

模块三 能力提升

1、填空:

(1)如图1,点P为△ABC三条角平分线交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则

PD__________PE__________PF.

(2)如图2,P是∠AOB平分线上任意一点,且PD=2cm,若使PE=2cm,则PE与OB的关系是__________.

(3)如图3,CD为Rt△ABC斜边上的高,∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB,垂足为G,则CF__________FG,∠1+∠3=__________度,∠2+∠4=__________度,∠3__________∠4,

CE__________CF.

图1 图2 图3

2、已知:如图在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,求:D到AB边的距离.

20

模块四:课下练习

☆能力提升

1、如图,Rt△ABC中,∠C=90o,BD是角平分线,DE⊥AB,垂足为E,BC=6,CD=3,AE=4,则DE=_______,AD=_______,△ABC的周长是_______.

1

2.如图,△ABC中,∠C=90o,BD平分∠ABC交AC于D,DE是AB的垂直平分线,DE=BD,

2

且DE=1.5cm,则AC等于( ).

D C

B

A

E

A. 3cm B.7.5cm C.6cm D.4.5cm

E

C D A

3.已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,则D到AB的距离为( ).

A.18 B.16 C.14 D.12

●中考在线

1.如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,求:D到AB边的距离

.

2、如图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD. 求证:AD平分∠BAC.

21

3.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,求证:AM平分∠DAB.

第一章 回顾与思考

【学习目标】

1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图,复习有关定理的探索与证明,证明的思路和方法,尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力,进一步掌握综合法的证明方法,提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合.

【学习重难点】重点:通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 难点:本章知识的综合性应用。

【学习过程】

模块一 预习反馈

一.预习要求

1.请同学们阅读教材1页~39的内容,并选做教材41页的复习题。

2.预习过程中请注意:⑴不懂的地方要用红笔标记符号;⑵完成你力所能及的习题;⑶数学小组长认真检查,做好记录,上课前把本组的预习情况向老师汇报。

二.知识点

1、等腰三角形的性质:(边) ;(角) ;“三线合一”的内容 。

2、等边三角形的性质:(边) ;(角) 。

3、判定等腰三角形的方法有:(边) ;(角) 。

4、判定等边三角形的方法有:(边) ;(角) 。

5、线段垂直平分线的性质定理: 。 逆定理: 。 三角形的垂直平分线性质: 。

6、角的性质定理: 。 逆定理: 。 三角形的角平分线性质: 。

22

7、三角形全等的判定方法有: 。 8、30°锐角的直角三角形的性质: 。

9、方法总结:

(1)证明线段相等的方法:1)可证明它们所在的两个三角形全等;2)角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;3)等角对等边;4)等腰三角形三线合一的性质;

5)中垂线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

(2)证明两角相等的方法:1)同角的余角相等;2)平行线性质;3)对顶角相等;4)全等三角形对应角相等;5)等边对等角;6)角平分线的性质定理和逆定理。

(3)证明垂直的方法:1)证邻补角相等;2)证和已知直角三角形全等;3)利用等腰三角形的三线合一性质;4)勾股定理的逆定理。

(4)等腰三角形的证明:主要利用等腰三角形的两腰相等,两底角相等和三线合一性质解题。

模块二 基础训练

2、 已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且DE=DF。 求证:△ABC是等腰三角形。

B D C

2、如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,已知△BCE的周长为8,AC-BC=2. 求AB与BC的长.

模块三 能力提升

1、已知,等腰三角形的一边长为6,另一边长为3,则此等腰三角形的周长是

2、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____

3、等腰三角形的一个角是80度,则它的另两个角是

4、如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,则BC的长为 。

5、如图2,在△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于E,

DE⊥AB于D,BC=8,AC=6,AB=10,则△BDE的周长为_________。

6、.如图3,在△ABC中,∠ACB=90°

,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3 cm,那么AE+DE等于 。

E

A D B 图2 图3 图1 ADEB

23

7、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是

______________________.它是一个__________命题。

8、如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AF,E、F是垂足,且BC = CD。

求证:(1)△BCE≌△DCF; (2)DF = EB。

FDAEB

9、已知,在△ABC中,AD垂直平分BC,且CA = CE,点B、D、C、E在同一条直线上。 求证: AB + DB = DE

A

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