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解答与完全平方数有关的竞赛题方法

发布时间:2014-02-05 12:49:14  

如下文章已经刊登于2013年12月《中学教研-数学》杂志第39页至40页

解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法

518076 广东省深圳市南山区蛇口中学 王远征

在数学竞赛试卷中,频繁出现这样的一类问题:“求自然数n,使得关于n的一个二次多项式n?an?b的值是完全平方数,(a,b为常数)”.在此,笔者给出解答这类问题的一般方法,即设参数、配方,对多项式分解因式,同时对常数分解成整数乘积的形式,然后构造方程组,进而求出满足题设条件的自然数n和所设参数的值.举例介绍如下:

例1.已知n是自然数,且n?17n?73是完全平方数,那么n的值是或 (第13届希望杯初二年级(第一试)试题)

解析:依题意设n?17n?73=m,(m是自然数).

配方得:(2n?17)?3=4m,移项,并对多项式分解因式,且把常数?3也分解成两个整数乘积的形式,于是得: 222222

(2n?17?2m)(2n?17?2m)??3??1?3??3?1,

因为m,n都是自然数,所以2n?17?2m和2n?17?2m都是整数,

且2n?17?2m?2n?17?2m。于是有:

?2n?17?2m?3?2n?17?2m?1?n?9?n?8或,分别解得:或?。 ???2n?17?2m??12n?17?2m??3m?1m?1????

故n的值是8或9.

该方法通俗易懂,有普遍的实用性,且解题过程简洁明了,易于被掌握和应用。 例题2.关于m,n的方程1113的整数解?m,n?= 。 ???2mnmn4

(2013年上海数学竞赛新知杯第6题)

解析:视为“m”为常数,由原方程整理成关于n的一元二次方程得:

?4?3m?n2?4mn?4?0

此方程有整数解的必要条件是:??16m?48m?64是完全平方数。

因为16m?48m?64?2[?2m?3??7]是完全平方数,可设k??2m?3??7,222222则(k?2m?3)(k?2m?3)?7?1?7??1?(?7)。

因为k?2m?3?k?2m?3。所以

?k?2m?3?1?k?2m?3??7?m?3?m?3或,解得或? ????k?2m?3?7?k?2m?3??1?k?4?k??4

1

于是:n??4m?2k2?2或(舍去)故整数解?m,n?=(3,2)。 24?3m5

例题2通过对分式方程去分母整理成关于n的一元二次方程,根据方程有整数解的必要条件是判别式为完全平方数,将例题2转化为例1相似的问题来处理。

例题3.求能使2?256是完全平方数的正整数n的值。(2011年全国初中数学联赛) 解析:依题意设2?256=m,m是正整数。则(m?16)(m?16)?2,可设n2nn

n?x?y,其中x,y都是正整数。且x<y.于是

x??1??m?16?2, ?y??2??m?16?2

由(2)—(1)得:22

则n?x?y=11. x?y?x?1?25?1,则2x?25且2y?x?1?1,解得:x?5,y?6,?

此题将2n表示成2x?2y的形式,以便为使用例题1提供解题方法创造条件。

例题4.已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积。(2012年全国初中数学竞赛第二试(B)试题)

解析:设直角三角形的三边长依次为a、(a、且为a?b?c),b、b、c,c均为正整数,

外接圆的面积为s.。则

??a?b?c?60(1)?222?a?b?c (2)

?(3)??s?c2

4?

由(1)得:a?b?60?c (4)

由(2)得:c?(a?b)?2ab (5)

将(4)代入(5)化简得: ab?1800?60c (6)

由(4)和(6)知:a、b是关于x的一元二次方程: 22

x2?(c?60)x?1800?60c?0的两个正整数根。 (7)

则方程(7)的判别式的值必为正整数的平方,不妨设:

?c?60?2?4?1??1800?60c??m2 (m为正整数)

由上式恒等变形得:?c?60??m?7200。 22

即?c?60?m??c?60?m??2?3?5。 522

整数7200共有因数?5?1??2?1??2?1??54个,则将整数7200分解成两个正整数乘积的 2

形式可以写出54?27个。 2

60?c?m?0,所以60?c?m?0,则c?m?60。 2

而3c?a?b?c?60且2c?a?b?c?60,即20?c?30。则80?c?60?90,而 0?c?60?m?60?c?m。 因为方程(7)的根为:x?

故在27种不同的写成两个正整数乘积的表现形式中,只有如下两种分解方式符合题意:

?60?c?m?72?60?c?m?80或。 ???60?c?m?100?60?c?m?90

分别解得??c?26?c?25625?或?。于是s?或s?169?。 m?14m?54??

参考文献:

1. 吴其明 骆华 《希望杯数学能力培训教程(初二)》【M】 气象出版社2008年10月.

2. 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 中学生数学【J】2012年第9期P30---35.

3. 王远征 一道联赛试题的“通俗”解答 中学生数学【J】2013年第10期P28

2014-2-5上传于百度文库

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