haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

第3章《勾股定理》 : 3.2 勾股定理的逆定理(含答案)

发布时间:2014-02-05 15:47:18  

第3章《勾股定理》 : 3.2 勾股定理的逆定理

选择题

1.已知三角形的三边长之比为1:12 ,则此三角形一定是( )

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

2.若线段a,b,c能构成直角三角形,则它们的比为( ) A.2:3:4 B.3:4:6 C.5:12:13 D.4:6:7

3.适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为( )

111①a= ,b= ,c= ; ② a=6, ∠A=45°; 345

③ ∠A=32°, ∠B=58°; ④ a =7,b = 24,c = 25 ⑤ a=2,b=2,c=4 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

4.在下列以线段a,b,c的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是( )

A.a=9,b=41,c=40 B.a=b=5,c=52

C.a:b:c=3:4:5 D.a=11,b=12,c=15

5.如图,王大伯家屋后有一块长12m,宽8m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用(

A.

3m B.5m C.7m D.9m

( 第5题 ) ( 第6题 ) ( 第7题 )

6.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )

A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13 7.由于台风的影响,一棵树在离地面6m处折断,树顶落在离树干底部8m处,则这棵树在折断前(不包括树根)长度是( )

A.8m B.10m C.16m D.18m

8.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )

A.2m B.2.5m C.2.25m D.3m

9.放学后,小林和小明从学校出发,分别沿东南方向和西南方向回家,他们行走的速度都是40米/分,小林用了15分钟到家,小明用了20分钟到家,则他们两家的距离为( )

A.600米 B.800米 C.1000米 D.以上都不对

10.为迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,小刘搬来一架高2.5米的木梯,准备把拉花挂到2.4米高的墙上,则梯脚与墙角距离应为( ) A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米

11.小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好与接触地面,则旗杆的高度为( )

A.11

B.12米 C.13米 D.14米

( 第11题 ) ( 第13题 ) ( 第14题 )

12.一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵大树在折断前的高度为( ) A.10米 B.15米 C.25米 D.30米 13.如图,小红从A地向北偏东30°,方向走100米到B地,再从B地向西走200米到C地,这时小红距A地( )

A.150米 B.1003 米 C.100米 D.3 米 14.已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )

A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里

15

.如图一个圆桶儿,底面直径为

12cm,高为

8cm,则桶内能容下的最长的木棒

为( )

A.8cm B.10cm C.13 D.20cm

( 第15题 ) ( 第16题 ) ( 第21题 ) ( 第22题 ) 16.如图,一架25分米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯的底部距墙底端7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯的底部将平滑( )

A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米

17.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来,是第( )组.

A.13,12,12 B.12,12,8 C.13,10,12 D.5,8,4

18.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( )

A.12米 B.13米 C.14米 D.15米

19.一架2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端0.7m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m,那么梯足将下滑( )

A.0.9m B.1.5m C.0.5m D.0.8m

20.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5米,消防车的云梯最大升长为13米,则云梯可以达该建筑物的最大高度是( ) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 21.国庆假期中,小华与同学到休博园去玩探宝游戏,按照探宝图,他们从门口A处出发先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走3千米,再折向北走到6千米处往东拐,仅走了1千米,就找到了宝藏,则门口A到藏宝点B的直线距离是( )千米.

A.20 B.14 C.11 D.10

22.如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为( )

A. 3 B. 23 C.33 D.3 23.如图所示,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A

爬到点B

处吃食,要爬行的最短路程(

π取3)是( )

A.12cm B.10cm C.14cm D.无法确定

( 第23题 ) ( 第24题 ) ( 第25题 ) 24.如图是一个棱长为4cm的正方体盒子,一只蚂蚁在D1C1的中点M处,它到BB1的中点N的最短路线是( )

A. 8 B. 26 C.10 D. 2+25 25.如图:有一圆柱,它的高等于8cm,底面直径等于4cm(π=3),在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程大约( )

A.10cm B.12cm C.19cm D.20cm

答案:

填空题

1.故选D.

考点:勾股定理的逆定理.

分析:由已知得其有两条边相等,并且符合勾股定理的逆定理,从而可判断三角形的形状.

解答:解:由题意设三边长分别为:x,x,2 x

∵x2+x2=(2 x)2,∴三角形一定为直角三角形,并且是等腰三角形.故选D. 点评:本题考查了勾股定理的逆定理,三角形三边关系满足a2+b2=c2,三角形为直角三角形.

2.故选C.

考点:勾股定理的逆定理.

分析:欲求证是否为直角三角形,这里给出三边的长,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

解答:解:A、22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误;

B、32+42≠62,不能构成直角三角形,故错误;

C、52+122=132,能构成直角三角形,故正确;

D、42+62≠72,不能构成直角三角形,故错误.故选C.

点评:解答此题要用到勾股定理的逆定理:已知△ABC的三边满足a2

+b2=c2,则△ABC是直角三角形.

3.故选A.

考点:勾股定理的逆定理;三角形内角和定理.

分析:计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可.

解答:22)))2,根据勾股定理的逆定理不是直角三角形,故不是;

②a=6,∠A=45不是成为直角三角形的必要条件,故不是; ③∠A=32°,∠B=58°则第三个角度数是90°,故是;

④72+242=252,根据勾股定理的逆定理是直角三角形,故是;

⑤22+22≠42,根据勾股定理的逆定理不是直角三角形,故不是.故选A. 点评:本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.

4.故选D.

点:勾股定理的逆定理.

分析:根据勾股定理的逆定理可知,当三角形中三边的关系为:a2+b2=c2时,则三角形为直角三角形.

解答:解:

A、92+402=412,根据勾股定理的逆定理,能组成直角三角形,故错误;

B、5+52)2,根据勾股定理的逆定理,能组成直角三角形,故错误;

C、设a=3k则b=4k,c=5k,则(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理,能组成直角三角形,故错误;

D、112+122≠152,根据勾股定理的逆定理,不能组成直角三角形,故正确. 故选D.

点评:本题考查了直角三角形的判定:可用勾股定理的逆定理判定.

5.故选A.

考点:勾股定理的应用.

专题:应用题;

压轴题.

分析:了不让羊吃到菜,必须<等于点A到圆的最小距离.要确定最小距离,连接OA交半圆于点

E,即AE是最短距离.在直角三角形AOB中,因为OB=6,AB=8,所以根据勾股定理得OA=10.那么AE的长即可解答.

解答:解:连接OA,交⊙O于E点,

在Rt△OAB中,OB=6,AB=8,

所以;

又OE=OB=6,

所以AE=OA-OE=4.

因此选用的绳子应该不>4,故选A.

点评:此题确定点到半圆的最短距离是难点.熟练运用勾股定理.

6.故选A

考点:勾股定理的应用.

专题:压轴题.

分析:最短距离就是饮料罐的高度,最大距离可根据勾股定理解答.

解答:解:a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,=13. 即a的取值范围是12≤a≤13.故选A.

点评:主要是运用勾股定理求得

a的最大值,此题比较常见,有一定的难度. 7.故选C.

考点:勾股定理的应用.

专题:应用题.

分析:根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形,根据勾股定理解答即可.

解答:解:

由题意得BC=8m,AC=6m,

在直角三角形ABC中,根据勾股定理得:AB=错误!=10米. 所以大树的高度是10+6=16米.故选C.

点评:熟练运用勾股定理.熟记6,8,10是勾股数,简便计算.

8.故选A.

考点:勾股定理的应

用.

专题:应用题.

分析:经分析知:可以放到一个直角三角形中计算.此直角三角形的斜边是竹竿的长,设为x米.一条直角边是1.5,另一条直角边是(x-0.5)米.根据勾股定理,得:x2=1.52+(x-0.5)2,x=2.5.那么河水的深度即可解答.

解答::解:若假设竹竿长x米,则水深(x-0.5)米,由题意得, x2=1.52+(x-0.5)2解之得,x=2.5

所以水深2.5-0.5=2米.故选A.

点评:此题的难点在于能够理解题意,正确画出图形.

9.故选C.

考点:勾股定理的应用.

专题

:应用题.

分析:根据题意知:他们行走的方向构成了直角.再根据路程=速度×时间,得直角三角形的两条直角边分别是600米,800米,根据勾股定理求得他们两家的距离即可.

解答:解:如图:∵小林和小明从学校出发,分别沿东南方向和西南方向回家,即∠1=∠2=45°,故∠AOB=∠1+∠2=90°,即△AOB为直角三角形,

A、B分别为小明家和小林家,根据题意得,OA=40×20=800米,OB=40×15=600米,

根据勾股定理得,AB=错误!=错误!=1000米.

故选C.

点评:正确理解题意,注意两条直角边即是两人各自所走的路程,熟练运用勾股定理进行计算.

10.故选A.

考点:勾股定理的应用.

专题:应用题.

分析:仔细分析题意得:梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解此直角三角形即可.

解答:解:梯脚与墙角距离:错误!=0.7(米).故选A.

点评:本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

11.故选B.

考点:勾股定理的应用.

专题:应用题.

分析:先根据题意画出图形,再根据勾股定理解答即可.

解答:解:由题意得,AB为旗杆的高,AC=AB+1,BC=5米,求AB的长. 已知AB⊥BC,根据勾股定理得AB=错误!=错误!,解得,AB=12米. 所以旗杆的高度为12米.故选B.

点评:此题是勾股定理在实际生活中的运用,解答此题的关键是根据题意画出图形,利用勾股定理解答.

12

.故选B.

考点:勾股定理的应用.

分析:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,由此即可得到AB=2AC,而根据题意找到CA=5米,由此即可求出AB,也就求出了大树在折断前的高度. 解答:解:如图,

在Rt△ABC中,∵∠ABC=30°, ∴AB=2AC,

而CA=5米,

∴AB=10米,

∴AB+AC=15米.

所以这棵大树在折断前的高度为15米.

故选B.

点评:本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,解题关键是善于观察题目的信息,利用信息解决问题. 13.故选B.

考点:勾股定理的应用;方向角.

专题:应用题;压轴题.

分析:根据题意画出图形,再根据勾股定理解答即可.

解答:解:在Rt△DAB中,

∵∠DAB=30°,AB=100,

∴DB=50,

勾股定理得,3 ,

在Rt△DCA中,

∵BC=200,DB=50,

∴DC=150,

∵DA3 ,

∴勾股定理得,3 .故选B. 点评:此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用.

14.考点:勾股定理的

应用;方向角.

分析:根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角.然后根据路程=

速度×时间,得两条船分别走了32,24.再根据勾股定理,即可求得两条船之间的距离.

解答:解:

∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向,

∴∠BAC=90°,

两小时后,两艘船分别行驶了16×2=32,12×2=24海里,

(海里).故选D.

点评:熟练运用勾股定理进行计算,基础知识,比较简单.

15.考点:勾股定理的应用.

分析:桶内能容下的最长的木棒长是圆桶沿底面直径切面的长方形的对角线长,所以只要求出桶的对角线长则可.

桶内能容下的最长的木棒长为:.故选点评:本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

16.故选D.

考点:勾股定理的应用.

分析:先利用勾股定理计算出墙高,当梯子的顶端沿墙下滑4分米后,也形成一直角三角形,解此三角形可计算梯的底部距墙底端的距离,则可计算梯子的底部平滑的距离. 解答

解答:解:墙高为:252?72 =24分米

当梯子的顶端沿墙下滑4分米时:则梯子的顶部距离墙底端:24-4=20分米 252?202 =15分米,则梯的底部将平滑:15-7=8分米. 故选D.

点评:本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

17.故选C.

考点:勾股定理的应用.

专题:应用题.

分析:等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形,腰为斜边,高和底边长一半为直角边,因此由三角形三边关系及勾股定理即可解答.

解答:解:A、132≠122+62,错误;

B、122≠82+62,错误;

C、132=122+52,正确;

D.82≠52+22,错误. 故选C.

点评:综合运用等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理进行判断. 18.故选A.

考点:勾股定理的应用.

专题:应用题.

分析:根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形,再根据勾股定理解答即可. 解答:解:如图所示,

AB=13米,BC=5米,根据勾股定理

19.故选132?52 =12米.故选A. 点评:此题是勾股定理在实际生活中的运用,比较简单. D.

考点:勾股定理的应用.

分析:首先根据勾股定理求得第一次梯子的高度是2.4m

,如果梯子的顶端下滑0.4米,即第二次梯子的高度是2米,又梯子的长度不变,根据勾股定理,得此.所以梯足将下滑1.5-0.7=0.8.

解答:解:如图所示,

在Rt△ABC中,AB=2.5,BC=0.7,

所以AC2=AB2-BC2,所以AC=2.4,

在Rt△DCE中,DE=2.5,CD=AC-AD=2.4-0.4=2,

所以CE2=DE2-CD2,所以CE=1.5, 此时BE=CE-BC=1.5-0.7=0.8.故选D. 点评:注意两次中梯子的长度不变,运用两次勾股定理进行计算.

20

.故选A.

考点:

勾股定理的应用.

专题:应用题.

分析:由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形,斜边为消防车的云梯长,根据勾股定理就可求出高度.

解答:解:如图所示,

AB=13米,BC=5米,由勾股定理可得,米.

故选A.

点评:此题考查学生善于利用题目信息构成直角三角形,从而运用勾股定理解题. 21.故选D.

考点:勾股定理的应用;坐标确定位置.

分析:根据题意先求A、B两地的水平距离和竖直距离,运用勾股定理求AB的长. 解答:解:根据题意得:AB之间的水平距离和竖直距离分别为6和8,据此构造的直角三角形直角边为6,8,所以AB=10,即门口A到藏宝点B的直线距离是10千米.故选D.

点评:本题考查两点的距离,可构造直角三角形,利用勾股定理求解.

22.故选C.

考点:平面展开-最短路径问题.

分析:要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.

解答:解:由题意知,底面圆的直径AB=4,

故底面周长等于4π.

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π , 解得n=120°,

所以展开图中∠APD=120°÷2=60°,

因为半径PA=PB,∠APB=60°,

故三角形PAB为等边三角形,

又∵D为PB的中点,

所以AD⊥PB,在直角三角形PAD中,PA=6,PD=3,

根据勾股定理求得AD=33 ,

所以蚂蚁爬行的最短距离为33 .故选C.

点评:圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.

23.故选B.

考点:平面展开-最短路径问题.

分析:根据两点之间,线段最短.先将图形展开,再根据勾股定理可知. 解答:解:如图所示:

可以把A和B展开到一个平面内,

即圆柱的半个侧面是矩形:

矩形的长BC= 4ππ=6,矩形的宽AC=8, 2

在直角三角形ABC中,AC=8,BC=6,

根据勾股定理得:(2π)2+64 ≈10.故选B.

点评:要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离,需要把两个点展开到一个平面内,再计算.

24.故选C.

考点:平面展开-最短路径问题. 分析:把此正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内,然后利用勾股定理

求点M和N点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形MNB1中,一条直角边长等于6,另一条直角边长等于2,利用勾股定理可求得. 解答:解:把正方体的DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内,

∵M、N为

C1D1和BB1的中点,

∴NB1=2,MC1=2,

在Rt△NMB1中,10 .故选C.

点评:本题考查了勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.

24.故选A.

考点:平面展开-最短路径问题.

分析:根据两点之间,线段最短.首先把A和B展开到一个平面内,即展开圆柱的半个侧面,得到一个矩形,然后根据勾股定理,求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度.

解答:解:展开圆柱的半个侧面,得到一个矩形:矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6,矩形的宽是圆柱的高即8.

根据勾股定理得:蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10.故选A. 点评:本题考查了勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.本题注意只需展开圆柱的半个侧面.

25.故选A.

考点:平面展开-最短路径问题.

分析:根据两点之间,线段最短.首先把A和B展开到一个平面内,即展开圆柱的半个侧面,得到一个矩形,然后根据勾股定理,求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度.

解答:解:展开圆柱的半个侧面,得到一个矩形:矩形的长是圆柱底面周长的一

半即2π=6,矩形的宽是圆柱的高即8. 根据勾股定理得:蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10.故选A. 点评:本题考查了勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.本题注意只需展开圆柱的半个侧面.

26.故选A.

考点:勾股数.

分析:欲判断是否为勾股数,必须根据勾股数是正整数,同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.

解答:解:(1)1.52+22=2.52,但不是正整数,故错误;

(2)2 )2+(2 )2=22,能构成直角三角形,但不是整数,故错误;

(3)122+162=202,三边是整数,同时能构成直角三角形,故正确; 222(4)0.5+1.2=1.3,但不是正整数,故错误.故选A.

点评:解答此题要用到勾股数的定义,及勾股定理的逆定理:已知△ABC的三边满足a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.

27.故选B.

考点:命题与定理;三角形内角和定理;勾股定理的逆定理.

分析:利用三角形内角和定理及勾股定理的逆定理对各选项进行逐一证明即可. 解答:解:A、正确,根据三角形内角和为180°可以证明;

B、错误,根据三角形内角和为180°可以证明不成立;

C、正确,利用勾股定理的逆定理可以证明;

D、正确,利用勾股定理的逆定理可以证明.故选B.

点评:利用三角形内角和为180°和勾股定理的逆定理可解决上述问题. 填空题

28.故答案分别填:8个.

考点:坐标与图形性质;勾股定理的逆定理.

专题:压轴题;分类讨论.

分析:本题可先根据AB两点的坐标得出直线的方程,再设C点的坐标为:(x,y),根据点到直线的公式得出C点的x与y的关系,然后分别讨论∠A为直角时或∠B为直角时或∠C为直角几种情况进行讨论即可得出答案.

解答:解:到直线AB的距离为4的直线有两条.以一条直线为例,当∠A为直角时,可得到一个点;

当∠B为直角时,可得到一个点;

以AB为直径的圆与这条直线有2个交点,此时,∠C为直角.

同理可得到另一直线上有4个点.

点评:本题需注意:到一条直线距离为定值的直线有两条;需注意分情况讨论三角形为直角的情况.

29.点A(-6,8)到x轴的距离为 ,到y轴的距离为 ,到原点的距离为 .

29.故答案分别填:8、6、10.

考点:两点间的距离公式.

分析:根据横坐标的绝对值就是点到y轴的距离,纵坐标的绝对值就是到x轴的距离.根据两点之间的距离公式便可求出点到原点的距离.

解答:解:由点A(-6,8)可知,此点到x轴的距离为|8|=8,到y轴的距离为

|-6|=6

.故答案分别填:8、6、10. 点评:解答此题的关键是熟知点的坐标的几何意义及两点间的距离公式. 30.点(3,4)到原点的距离为 .

30.故答案填:5.

考点:两点间的距离公式.

分析:先画出图形,然后利用勾股定理根据图形计算. 解答:解:

如图:

设原点为D,点A为题是点(3,4),则根据勾股定理,. 故答案填:5.

点评:本题要熟悉平面直角坐标系的结构及点的坐标的意义.

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com