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第2章 《轴对称图形》2.5 等腰三角形的轴对称性(3)(含答案)

发布时间:2014-02-05 15:47:18  

第2章 《轴对称图形》2.5 等腰三角形的轴对称性(3)

解答题

1.如图,已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分,求它的底边BC的长.

2.已知一个等腰三角形的三边长分别为x、2x、5x-3,求这个三角形的周长.

3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,CD为腰AB上的高,求∠BCD的度数.

4.如图,已知D是等腰三角形ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,请指出当D在什么位置时,DE=DF,并加以证明.

5.求证:等腰三角形两底角相等.

6.如图,△ABC中,AB=AC,点M、N分别在BC所在直线上,且AM=AN.

请问:BM=CN吗?请说明理由.

7.在一次数学课上,王老师在黑板上画出图,如图,并写下了四个等式:①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可)

8.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”,“求证”(如图),她们对各自所作的辅助线描述如下:

文文:“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”;

彬彬:“作△ABC的角平分线AD”.

数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正.”

(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里;

(2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程.

9.如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.

10.已知:如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2.

求证:△ABC是等腰三角形.

11.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的一点,BE与CD交于点O,给出下列四个条件:①∠DBO=∠ECO;②∠BDO=∠CEO;③BD=CE;④OB=OC.

(1)上述四个条件中,哪两个可以判定△ABC是等腰三角形?

(2)选择第(1)题中的一种情形为条件,试说明△ABC是等腰三角形.

12.两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.

13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且BE=CF,AD+EC=AB.

(1)求证:△DEF是等腰三角形;

(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数;

(3)△DEF可能是等腰直角三角形吗?为什么?

(4)请你猜想:当∠A为多少度时,∠EDF+∠EFD=120°,并请说明理由.

14.如图,请在下列四个等式中,选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形,并予以证明.(写出一种即可)

等式:①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.

已知:

求证:△AED是等腰三角形.

证明:

15.已知,如图△ABC中,AB=AC,D点在BC上,且BD=AD,DC=AC.将图中的等腰三角形全都写出来.并求∠B的度数.

16.已知:点D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且BF=CE. 求证:△ABC是等腰三角形.

17.如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,DE过O且平行于BC,已知△ADE的周长为10cm,BC的长为5cm,求△ABC的周长.

18.如图,已知AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于E,ED的延长线交CA的延长线于F,试说明△ADF是等腰三角形的理由.

19.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).

(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由;

(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;

(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.

20.如图所示,△ABC是等边三角形,D点是AC的中点,延长BC到E,使CE=CD.

(1)用尺规作图的方法,过D点作DM⊥BE,垂足是M;(不写作法,保留作图痕迹)

(2)求证:BM=EM.

2

21.如图,E、F、G分别是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点.

(1)图中有多少个三角形?

(2)指出图中一对全等三角形,并给出证明.

22.附加题,学完“几何的回顾”一章后,老师布置了一道思考题:

如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:∠BQM=60度.

(1)请你完成这道思考题;

(2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如: ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题? ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?

③若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°??

请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:

① ; ② ;③ .并对②,③的判断,选择一个给出证明.

23.已知:△ABC为等边三角形,D为AB上任意一点,连接CD.

(1)在CD左下方,以BD为一边作等边三角形BDE.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

(2)连接AE,求证:CD=AE.

24.已知等边△OAB的边长为a,以AB边上的高OA1为边,按逆时针方向作等边△OA1B1,A1B1与OB相交于点A2.

(1)求线段OA2的长;

(2)若再以OA2为边,按逆时针方向作等边△OA2B2,A2B2与OB1相交于点A3,按此作法进行下去,得到△OA3B3,△OA4

B4,?△OAnBn(如图).求△OA6B6的周长.

25.在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.

(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;

(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;

(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F

在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).

26.如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明:BD=CE.

27.△ABC为正三角形,点M是射线BC上任意一点,点N是射线CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,∠AQN等于多少度?

28.等边△ABC边长为6,P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.

(1)如图1,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状;

(2)在(1)问的条件下,FE、PB的延长线交于点G,如图2,求△EGB的面积;

(3)在三角板旋转过程中,若CF=AE=2,(CF≠BP),如图3,求PE的长.

29.青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施,使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等.

(1)若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示,请你在图中确定这处公共服务设施(用点P表示)的位置;

(2)若∠BAC=66°,则∠BPC= 度.

答案:

解答题 1.考点:等腰三角形的性质.

专题:分类讨论.

分析:分两种情况讨论:当AB+AD=12,BC+DC=15或AB+AD=15,BC+DC=12,所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得,三边长为8,8,11或10,10,7.所以BC的长为7cm或11cm.

解答:解:设AD=xcm则,

当2x+x=12时,x=4,即AB=AC=8cm,

∵周长是12+15=27cm,

∴BC=11cm;

当2x+x=15时,x=5,即AB=AC=10cm,

∵周长是12+15=27cm,

∴BC=7cm,

综上可知,底边BC的长为7cm或11cm.

点评:主要考查了等腰三角形的性质.解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长,再利用周长的概念求得边长. 2.考点:等腰三角形的性质.

专题:分类讨论.

分析:因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰,所以要分情况讨论.

解答:解:显然x≠2x, 又若x=5x-3,则x+(5x-3)=x+x=2x不合题意.

∴2x=5x-3,

解得:x=1,

∴三角形周长为1+2+2=5.

点评:本题考查了等腰三角形的性质;在没有明确给出腰和底边时,要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解.

3.考点:等腰三角形的性质;三角形内角和定理.

分析:首先根据等腰三角形的性质:等边对等角,以及三角形的内角和是180°求出∠ACB.再根据直角三角形的两个锐角互余,求得∠ACD进而用角的和差即可计算出结果. 解答:解:∵AB=AC

∴∠C=∠B

∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=50°

∴∠C=∠B=65°

∵CD⊥AB

∴∠A+∠ACD=90°

∴∠ACD=40°

∴∠BCD=25°.

点评:本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=65°是正确解答本题的关键.

4.考点:等腰三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:要判断符合条件的点的位置,可以先猜测是BC的中点,然后根据三线合一的性质或三角形全等来证明DE=DF.

解答:解:当点D在BC的中点时,DE=DF.

证明:

当BD=DC时,

∵∠B=∠C,∠DEB=∠CFD=90°

∴△DBE≌△DCF(AAS)

∴DE=DF.

点评:主要考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质;利用三角形全等是证明线段相等的常用方法之一,要熟练掌握. 5.考点:等腰三角形的性质;全等三角形

的判定与性质.

专题:证明题.

分析:过点A作AD⊥BC于点D,利用等腰三角形三线合一性质求得BD=DC,从而求得△ABD≌△ACD,由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C.

解答:已知:如图,在△ABC中,AB=AC.

求证:∠B=∠C.

证明:过点A作AD⊥BC于点D,

∵AB=AC,AD⊥BC,

∴BD=DC(等腰三角形三线合一).

又∵∠ADB=∠ADC=90°,AD为公共边,

∴△ABD≌△ACD(SAS).

∴∠B=∠C.

点评:本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质;正确作出辅助线是解答本题的关键. 6.考点:等腰三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:利用全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质就可证明BM=CN.

解答:解:BM=CN.

理由:∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

又∵AM=AN,

∴∠AMN=∠ANM,

∴∠AMB=∠ANC,

∴△ABM≌△ACN,

∴BM=CN.

7.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.

专题:开放型.

分析:要证明△AED是等腰三角形,既可证明AE=AD,也可证明∠EAD=∠ADE,所以根据这两种途径就可以找到所需要的条件,当然要利用这些首先证明三角形全等,利用对应边相

等或对应角相等就可以得到AE=AD或∠EAD=∠ADE.

解答:解:已知:①③(或①④,或②③,或②④) 证明:在△ABE和△DCE中,

??∠B=∠C

, ?∠AEB=∠DEC ?AB=DC?

∴△ABE≌△DCE,

∴AE=DE,

即△AED是等腰三角形.

点评:本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质;此题既要求熟练掌握全等三角形的判定,也要求熟练掌握等腰三角形的判定,三角形全等的证明是正确解答本题的关键. 8.考点:等腰三角形的判定.

专题:阅读型.

分析:(1)线段BC的中垂线可以直接作出的,不需要附带“过点A作”;

(2)根据已知条件利用AAS可证△ABD≌△ACD,得出AB=AC. 解答:(1)解:作辅助线不能同时满足两个条件;

(2)证明:作△ABC的角平分线AD.

∴∠BAD=∠CAD,

在△ABD与△ACD中,

??∠B=∠C

, ?∠BAD=∠CAD ?AD=AD?∴△ABD≌△ACD(AAS).

∴AB=AC.

点评:本题主要是考查了三角形全等的判定及等腰三角形的性质;题目为阅读理解题,充分利用文字中的提示是解答本题的关键. 9.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.

专题:探究型.

分析:要判断△AFC的形状,可通过判断角的关系来得出结论,那么就要看∠FAC和∠FCA的关系.因为∠BAD=∠BCE,因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可.根据题中的条件:BD=BE,∠BAD=∠BCE,△BDA和△BEC又有一个公共角,因此两三角形全等,那么AB=AC,于是∠BAC=∠BCA,由此便可推导出∠FAC=∠FCA,那么三角形AFC应该是个等腰三角形.

解答:解:△AFC是等腰三角形.理由如下:

在△BAD与△BCE中,

∵∠B=∠B(公共角),∠BAD=∠BCE,BD=BE,

∴△BAD≌△BCE(AAS),

∴BA=BC,∠BAC=∠BCA,

∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE,即∠FAC=∠FCA.

∴AF=CF,

∴△AFC是等腰三角形.

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点,利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键. 10.考点:等腰三角形的判

定;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:要证明三角形是等腰三角形,只需证明∠ABC=∠ACB即可,只要∠5=∠6,只要三角形全等即可,作出辅助线可证明三角形全等,于是答案可得.

解答:证明:作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,

∵AO平分∠BAC,

∴OE=OF(角平分线上的点到角两边的距离相等).

∵∠1=∠2,

∴OB=OC.

∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).

∴∠5=∠6.

∴∠1+∠5=∠2+∠6.

即∠ABC=∠ACB.

∴AB=AC.

∴△ABC是等腰三角形.

点评:此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质;作出辅助线构建全等的三角形是正确解答本题的关键.

11.考点:等腰三角形的判定.

分析:(1)要证ABC是等腰三角形,就要证∠ABC=∠ACB,根据已知条件即可找到证明∠ABC=∠ACB的组合;

(2)可利用△DOB与△EOC全等,得出OC=OB,再得出∠OCB与∠OBC相等,就能证明∠ABC与∠ACB相等.

解答:解:(1)①③,①④,②③和②④;

(2)以①④为条件,理由:

∵OB=OC,

∴∠OBC=∠OCB.

又∵∠DBO=∠ECO,

∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,

∴AB=AC,

∴△ABC是等腰三角形.

点评:此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形;题目对学生的要求比较高,利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键. 12.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定

与性质.

专题:数形结合.

分析:欲判断△EMC的形状,需知道其三边关系.根据题意需证EM=CM,由此证明△EMD≌△CMA即可.依据等腰直角三角形性质易证.

解答:解:△EMC是等腰直角三角形.理由如下:

连接MA.

∵∠EAD=30°,∠BAC=60°,

∴∠DAB=90°,

∵△EDA≌△CAB,

∴DA=AB,ED=AC,

∴△DAB是等腰直角三角形.

又∵M为BD的中点,

∴∠MDA=∠MBA=45°,AM⊥BD(三线合一),

1AM=,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 2

∴∠EDM=∠MAC=105°,

在△MDE和△CAM中,

ED=AC,∠MDE=∠CAM,MD=AM

∴△MDE≌△MAC.

∴∠DME=∠AMC,ME=MC,

又∵∠DMA=90°,

∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°.

∴△MEC是等腰直角三角形. 点评:此题难度中等,考查全等三角形的判定性质及等腰三角形性质.

13.考点:等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题;探究型.

分析:(1)利用全等三角形得出两边相等即可.

(2)简单的角度的计算,由∠A可先求出∠B,∠C的大小,进而求出∠DEF的大小,

(3)等腰直角三角形的判定,可先假设其成立,再进行验证.

(4)∠EDF+∠EFD=120°,即∠DEF=60°由(2)可知,∠FEC=∠BDE,在△BDE中,可求∠B的大小,进而求出∠A.

解答:(1)证明:∵AB=AC

∴∠B=∠C. 在△DBE和△ECF中

??BE=CF

, ?∠B=∠C ??BD=EC

∴△DBE≌△ECF(SAS). ∴DE=EF.

∴DEF是等腰三角形.

(2)解:∠A=40°,∠B=∠C,

∴∠B=∠C=70°.

∴∠BDE+∠DEB=110°.

△DBE≌△ECF.

∴∠FEC=∠BDE,

∴∠FEC+∠DEB=110°,

∴∠DEF=70°.

(3)解:假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°,

∴∠BDE+∠DEB=90°.

∴∠B=∠C=90°.

∴这与三角形的内角和定理相矛盾,

∴△DEF不可能是等腰直角三角形.

(4)解:∠EDF+∠EFD=120°,即∠DEF=60°,

∴∠FEC+∠DEB=120°,即∠B=60°.

∵AB=AC,

∴∠A=60°. 点评:本题考查了等腰三角形的判定及性质及全等三角形的性质及判定定理;其中的反证法是一种很重要的方法,注意掌握. 14.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题;开放型.

分析:根据等腰三角形的判定方法,即在一三角形中等边对等角或等角对等边,可选①③来证明△ABE≌△DCE,从而得到AE=DE,即△AED是等腰三角形.

(或①④,或②③,或②④.)

解答:解:已知:①③(或①④,或②③,或②④)

证明:在△ABE和△DCE中

??∠B=∠C

?∠AEB=∠DEC ?AB=DC?

∴△ABE≌△DCE;

∴AE=DE;

△AED是等腰三角形.

点评:此题考查学生对等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定的掌握情况;发现并利用全等三角形是正确解答本题的关键. 15.考点:等腰三角形的判定.

分析:因为AB=AC,BD=AD,DC=AC,由等腰三角形的概念得△ABC,△ADB,△ADC是等腰三角形,再根据角之间的关系求得∠B的度数.

解答:解:

图中等腰三角形有△ABC,△ADB,△ADC

∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形;

∵BD=AD,DC=AC

∴△ADB和△ADC是等腰三角形;

∵AB=AC ∴∠B=∠C

∵BD=AD,DC=AC

∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠DAC=2∠B,

在△ACD中,

∵∠ADC=∠DAC=2∠B,∠C=∠B,

∴5∠B=180°

∴∠B=36°.

点评:此题考查了等腰三角形判定;解决此题的关键是熟练掌握运用等腰三角形的判定方法,注意数形结合的解题思想,在图形上找到等腰三角形是解答本题的关键. 16.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.

分析:欲证△ABC是等腰三角形,又已知DE⊥AC,DF⊥AB,BF=CE,可利用三角形中两内角相等来证等腰.

解答:证明:∵D是BC的中点,

∴BD=CD,

∵DE⊥AC,DF⊥AB,

∴△BDF与△CDE为直角三角形,

在Rt△BDF和Rt△CDE中,

?BF=CE? , ?BD=CD

∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL),

∴∠B=∠C,

∴AB=AC,

∴△ABC是等腰三角形.

点评:考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质;充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键. 17.考点:等腰三角形的判定与性质;角平分线的定义;平行线的性质. 专题:计算题.

分析:根据题意先证明△BDO和△CEO是等腰三角形,再结合等腰三角形的性质得BD=OD,CE=EO,根据已知△ADE的周长为10cm,再加上BC的长即可得△ABC的周长.

解答:解:∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,

∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,

∵DE∥BC,

∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB,

∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,

∴BD=OD,CE=EO(等角对等边)

∵AD+DE+AE=10cm,

∴AD+BD+CE+EA=10cm,

又BC的长为5cm,所以△ABC的周长是:

AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm.

点评:本题需注意的是:只要过角平分线上的点作已知角的一边的平行线和另一边相交,即可出现等腰三角形.

18.考点:等腰三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,再根据等角的余角相等得到∠EFB=∠EDC,从而推出∠EDB=∠ADF,根据等角对等边判定△ADF是等腰三角形.

解答:证明:∵AB=AC,

∴∠B=∠C(等边对等角).(1分)

∵DE⊥BC于E,

∴∠FEB=∠FEC=90°.

∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°.

∴∠EFC=∠EDB(等角的余角相等).(2分)

∵∠EDB=∠ADF(对顶角相等),

∴∠EFC=∠ADF.(2分)

∴△ADF是等腰三角形. 点评:此题考查了学生对等腰三角形的性质及判定的理解及运用.

19.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:压轴题;动点型;探究型.

分析:(1)可通过全等三角形来证明EN与MF相等,如果连接DE,DF,那么DE就是三角形ABC的中位线,可得出三角形ADE,BDF,DFE,FEC都是等边三角形,那么∠DEF=∠DFM=60°,

DE=DF,而∠MDN和∠FDE都是60°加上一个∠NDF,因此三角形MDF和EDN就全等了(ASA).由此可得出EN=MF,∠DNE=∠DMB,已知了BD=DF,DM=DN,因此三角形DBM≌三角形DFN,因此∠DFN=∠DBM=120°,因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N,F,E在同一直线上.

(2)(3)证法同(1)都要证明三角形MDF和EDN全等,证明过程中都要作出三角形的三条中位线,然后根据三条中位线分成的小等边三角形的边和角相等来得出两三角形全等的条件,因此结论仍然成立.

解答:解:(1)判断:EN与MF相等(或EN=MF),点F在直线NE上,

(2)成立.

连接DF,NF,证明△DBM和△DFN全等(AAS),

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC=BC.

又∵D,E,F是三边的中点,

∴EF=DF=BF.

∵∠BDM+∠MDF=60°,∠FDN+∠MDF=60°,

∴∠BDM=∠FDN, 在△DBM和△DFN中,

??∠BDM=∠FDN

∵?∠ABM=∠DFN , ?DM=DN?

∴△DBM≌△DFN,

∴BM=FN,∠DFN=∠FDB=60°,

∴NF∥BD,

∵E,F分别为边AC,BC的中点,

∴EF是△ABC的中位线,

∴EF∥BD,

∴F在直线NE上,

∵BF=EF,

∴MF=EN.

(3)如图③,MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE成立).

连接DF、DE,

由(2)知DE=DF,∠NDE=∠FDM,DN=DM, 在△DNE和△DMF中,

DE=DF??∴?∠NDE=∠FDM , ?DN=DM?

∴△DNE≌△DMF,

∴MF=NE.

点评:本题主要考查了等边三角形的性质/三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识点,根据等边三角形的性质以及三角形中位线定理得出全等三角形的条件是解题的关键. 20.考点:等边三角形的性质.

专题:作图题.

析:(1)按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤做;

(2)要证BM=EM可证BD=DE,根据三线合一得出BM=EM.

解答:(1)解:作图如下;

(2)证明:∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点 ∴BD平分∠ABC(三线合一)

∴∠ABC=2∠DBE

∵CE=CD

∴∠CED=∠CDE

又∵∠ACB=∠CED+∠CDE

∴∠ACB=2∠E

又∵∠ABC=∠ACB

∴2∠DBC=2∠E

∴∠DBC=∠E

∴BD=DE

又∵DM⊥BE

∴BM=EM.

点评:本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质;作图题要注意保留做题痕迹.证得BD=DE是正确解答本题的关键. 21.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:(1)根据三角形的定义即可求解,找三角形时要注意按顺序寻找,做到不重不漏.

(2)由等边三角形得到角相等,边相等,借助相等的条件与三角形判定方法进行找寻.

解答:解:(1)图中共有5个三角形,分别是△CGF、△AGE、△BEF、△GEF、△ABC;

(2)△CGF≌△GAE,理由为:

证明:∵E、F、G是边AB、BC、AC的中点,即GF、GE分别为中位线,

11∴GF=AE= AB,GE=CF=,CG=AG, 22

在△CGF和△GAE中,

??GF=AE

, ?CF=GE ??CG=GA

∴△CGF≌△GAE(SSS).

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;找三角形的个数要按规律的去找.本题应先根据已知条件确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件. 22.附加题

考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:几何综合题;压轴题.

分析:(1)在△ABM和△BCN中,

BM=NC??

根据?∠ABM=∠BCN 判定△ABM≌△BCN, ?AB=BC?

所以∠BAM=∠CBN,

则∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60度.

(2)②同样还是根据条件判定△ACM≌△BAN,

得到∠AMC=∠BNA,所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°, 即∠BQM=60°;

③同上,证明Rt△ABM≌Rt△BCN,

得到∠AMB=∠BNC,

所以,∠QBM+∠QMB=90°,∠BQM=90°,

即∠BQM≠60°.

解答:(1)证明:在△ABM和△BCN中,

BM=NC??, ?∠ABM=∠BCN ?AB=BC?

∴△ABM≌△BCN(SAS),

∴∠BAM=∠CBN,

∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°.

(2)①是;②是;③否.

②的证明:如图,

在△ACM和△BAN中,

CM=AN??, ?∠ACM=∠BAN=120° ?AC=AB?

∴△ACM≌△BAN(SAS),

∴∠AMC=∠BNA,

∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°,

∴∠BQM=60°.

③的证明:如图,

在Rt△ABM和Rt△BCN中,

??BM=CN

, ?∠ABC=∠C ??AB=BC

∴Rt△ABM≌Rt△BCN(SAS),

∴∠AMB=∠BNC.

又∵∠NBM+∠BNC=90°,

∴∠QBM+∠QMB=90°,

∴∠BQM=90°,即∠BQM≠60°.

点评:主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件. 23.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:作图题.

分析:(1)可以分别以B、D为圆心,以BD为半径作弧,相交于E;

(2)由已知条件,证明△BCD≌△EAB即可.

解答:(1)解:如图:

(2)证明:连接AE,

∵AB=BC,∠ABE=∠CBD=60°,BD=BE,

∴△BCD≌△EAB(SAS)

∴CD=AE.

点评:此题主要考查等边三角形的作法以及性质的运用,还涉及到全等三角形的判定,综合性强.求得三角形全等是正确解答本题的关键. 24.考点:等边三角形的性质;勾股定理.

专题:规律型.

分析:在等边三角形中,由勾股定理可求得其一边上的高与边长的关系,根据图形的变化规律即可求解.

解答:解:(1)OA2=

33= a(4分) 44

(2)依题意,OA1=

OA3=3 3 3 OA、OA2= 1=()2OA 2223 3 3 1×()(2分) 2223 3 3 OA2=( )OA(6分) 22

3 62727 )OA= a(8分) 26464以此类推,OA6=(

81即△OA6B6的周长=3OA6=.(9分) 64

点评:本题是找规律题,找到第n个等边三角形的边长与前一个等边三角形的边长的关系是解题的关键. 25.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;平移的性质. 专题:探究型.

分析:(1)由于有∠F=∠G=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC,故由AAS证得△ABF≌△ACG?BF=CG;

(2)过点D作DH⊥CG于点H(如图).易证得四边形EDHG为矩形,有DE=HG,DH∥BG?∠GBC=∠HDC.又有AB=AC?∠FCD=∠GBC=∠HDC.

又∠F=∠DHC=90°?CD=DC,可由AAS证得△FDC≌△HCD?DF=CH,有GH+CH=DE+DF=CG. 解答:解:(1)BF=CG;

证明:在△ABF和△ACG中

∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠GAC,AB=AC

∴△ABF≌△ACG(AAS)

∴BF=CG;

(2)DE+DF=CG;

证明:过点D作DH⊥CG于点H(如图2)

∵DE⊥BA于点E,∠G=90°,DH⊥CG

∴四边形EDHG为矩形

∴DE=HG,DH∥BG

∴∠GBC=∠HDC

∵AB=AC

∴∠FCD=∠GBC=∠HDC

又∵∠F=∠DHC=90°,CD=DC

∴△FDC≌△HCD(AAS)

∴DF=CH

∴GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG;

(3)仍然成立.

证明:过点D作DH⊥CG于点H(如图3)

∵DE⊥BA于点E,∠G=90°,DH⊥CG

∴四边形EDHG为矩形,

∴DE=HG,DH∥BG,

∴∠GBC=∠HDC,

∵AB=AC,

∴∠FCD=∠GBC=∠HDC,

又∵∠F=∠DHC=90°,CD=DC,

∴△FDC≌△HCD(AAS)

∴DF=CH,

∴GH+CH=DE+DF=CG,

即DE+DF=CG.

点评:本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求解;作出辅助线是正确解答本题的关键. 26.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等,一组角相等,从而利用SAS判定两

三角形全等,根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE.

解答:证明:∵△ABC和△ADE是等边三角形(已知),

∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°(等边三角形的性质).

∴∠BAD=∠CAE(等式的性质). 在△BAD与△CAE中,

AB=AC??, ?∠BAD=∠CAE ?AD=AE?

∴△BAD≌△CAE(SAS).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).

点评:此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质;证明线段相等常常通过三角形全等进行解决,全等的证明是正确解答本题的关键. 27.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.

分析:先根据已知利用SAS判定△ABM≌△BCN,再根据

全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°.

解答:解:证法一.

∵△ABC为正三角形

∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC

在△AMB和△BNC中

??AB=BC

, ?∠ABC=∠C ?BM=CN?

△AMB≌△BNC(SAS),

∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC,

∠MAN=∠BAC-∠MAB=60°-∠MAB,

又∵∠NBC=∠MAB(全等三角形对应角相等),

∴∠ANB+∠MAN=120°,

又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°,

∴∠AQN=180°-∠ANB-∠MAB,

∠AQN=180°-(∠ANB+∠MAN),

=180°-120°=60°,

∠BOM=∠AQN=60°(全等三角形对应角相等).

证法二.

∵△ABC为正三角形

∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC

在△AMB和△BNC中

AB=BC??, ?∠ABM=∠BCN ?BM=CN?

∴△AMB≌△BNC(SAS)

∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC

∠MAN=∠BAC-∠MAB

又∵∠NBC=∠MAB(全等三角形对应角相等)

∴∠ANB+∠MAN=120°

又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°

∴∠AQN=180°-∠ANB-∠MAB

∠AQN=180°-(∠ANB+∠MAN)

=180°-120°=60°

点评:此题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;三角形全等的证明是正确解答本题的关键. 28.考点:等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

分析:(1)要证三角形EPF是等边三角形,已知了∠EPF=60°,主要再证得PE=PF即可,可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论,再证明全等过程中,可通过证明FP⊥BC和BE=PC来实现;

(2)由(1)不难得出∠CFG=90°,那么在三角形CFG中,有∠C的度数,可以根据CF的长求出GC的长,从而求出GB的长,下面的关键就是求GB边上的高,过E作EH⊥BC,那么EH就是所求的高,在直角三角形BEP中,有BP的长,有∠ABC的度数,可以求出BE、EP的长,再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长,这样有了底和高就能求出△GBE的面积;

(3)由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP,设BP=x,则CP=6-x,由相似三角形的对应边成比例可求出x的值,再根据勾股定理求出PE的值即可.

解答:解:(1)∵PE⊥AB,∠B=60°,

11因此直角三角形PEB中,BE= BC=PC, 23

∴∠BPE=30°,

∵∠EPF=60°,

∴FP⊥BC, ∵∠B=∠C=60°,BE=PC,∠PEB=∠FPC=90°,

∴△BEP≌△CPF, ∴EP=PF,

∵∠EPF=60°,

∴△EPF是等边三角形.

(2)过E作EH⊥BC于H,

21由(1)可知:FP⊥BC,FC=BP=,BE=CP=, 33

在三角形FCP中,∠PFC=90°-∠C=30°,

∵∠PFE=60°,

∴∠GFC=90°,

直角三角形FGC中,∠C=60°,CF=4,

∴GC=2CF=8,

∴GB=GC-BC=2,

直角三角形BEP中∠EBP=60°,BP=4, ∴PE=23 ,BE=2, ∴EH=BE?PE÷BP=3 ,

1∴S△GBE= BG?EH=3 , 2

(3)

∵在△BPE中,∠B=60°,

∴∠BEP+∠BPE=120°,

∵∠EPF=60°,

∴∠BPE+∠FPC=120°,

∴∠BEP=∠FPC,

又∵∠B=∠C,

∴△BPE∽△CFP,

BPBE, CFCP

设BP=x,则CP=6-x.

x4∴ , 26-x

解得:x=2或4.

当x=2时,在三角形△BEP中,∠B=60°,BE=4,BP=2,

过E作EH⊥BC于H,

则EH=BE?sin∠B=23 ,BH=2,

∴PH=0,

即P与H重合,与CF≠BP矛盾,故x=2不合题意,舍去;

当x=4时,在三角形△BEP中,∠B=60°,BE=4,BP=4,

则△BEP是等边三角形,

∴PE=4.

故PE=4.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质,注意对全等三角形和等边三角形的应用. 29.考点:作图—应用与设计作图;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 专题:操作型.

分析:(1)到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上,所以应作出任意两条线段的垂直平分线上;

(2)连接点P和各顶点,以及AC.根据线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求

解.

解答:解:(1)如图(3分)

(2)连接点P和各顶点,以及AC.

∵PA=PB,

∴∠PAB=∠PBA,

同理∠PAC=∠PCA,

∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=66°,

∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=132°,

∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,

∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°,

∴∠BPC=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=132°.(6分)

点评:本题用到的知识点为:到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上;线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.等边对等角.

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