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第3章《勾股定理》 :3.1 勾股定理(2)(含答案)

发布时间:2014-02-05 15:47:35  

第3章《勾股定理》 :3.1 勾股定理(2) 解答题

1.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,CE与BD相交于点M,BD交AC于点N.证明:(1)BD=CE;(2

)BD⊥CE.

2.为美化环境,计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.

3.如图,已知:在直角△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于D.

(1)若∠BAC=30°,求证:AD=BD;

(2)若AP平分∠BAC且交BD于P,求∠BPA

的度数.

4.如图,在平面直角坐标系中,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与y轴交于点C.

(1

)若∠A=∠AOC,求证:∠B=∠BOC;

(2)延长AB交x轴于点E,过O作OD⊥AB,且∠DOB=∠EOB,∠OAE=∠OEA,求∠A度数;

(3)如图,OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点P,当△ABO绕O点旋转时(斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C),在(2)的条件下,试问∠P的度数是否发生改变?若不变,请求其度数;若改变,请说明理由.

5.已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,

(1)如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形;

(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论.

6.小明将一幅三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长,若已知CD=2,求AC的长.

7.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证:(1)△ACE≌△BCD;(2)AD2+DB2=DE2.

8.如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处;

(1)求证:B′E=BF;

(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间的一种关系,并给予证明.

9.△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠c=90°,如图(1)所示,根据勾股定理则有a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图(2)(3

)所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的大小关系.

①猜想图(2)中a2+b2与c2的大小关系 ,并证明你的结论; ②猜想图(3)中a2+b2与c2的大小关系 ,并证明你的结论;

10.(1)四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开,大会会标如图(1).它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和是5,求中间小正方形的面积.

(2)现有一张长为6.5cm,宽为

2cm的纸片,如图(2),请你将它分割成6块,再拼合成一个正方形.

(要求:先在图(2)中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据)

11.如图,在△ABC中,∠C=30°,∠BAC=105°,AD⊥BC,垂足为D,AC=2cm,求BC的长(答案可带根号)

12.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD对折,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.

13.细心观察下图,认真分析各式,然后解答问题. 1 )2+1=2 S1=1 22 2 )+1=3 S1= 22

3 )2+1=4 S1=3 2

(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;

(2)推算出OA10的长;

(3)求出S1

2+S22+S22+?+S102的值.

14.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c,设△ABC的面积为S,周长为l.

15.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.

(1)已知CD=4cm,求AC的长;

(2)求证:AB=AC+CD.

16.如图,△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD.

17.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在边BC的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则EC的长为 cm.

18.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC,D为AB的中点,DE交AC于点E,DF交BC于点F,且DE⊥DF,过A作AG∥BC交FD的延长线于点G.

(1)求证:AG=BF;

(2)若AE=9,BF=18,求线段EF的长.

19.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上高AD=12,试求△ABC周长.

20.如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,求图中阴影部分的面积.

21.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.

(1)画出拼成的这个图形的示意图.

(2)证明勾股定理.

22.在学习勾股定理时,我们学会运用图(I)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为:

11(a+b)2,也可表示为:c2+4?( ),即(a+b)2=c2+4?( ab)由此推出22

勾股定理a2+b2=c2,这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.

(1)请你用图(II)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等); (2)请你用(III)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证(x+y)2=x2+2xy+y2; (3)请你自己设计图形的组合,用其面积表达式验证:(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.

23.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三,股四,弦五”.

(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;?,发现这些勾股数的勾都是奇

1111数,且从3起就没有间断过.计算 (9-1)(9+1)与 (25-1)(25+1),2222

并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;

(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;

(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;?,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m>4)的代数式来表示他们的股和弦.

24.大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式,这种解决问题的方法我们称之为面积法.学有所用:在等腰三角形ABC中,AB=AC,其一腰上的高为h,M是底边BC上的任意一点,M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2.

(1)请你结合图形来证明:h1+h2=h;

(2)当点M在BC延长线上时,h1、h2、h之间又有什么样的结论.请你画出图形,并直接写出结论不必证明;

3(3)利用以上结论解答,如图在平面直角坐标系中有两条直线l1:y= x+3,4

3l2:y=-3x+3,若l2上的一点M到l1的距离 .求点M的坐标.

2

25.如图,正方形MNPQ网格中,每个小方格的边长都相等,正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上.

(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1,求:

①△ABQ,△BCM,△CDN,△ADP的面积;②正方形ABCD的面积;

(2)设MB=a,BQ=b,利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系,你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗?相信你能给出简明的推理过程.

26.文文和彬彬在完成作业,“如图在△ABC中,AB=AC=10,BC=8.画出中线AD并求中线AD的长.”时她们对各自所作的中线AD描述如图:

文文:“过点A作BC的垂线AD,垂足为D,AD就是△ABC的中线”; 彬彬:“作△ABC的角平分线AD,AD就是△ABC的中线”.那么:

(1)上述作法你认为是两位同学的作法谁的较好?

(2)请你根据中线作法帮她求出AD的长?

答案: 解答题

1.考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

专题:证明题.

分析:(1)要证明BD=CE,只要证明△ABD≌△ACE即可,两三角形中,已知的条件有AD=AE,AB=AC,那么只要再得出两对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论.我们发现∠BAD和∠EAC都是90°加上一个

∠CAD,因此∠CAE=∠BAD.由此构成了两三角形全等中的(SAS)因此两三角形全等.

(2)要证BD⊥CE,只要证明∠BMC是个直角就行了.由(1)得出的全等三角形我们可知:

∠ABN=∠ACE,三角形ABC中,∠ABN+∠CBN+∠BCN=90°,根据上面的相等角,我们可得出∠ACE+∠CBN+∠BCN=90°,即∠ABN+∠ACE=90°,因此∠BMC就是直角了.

解答:证明:(1)∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

即∠CAE=∠BAD

在△ABD和△ACE中

AB=AC???∠CAE=∠BAD ?AD=AE?

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE

(2)∵△ABD≌△ACE

∴∠ABN=∠ACE ∵∠ANB=∠CND

∴∠ABN+∠ANB=∠CND+∠NCE=90°

∴∠CMN=90°

即BD⊥CE.

点评:本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定等知识点,利用全等三角形得出线段相等和角相等是解题的关键.

2.分析: 由题意知面积是一定的,这是解题的关键,由已知一边长为10,所以要使面积相等就要保证高相等,因三角形不知哪边边长为10,要分为三种情况来讨论.

解答: 解:分三种情况计算.

不妨设AB=10米,过点C作CD⊥AB,垂足为D,三角形的高CD=2S△ABC/AB=(2×30)÷10=6米,

(1)当AB为底边时,AD=DB=5(米)(如图1)AC=BC=62+5261 (米);

(2)当AB为腰且三角形为锐角三角形时(如图2)AB=AC=10(米) AD=C2-CD2 =8(米),BD=2(米) 62+22 =210 (米)(1分);

(3)当AB为腰且三角形为钝角三角形时(如图3)AB=BC=10(米) 62+182 =610 (米).

3.分析:(1)∵∠BAC=30°,BD平分∠ABC且交AC于D,∴∠BAC=∠ABD=30°,∴AD=BD;

(2)∵∠BAC与∠ABC互余,则这两角的一半的和为∠BAP+∠ABP=∠APD=45°,而∠APB与∠APD互补,∴∠APB=135°. 解答:解:(1)证明:∵∠BAC=30°,∠C=90°,

∴∠ABC=60°.

又∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=30°,

∴∠BAC=∠ABD,

∴BD=AD.

(2)解法一:∵∠C=90°,

∴∠BAC+∠ABC=90°,

1∴ (∠BAC+∠ABC)=45°. 2

∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC,

11∠BAP= ∠BAC,∠ABP= ∠ABC,即∠BAP+∠ABP=45° 22

∴∠APB=180°-45°=135°.

解法二:∵∠C=90°,

∴∠BAC+∠ABC=90°,

1∴ (∠BAC+∠ABC)=45°. 2

∵BD平分∠ABC,AP平分∠BAC,

11∠DBC= ∠ABC,∠PAC= ∠BAC, 22

∴∠DBC+∠PAD=45°.

∴∠BPA=∠PDA+∠PAD

=∠DBC+∠C+∠PAD

=∠DBC+∠PAD+∠C

=45°+90° =135°.

4.考点:直角三角形的性质;角平分线的定义;三角形内角和定理. 专题:证明题;探究型.

分析:(1)易证∠B与∠BOC分别是∠A与∠AOC的余角,等角的余角相等,就可以证出;

(2)易证∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°,且∠DOB=∠EOB=∠OEA就可以得到;

(3)∠P=180°-(∠PCO+∠FOM+90°)根据角平分线的定义,就可以求出. 解答:解:(1)∵△AOB是直角三角形,

∴∠A+∠B=90°,∠AOC+∠BOC=90°.

∵∠A=∠AOC,

∴∠B=∠BOC;

(2)∵∠A+∠ABO=90°,∠DOB+∠ABO=90°, ∴∠A=∠DOB即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA.

∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°,

∴∠DOB=30°, ∴∠A=30°;

(3)∠P的度数不变,∠P=30°,

∵∠AOM=90°-∠AOC,∠BCO=∠A+∠AOC,

∵OF平分∠AOM,CP平分∠BCO,

111∴∠FOM= ∠AOM= (90°-∠AOC)=45°- ∠AOC, 222

1111∠PCO= ∠BCO= (∠A+∠AOC)= ∠A+ ∠AOC. 2222

∴∠P=180°-(∠PCO+∠FOM+90°)

1=45°- ∠A 2

=30°.

点评:本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质.

5.证明:(1)连结AD,因为AB=AC,∠BAC=90°D为BC的中点

所以AD⊥BC ,BD=AD,所以∠B=∠DAC=45°

又BE=AF,所以△BDE≌△ADF

所以ED=FD,∠BDE=∠ADF

所以∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°

所以△DEF为等腰直角三角形

(2)若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图所示

连结AD,因为AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点

所以AD=BD,AD⊥BC,所以∠DAC=∠ABD=45°

所以∠DAF=∠DBE=135°

又AF=BE,所以△DAF≌△DBE

所以FD=ED,∠FDA=∠EDB

所以∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90° 所以△DEF仍为等腰直角三角

6.考点:勾股定理.

分析:在直角△BDC中根据勾股定理得到BC的长,进而在直角△ABC中,根据勾股定理,求出AC的长.

解答:解:∵BD=CD=2,

∴BC22+22 =22 ,

∴设AB=x,则AC=2x,

)2=(2x)2,

∴x2+8=4x2,

∴3x2=8,

8∴x2

=, 3

, 4AC=2AB=6 . 3点评:本题解决的关键是利用勾股定理,先求出两个直角三角形的公共边BC.

7.考点:全等三角形的判定;勾股定理;等腰直角三角形.

专题:证明题.

分析:首先根据△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,可知EC=DC,AC=CB,再

根据同角的余角相等可证出∠1=∠2,再根据全等三角形的判定方法SAS即可证出△ACE≌△BCD.

解答:证明:(1)∵∠ACB=∠DCE,

∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE,

即∠BCD=∠ACE,

∵BC=AC,DC=EC,

∴△BCD≌△ACE;

(2)∠ACB=90°,AC=BC

∵△ACE≌△BCD,

∴∠B=∠CAE=45°,

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°,

由(1)知AE=DB,

∴AD2+DB2=DE2。 8.考点:勾股定理;翻折变换(折叠问题).

专题:压轴题;分类讨论.

分析:(1)首先根据题意得B′F=BF,∠B′FE=∠BFE,接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF;

(2)解答此类题目时要仔细读题,根据三角形三边关系求解分类讨论解答,要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答.

解答:(1)证明:由题意得B′F=BF,∠B′FE=∠BFE,

在矩形ABCD中,AD∥BC,

∴∠B′EF=∠BFE,

∴∠B′FE=∠B'EF,

∴B′F=BE,

∴B′E=BF;

(2)答:a,b

,c三者关系不唯一,有两种可能情况:

(ⅰ)a,b,c三者存在的关系是a2+b2=c2.

证明:连接BE, ,

由(1)知B′E=BF=c,

∵B′E=BE,

∴四边形BEB′F是平行四边形,

∴BE=c.

在△ABE中,∠A=90°,

∴AE2+AB2=BE2, ∵AE=a,AB=b,

∴a2+b2=c2;

(ⅱ)a,b,c三者存在的关系是a+b>c.

证明:连接BE,则BE=B′E.

由(1)知B′E=BF=c,

∴BE=c,

在△ABE中,AE+AB>BE,

∴a+b>c.

点评:此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识.

第一,较好考查学生表述数学推理和论证能力,第(1)问重点考查了学生逻辑推理的能力,主要利用等角对等边、翻折等知识来证明;

第二,试题呈现显示了浓郁的探索过程,试题设计的起点低,图形也很直观,也可通过自已动手操作,寻找几何元素之间的对应关系,形成较为常规的方法解决问题,第(2)问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力,这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益; 第三,解题策略多样化在本题中得到了充分的体现.

9.考点:勾股定理.

专题:证明题. 分析:作出高把三角形分成两个直角三角形,观察两个直角三角形有一个共同的直角边,利用勾股定理求出共同边的长,从各得到三边的关系.

解答:解:①在直角三角形ABD和ACD中,设CD=x, 则:b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,

整理得:a2+b2=c2+2ax

∵2ax>0,

∴a2+b2>c2.

②在直角三角形ADB中BDC中,设CD=x,

则:c2-(b+x)2=BD2=a2-x2

整理得:a2+b2=c2-2bx ∵2bx>0,

∴a2+b2<c2.

点评:需要作出高,把三边转化到直角三角形中去,利用勾股定理的三边关系.

10.考点:勾股定理.

专题:作图题.

分析:(1)可设直角三角形的两条直角边,根据勾股定理得到两条直角边的一个关系式,再结合已知条件联立解方程组,求出两条直角边的长.则小正方形的面积即为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积;

(2)根据面积不变,可知要拼成的正方形的边长是13 .13=4+9,故可以把它分割成4个直角边分别是2和3的直角三角形和两个长宽分别是1和0.5的矩形. 解答:解:(1)设直角三角形的两条边分别为a、b(a>b),

??a+b=5则依题意有:?22?a+b=13? , ①两边平方-②,得ab=6,

(a-b)2=(a+b)2-4ab=1,

∴a-b=1,

故小正方形的面积为1.

(2)

点评:(1)注意正方形的面积即为直角三角形斜边的平方;(2)注意根据图形的面积不变进行分析.

11.考点:勾股定理.

分析:在△ABC中,AD⊥BC,则在△ABD和△ACD中,根据三角函数就可以求出BC的长.

解答:解:在△ABC

中,AD⊥BC,∴△ADC为直角三角形.

1∵∠C=30°,∴AD= AC 2

∵AC=2,∴AD=1cm

3 cm;

又∵∠BAC=105°,∠DAC=60°,

∴∠BAD=45°

即Rt△ABD是等腰直角三角形,

∴BD=1 故BC=BD+DC=(1+3 )cm

答:BC的长为(1+3 )cm.

点评:本题主要考查了三角函数的定义以及勾股定理,利用已知得出Rt△ABD是等腰直角三角形是解题关键.

12.考点:勾股定理.

分析: 先由勾股定理求AB=10.再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长.

解答:解:∵两直角边AC=6cm,BC=8cm,

在Rt△ABC中,由勾股定理可知AB=10,

现将直角边AC沿直线AD对折,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD=DE,AE=AC=6,

∴BE=10-6=4,

设DE=CD=x,BD=8-x,

在Rt△BDE中,根据勾股定理得:BD2=DE2+BE2,即(8-x)2=x2+42, 解得x=3. 即CD的长为3cm.

13.考点:勾股定理.

专题:规律型.

分析:此题要利用直角三角形的面积公式,观察上述结论,会发现,第n个图,然后利用面积公式可得. 由同述OA2=2 ,0A3=3 ?可知OA10=10 .

S12+S22+S22+?+S102的值就是把面积的平方相加就可.

解答:解:(1)

)2+1=n+1(1分)

Sn(n是正整数)(2分) (1)∵OA1=1 ,OA2=2 ,0A3=3 ,?

∴OA10=10 .(3分)

(3)S12+S22+S32+?+S102

1 2 3 210 222=( )+()+()+?+( )(5分) 2222

1= (1+2+3+?+10) 4

55= .(6分)错误!未指定书签。 4

点评:此题的关键是观察,观察题中给出的结论,由此结论找出规律进行计算.千万不可盲目计算. 14.考点:勾股定理.

专题:图表型.

1分析:(1)Rt△ABC的面积S= ab,周长l=a+b+c,分别将3、4、5,5、12、2

13,8、15、17的值;

(2

1(3)根据lm=(a+b+c)(a+b-c),a+b=c,S=可得出:lm=4s,

2222

1解答:解:(1)∵Rt△ABC的面积S=,周长l=a+b+c,故当a、b、c三边2

11分别为3、4、5时,S=×3×4=6,l=3+4+5=12

,同理将其余两组数

22

3为1,. 2

13∴应填: ,1, . 22

(2

. (3)∵l=a+b+c,m=a+b-c,

∴lm=(a+b+c)(a+b-c)

=(a+b)2-c2

=a2+2ab+b2-c2.

∵∠C=90°,

1∴a2+b2=c2,s= ab,

2

角平分线的性质. ,由于∠C=90°,故BD,AC的值.

(2)由(1)可知:△ACD≌△AED,AC=AE,BE=DE=CD,故AB=AE+BE=AC+CD. 解答:解::(1)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,

∴DE=CD=4cm,

又∵AC=BC,

∴∠B=∠BAC,

又∵∠C=90°,

∴∠B=∠BDE=45°,

∴BE=DE=4cm.

在等腰直角三角形BDE中,由勾股定理得,2 cm,

∴AC=BC=CD+BD=4+2 (cm).

(2)∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,

∴∠ADE=∠ADC,

∴AC=AE,

又∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD.

点评:本题考查的是角平分线的性质,等腰直角三角形的性质,比较简单.

16.考点:勾股定理. 分析:AD为高,那么题中有两个直角三角形.AD在这两个直角三角形中,设BD为未知数,可利用勾股定理都表示出AD长.求得BD长,再根据勾股定理求得AD长. 解答:解:设BD=x,则CD=14-x,在Rt△ABD中,AD2+x2=132, 在Rt△ADC中,AD2=152-(14-x)2,

所以有132-x2=15

2-(14-x)2,

132-x2=152-196+28x-x2,

解得x=5,

在Rt△ABD中,.

点评:本题考查了勾股定理,解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点.主要利用了勾股定理进行解答.

17.考点:勾股定理;翻折变换(折叠问题).

分析:能够根据轴对称的性质得到相关的线段之间的关系.再根据勾股定理进行计算.

解答:解:∵D,F关于AE对称,所以△AED和△AEF全等,

∴AF=AD=BC=10,DE=EF,

设EC=x,则DE=8-x.

∴EF=8-x,

在Rt△ABF中,,

∴FC=BC-BF=4.

在Rt△CEF中,由勾股定理得:CE2+FC2=EF2,

即:x2+42=(8-x)2,解得x=3. ∴EC的长为3cm.

点评:特别注意轴对称的性质以及熟练运用勾股定理.

18.考点:勾股定理;全等三角形的判定.

专题:计算题;证明题.

分析:(1)由于D是AB的中点,AG∥BC,易证,△ADG≌△BDF,可得结论.

(2)连接EG,根据全等三角形的性质及勾股定理不难求得EF的长. 解答:(1)证明:∵D是AB的中点,

∴AD=BD.

∵AG∥BC,

∴∠GAD=∠FBD.

∵∠ADG=∠BDF,(3分)

∴△ADG≌△BDF.(4分)

∴AG=BF.

(2)解:连接EG,

∵△ADG≌△BDF,

∴GD=FD.

∵DE⊥DF,

∴EG=EF.(6分)

∵AG∥BC,∠ACB=90°,

∴∠EAG=90°.(7分)

在Rt△EAG中,

∵EG2=AE2+AG2=AE2+BF2

∴EF2=AE2+BF2且AE=9,BF=18.(9分)

5 .(10分)

点评:本题综合考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定及勾股定理等相关知识的应用能力.

19.考点:勾股定理.

专题:分类讨论.

分析:本题应分两种情况进行讨论:

(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相加即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出;

(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD

和CD的长求出,两者相减即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出. 解答:

解:此题应分两种情况说明:

(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,

在Rt△ACD中,

∴BC=5+9=14

∴△ABC的周长为:15+13+14=42;

(2)当△ABC为钝角三角形时,

在Rt△ABD中,

在Rt△ACD中,

∴BC=9-5=4

∴△ABC的周长为:15+13+4=32

∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42; 当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.

20.考点:勾股定理;翻折变换(折叠问题).

专题:计算题.

分析:注意根据折叠的过程以及矩形的对边相等,得:AF=AD=BC,DE=EF.然后根据勾股定理求得CF的长,再设BF=x,即可表示AF的长,进一步根据勾股定理进行求解.

解答:解:由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称,

故AF=AD,EF=DE=DC-CE=8-3=5. 所以CF=4,

设BF=xcm,则AF=AD=BC=x+4. 在Rt△ABF中,由勾股定理,得82+x2=(x+4)2.

解得x=6,故BC=10.

所以阴影部分的面积为:10×8-2S△ADE=80-50=30(cm2).

点评:本题主要考查了勾股定理以及翻折变换,注意由折叠发现对应边相等,熟练运用勾股定理进行求解.

21.考点:

勾股定理的证明.

专题:作图题;证明题. 分析:勾股定理的证明可以通过图形的面积之间的关系来完成.

解答:解法一:(1)如图;

12(2)证明:∵大正方形的面积表示为(a+b)大正方形的面积也可表示为c2+4× 2

ab

1∴(a+b)2=c2+4×,a2+b2+2ab=c2+2ab 2

∴a2+b2=c2

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

解法二:(1)如图

(2)证明:∵大正方形的面积表示为:c2

1又可以表示为: ab×4+(b-a)2

2

1∴c2=ab×4+(b-a)2,c2=2ab+b2-2ab+a2, 2

∴c2=a2+b2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

点评:利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形,利用面积的关系证明勾股定理.

22.考点:勾股定理的证明.

专题:压轴题;阅读型.

分析:(1)根据阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=4个直角三角形的面积,即可证明;

(2)可以拼成一个边长是x+y的正方形,它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成; (3)可以拼成一个长、宽分别是x+p和x+q的长方形,它由边长是x的正方形,长宽分别是x和p,x和q,p和q组成的图形.

解答:解:(1)大正方形的面积为:c2,中间空白部分正方形面积为:(b-a)2;

1四个阴影部分直角三角形面积和为:4× ab; 2

由图形关系可知:大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积,即有:c2=

1(b-a)2+4×2-2ab+a2+2ab=a2+b2; 2

(2)如图示:大正方形边长为(x+y)所以面积为:(x+y)2,它的面积也等于

两个边长分别为x,y和两个长为x宽为y的矩形面积之和,即x2+2xy+y2 所以有:(x+y)2=x2+2xy+y2成立;

(3)如图示:大矩形的长、宽分别为(x+p),(x+q),则其面积为:(x+p)?(x+q),从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为:x2+px+qx+pq,则有:(x+p)

(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq.

点评:注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法.

23.考点:勾股定理的证明.

专题:压轴题.

分析:(1)根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一,弦是勾的平方加1的二分之一;

(2)股是勾的平方减去4的四分之一,弦是勾的平方加4的四分之一.

1111解答:解:(1)∵ (9-1)=4 (9+1)=5(25-1)=12 (25+1)=13; 2222

11∴7,24,25的股的算式为(49-1)=(72-1) 22

11弦的算式为 (49+1)= (72+1);(4分) 22

(2)当n为奇数且n≥3,勾、股、弦的代数式分别为:

11n, (n2-1),(n2+1).(7分) 22

例如关系式①:弦-股=1;关系式②:勾2+股2=弦2(9分)

11122证明关系式①:弦-股= (n+1)- (n-1)=(n2+1)-(n2-1)]=1 222

11111或证明关系式②:勾2+股2=n2+[ (n2-1)]2=4+ n2+ = (n2+1)2=弦2∴24244

猜想得证;(12分)

m为偶数且m>4时,股、弦的代数式分别为: 2?12+1.(14分) 例如:连接两组勾股数中,上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股.

11即上一组为:n, (n2-1),(n2+1)(n为奇数且n≥3), 22

分别记为:A1、B1、C1,

112下一组为:n+2, [(n+2)-1],(n+2)2+1](n为奇数且n≥3), 22

分别记为:A2、B2、C2, 111则:A1+B1+A2=n+ (n2-1)+(n+2)= (n2+4n+3)= [(n+2)2-1]=B2. 222

或B1+C2=B2+C1(证略)等等.

点评:注意由具体例子观察发现规律,证明的时候熟练运用完全平方公式.

24.考点:勾股定理的证明.

专题:计算题;证明题;压轴题.

分析:(1)根据S△ABC=S△ABM+S△AMC

即可求出答案; (2)h1-h2=h;

(3)先求得△ABC为等腰三角形,再根据(1)(2)的结果分(ⅰ)当点M在BC边上时,(ⅱ)当点M在CB延长线上时,求得M的坐标.

解答:(1)证明:连接AM,由题意得h1=ME,h2=MF,h=BD,

∵S△ABC=S△ABM+S△AMC,

11S△ABM=×AB×ME=×AB×h1, 22

11S△AMC= ×AC×MF= ×AC×h2, 22

11又∵S△ABC= ×AC×BD= ×AC×h,AB=AC, 22

111∴ ×AC×h= ×AB×h1+×AC×h2, 222

∴h1+h2=h.

(2)解:如图所示:(5分)

h1-h2=h.(7分)

(3)解:

3在y=中,令x=0得y=3;令y=0得x=-4, 4

所以A(-4,0),B(0,3)同理求得C(1,0).

,AC=5,所以AB=AC,

即△ABC为等腰三角形.(9分).

333(ⅰ)当点M在BC边上时,由h1+h2=h得:y=OB,My=3- = , 222

1把它代入y=-3x+3中求得:Mx= , 2

13所以此时M(,).(10分) 22

339(ⅱ)当点M在CB延长线上时,由h1-h2=h得:My- =OB,My=3+ = , 222

1把它代入y=-3x+3中求得:Mx=- , 2

19所以此时M(- ,).(11分). 22

1319综合(ⅰ)、(ⅱ)知:点M的坐标为M(,)或(- ,).(12分) 2222

点评:(1)(2)的结果容易得到,解答(3)时,注意要灵活应用(1)(2)的结果.

25.考点:勾股定理的证明;全等三角形的判定与性质.

专题:网格型.

分析:(1)根据直角三角形的面积公式:S=两条直角边的乘积的一半进行计算;

(2)显然根据面积能够验证勾股定理以及完全平方公式.

解答:解:(1)∵网格中每个小正方形的边长为1,

由图可知AQ=3,BQ=4,∠Q=90°. ∴S1

△ABQ=2AQ?BQ=6;同理S△BCM=S△CDN=S△ADP=6.

又∵MQ=7

∴S正方形MNPQ=49.

∴S正方形ABCD=S正方形MNPQ-4S△ABQ=49-4×6=25.

(2)勾股定理或完全平方公式.

(只要给出其一即可得1分) 验证:在△BCM、△ABQ中.

∵∠M=∠Q=∠ABC=90°,∴∠MBC=∠QAB.

又∵AB=BC

∴△BCM≌△ABQ

同理△CDN≌△DAP≌△BCM.

∵MB=a,BQ=b,S正方形MNPQ=S正方形ABCD+4S△ABQ

∴(a+b)2=a2+b2+4×12 ab

即(a+b)2=a2+2ab+b2(完全平方公式)

或又∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ-4S△ABQ

∴AB2=(a+b)2-4×1

2,即AB2=a2+b2. 设AB=c,得c2=a2+b2(勾股定理)

点评:掌握运用面积的计算方法证明勾股定理以及一些公式.

26.考点:作图—复杂作图;勾股定理.

分析:两人的作法都正确,因为等腰三角形中三线合一的定理,中线和垂线及角平分线是一条直线.根据勾股定理可求出AD的长.

解答:解:(1)文文的作法较好(或彬彬的较好)

根据三线合一的定理.

(2)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,

∴AD是△ABC的中线,

11BD=CD= BC= ×8=4. 22

在Rt△ABD中,AB=10,BD=4,AD2+BD2=AB2,

102?4221 . 点评:本题主要考查了三线合一的定理.

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