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24 圆(复习)辅助线

发布时间:2014-02-06 09:40:02  

人教版义务教育教科书 数学九年级上册
第二十四章圆(复习)

寒葱沟镇中学 孙元成

2114.2.3

圆的常用辅助线及作法

圆的常用辅助线及作法
常用思想 数学歌诀 弦心距 直径圆周角 作法及应用 切线径 两圆相交公共弦 两圆相切公切线 中点圆心线 尝试练习一 尝试练习二

尝试练习

圆是初中几何学习中重要内容,学好圆的 有关知识,掌握正确的解题方法,对于提高学 生的综合能力非常重要,而在解决圆的有关问 题时,恰当添设辅助线则是解题的关键。 ?一、添设圆的辅助线的常用思想
? 添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。 在作辅助线时,应从结论入手分析,寻找题设 和结论之间的关系,寻找隐含的条件,使辅助 线起到“搭桥铺路”的作用。

?圆的常用辅助线作法的“数学歌诀” 弦与弦心距,亲密紧相连。 中点与圆心,连线要领先。 两个相交圆,不离公共弦。 两个相切圆,常作公切线。 圆与圆之间,注意连心线。 遇直径想直角,遇切点作半径。

二、常用辅助线作法的应用
?2.1、弦心距
----有弦,可作弦心距。 ? 在解决与弦、弧有关的问题时,常作 弦心距、半径等辅助线,利用垂径定理、 推论及勾股定理解决问题。

例1、如图,已知,在以O为圆心的两个同 心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证:AC =BD。
证明:过O作OE ⊥ AB, 垂足为E。 由垂径 定理得: AE = EB, CE = DE ∴ AE - CE = BE - DE 即:AC = BD
E

2.2、直径圆周角
----有直径,可作直径上的圆周角. 在解决有关直径的问题时,常作直 径上的圆周角,构成直径所对的圆周角 是直角,寻找隐含的条件,从而得到所 求结论。

例2、已知:MN 切⊙O于A点,PC是直径,PB ⊥ MN于B点, 求证:
分析:

证明:连结AC、AP
∵ PC是⊙O的直径 ∴ ∠CAP = 90 °

∵ PB ⊥

MN

∴ ∠PBA = 90 °

∴ ∠CAP = ∠PBA

∵ MN 是⊙0的切线
∴ ∠BAP = ∠ ACP

2.3、切线径
----有切点,可作过切点的半径。

在解决有关切线问题时,常作过切点的半 径,利用切线的性质定理;或者连结过切点的 弦,利用弦切角定理,使问题得以解决。

例3、如图,AB、AC与⊙O相切有与B、C点, ∠A = 50°,点P优弧BC的一个动点,求∠BPC 的度数。

解:连结 OB、 OC ,
∵ AB、AC是⊙O的切线 ∴ AB⊥OB, AC⊥OC, ∴∠ABO = ∠ACO = 90° 在四边形ABOC中,∠A = 50° ∴∠BOC = 360°- ∠A -∠ABO - ∠ACO = 360°- 50°- 90°-90° = 130° ∴ ∠BPC = = 65°

2.4、两圆相交公共弦 ----两圆相交,可作公共弦。 在解决两圆相交的问题时,常作两圆的 公共弦,构成圆内接四边形。再利用圆内接 四边形定理,架设两圆之间的”桥梁”,从 而寻找两圆之间的等量关

系。

例4、如图,已知:⊙O1 和⊙O2 相交于A、B两点, 过A点的直线CD分别交⊙O 1 和⊙O 2 于C 、D;过 B点的直线EF分别交⊙O 1 和⊙O 2 于E 、F 。求证: CE∥DF 。

证明:连结AB
四边形ACEB是⊙O 1 的内接四边形
∴ ∠DAB = ∠E 四边形ABFD是⊙O 的内接四边形 ∴ ∠DAB +∠F = 180° ∴ ∠E +∠F = 180°
2

∴CE∥DF

2.5、两圆相切公切线 ---两圆相切,可作公切线. 在解决两圆相切的问题时,常作两圆的 公切线。若两圆外切,常作内公切线;若两 圆内切,常作外公切线。通过公切线构造弦 切角,利用弦切角便把两圆的圆周角联系起 来。

例5、如图,已知两圆外切于T点。过T的直线AB 、CD分别交⊙O 和⊙ 1 O 于A 2、C 和B 、D。求证: AC∥BD 。
证明:过T点作两圆的内公切线MN 在⊙O 1 中,∠A= ∠CTN 在⊙O2 中, ∠B= ∠DTM 又∵ ∠CTN = ∠DTM
M

∴∠A= ∠B
∴AC∥BD
N

2.6、中点圆心线 ---有中点和圆心,可连结中点与圆心。

在解决有关中点和圆心的问题时,可先 连结中点与圆心。利用垂径定理,或者是三 角形、梯形的中位线定理,可求出所需要的 结论。

例6、如图,已知AB、CD是⊙O的两条弦,M、N分别是AB、 CD的中点,并且∠ AMN = ∠ CNM 。求证:AB = CD 。

证明:连结OM、 ON
∵M、N分别是AB、CD的中点 ∴OM⊥AB,ON⊥CD ∴∠AMO = ∠CNO = 90 ° 又∵∠ AMN = ∠ CNM ∴ ∠OMN =∠ ONM

∴ OM = ON
即:AB = CD

三、尝试练习一
1、如图,点O是∠EPF的平分线上的一点, 以O为圆心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、 D点。求证:(1)、AB = CD (2)、PB =PD。 (1)、证明:过O作 M OM⊥AB,ON⊥CD, 垂足为M、N。 ∵PO平分∠BPA, ∴OM=ON ∴AB=CD。
N

三、尝试练习一
1、如图,点O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆 心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、D点。求证: (1)、AB = CD (2)、PB =PD。 (2)、∵AB=CD,OM⊥AB, ON⊥CD ∴AM=MB=CN=ND 又∵OM=ON, ∴RtΔPMO≌RtΔPNO ∴PM=PN ∴PM+MB=PN+ND 即:PB=PD

2、如图,以RtΔABC的直角边AC为直径作⊙O交斜边 AB于P,过B、P任意作一个圆,过A作所作圆的切线AD, 切点为D。求证: 证明:连结CP, AC是⊙O的直径, ∴∠APC =90°

∵∠ACB=90°,
∴ΔAPC∽ΔACB 又∵AD是大⊙的切线

3、如图,在⊙O中,半径OA⊥OB垂足为O,P是OB上 任意一点,AP交⊙O于Q,过Q点的切线交OB的延长线 于C。求证:CP = CQ。
证明:连结OQ ∵QC是⊙O的切线, ∴∠OQC=90° ∵OA=OQ,∴∠OAQ=∠OQA 又OA⊥OB,∴∠APO=90°-∠OAP ∠CQP=∠90°-∠OQA ∠APO=∠CQP ∴∠CQP=∠CPQ, ∴CP = CQ。

四、尝试练习二
1、如图,两圆相交于A、B两点。过一个圆上的点P作射 线PA和PB,分别交于另外一个圆于点C和点D,再作切线 PT。求证:PT∥CD。

证明:连结

AB PT是小⊙的切线, ∠TPA=∠ABP ABDC是大⊙的内接四边形, ∠ABP=∠C ∴∠TPA=∠C 即:PT∥CD。

2、如图,已知:⊙O1和⊙O2外切于点A, BC是⊙O1和⊙O2 的公切线,B、C为切点。 求证:AB⊥AC。 证明:过点A作两圆的公 切线交BC于点P , 由切线长定理得: BP=PA,PA=PC ∴PA= BP = PC = ∴AB⊥AC

3、已知、AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,切点为A, BC交⊙O于点D,E是AC的中点。求证:ED是⊙O的切线。 证明:连结OD,OE OE是ΔABC的的中位线 ∴OE∥BC ∠AOE=∠B,∠EOD=∠ODB ∵OB=OD,∴∠B =∠ODB ∴∠AOE = ∠EOD 又AC是⊙O的切线,∠OAE=90° ∵ OD=OA ∠AOE = ∠EOD OE=OE ∴ΔEAO ≌ΔEDO ∴∠EDO=∠EAO=90° 即:ED是⊙O的切线。

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