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第一部分 第二章 第1讲 第4课时 一元二次方程

发布时间:2014-02-06 09:40:04  

第 4 课时 一元二次方程

1.能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程.
2.理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单 的数字系数的一元二次方程. 3.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.

1.一元二次方程 (1) 定 义:只含有一个未知 数,且未知 数 的 最高 次数 是

________ 的整式方程. 2

ax2+bx+c=0(a≠0) (2)一般形式:__________________________.
其中____ a 叫做二次项系数,____ b 叫做一次项系数,c 叫做常
数项.

2.一元二次方程的解法 (1)直接开方法.

配方 (2)__________ 法.
(3)__________ 因式分解 法. (4)公式法. 注意:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 x

-b± b2-4ac =______________________. 2a

3.根的判别式

一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)根的判别式为Δ=b2 -
4ac. (1)当Δ>0 时,原方程______________ 实数根. 有两个不相等的 (2)当________ Δ=0 时,原方程有两个相等的实数根. (3)当________ 时,原方程没有实数根. Δ<0

4.一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根为 x1,x2,则

b -a (1)x1+x2=__________. c (2)x1· x2=__________. a

1.(2011 年甘肃兰州)用配方法解方程 x2-2x-5=0 时,原 方程应变形为( C )

A.(x+1)2=6
C.(x-1)2=6

B.(x+2)2=9
D.(x-2)2=9

2.方程 x(x+2)=0 的解是( C ) A.x=0 C.x1=0,x2=-2 B.x=-2 D.x1=0,x2=2

3.西安园艺博览会的某纪念品原价为 168 元,连续两次降 价 a%后售价为 128 元.下列所列方程中正确的是( B )

A.168(1+a%)2=128
C.168(1-2a%)=128

B.168(1-a%)2=128
D.168(1-a2%)=128

4.一元二次方程 3x2-12=0 的解为__________ x=±2 . 5.请你写出一个有根为 1 的一元二次方程:____________. x2-2x+1=0

考点 1

解一元二次方程

1.(2012 年广东佛山)用配方法解一元二次方程 x2-2x-3 =0 时,方程变形正确的是( B ) A.(x-1)2=2 C.(x-1)2=1
4 x 1=-2,x2= ______________ 3 .

B.(x-1)2=4 D.(x-1)2=7
? ?

2. (2011 年广东珠海)一元二次方程??2x-1??2=(3-x)2 的解是 3.(2012 年广东广州)已知关于 x 的一元二次方程 x2-2 3

x+k=0 有两个相等的实数根,则 k 值为______ 3 .

规律方法:(1)配方法解一元二次方程必须将二次项系数化 为 1,然后两边加一次项系数一半的平方.

(2)公式法解一元二次方程必须首先将方程化为一般式确定
各项系数,然后计算并判断 b2-4ac 的符号,最后套入公式. (3) 因式分解法解一元二次方程需将方程化为 ab =0 的形 式,再降次求解.

考点 2

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
? ?

4.(2011 年广东汕头)若一元二次方

程 ax2+bx+c=0??a≠0?? 的两个实根为 x1,x2,则两根与方程系数之间有如下关系:x1+ b c x2=-a,x1· x2=a. 根据上述材料填空:已知 x1,x2 是方程 x2-4x-2=0 的两 1 1 个实数根,则x +x =_________. -2 1 2

5.(2010 年广东珠海)已知 x1=-1 是方程 x2+mx-5=0 的 一个根,求 m 的值及方程的另一根 x2. 解:由题意,得(-1) 2+(-1)×m-5=0. 解得 m=-4. 又∵x1· x2=-5,x1=-1,

∴方程的另一根 x2=5. 规律方法:运用一元二次方程根与系数的关系解题时,必
须首先将方程化为一般式确定各项系数,再用公式.求未知数

的系数,必须保证Δ=b2-4ac≥0 且 a≠0.

考点 3

列一元二次方程解应用题

例 1:(2010 年广东梅州)如图 2-1-4,东梅中学要在教学 楼后面的空地上用 40 米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物 园,矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆.设矩形 的宽为 x,面积为 y. (1)求 y 与 x 的函数关系式,并求自变量 x 的取值范围; (2)生物园的面积能否达到 210 平方米?说明理由.

图 2-1-4

解:(1)依题意得,矩形的长为 20-2x. y=x(40-2x)=-2x2+40x. ∵40-2x>0,∴0<x<20. (2)若能达到, 则令 y=210, 得-2x2+40x=210, 即 x2-20x +105=0, ∵Δ=b2-4ac=202-4×105<0, ∴该方程无实数根. 故生物园的面积不能达到 210 平方米.

6.(2012 年广东湛江)湛江市 2009 年平均房价为每平方米 4 000 元.连续两年增长后,2011 年平均房价达到每平方米 5 500 元,设这两年平均房价年平均增长率为 x,根据题意,下面所列 方程正确的是( D ) A.5 500(1+x)2=4 000 C.4 000(1-x)2=5 500 B.5 500(1-x)2=4 000 D.4 000(1+x)2=5 500

7.(2012 年广东佛山)某药品原价是 100 元,经连续两次降

价后,价格变为 64 元,如果每次降价的百分率是一样的,那么
每次降价的百分率是______ 20% .

8.(2012 年广东)据媒体报道,我国 2009 年公民出境旅游 总人数约 5 000 万人次,2011 年公民出境旅游总人数约 7 200 万 人次,若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增,请解 答下列问题: (1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率; (2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率,请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?

解:(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率 为 x. 根据题意,得 5 000(1+x)2=7 200. 解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2 (不合题意,舍去). 答:这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%. (2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率,则 2012 年我

国公民出境旅游总人数为 7 200(1+x)=7 200×120%=8 640 万
人次. 答:预测 2

012 年我国公民出境旅游总人数约 8 640 万人次.

规律方法:当涉及增长率问题时,解答的关键是正确理解 增长率的含义.一般地,若某种量原来是 a,每次以相同的增长 率(减少率)x 增长(或减少),则经过 n 次后的量便是 a(1+x)n[或

a(1-x)n].

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