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11.1全等三角形的判定(SSS)课件

发布时间:2013-09-24 08:54:26  

1. 什么叫全等三角形? 能够重合的两个三角形叫 全等三角形。 2.全等三角形有什么性质? 全等三角形的对应边相等,对应角相等
3.已知 ?ABC ≌ ?A'B' C' ,试找出其中相等的边与角
A

A'

B

C

B'

C'

因为?ABC ≌ ?A'B' C' ,所以
( )AB=A'B' (2)BC=B'C' (3)CA=C' A' 1
(4)?A=?A' (5)?B=?B' (6)?C=?C'

在?ABC和?A'B' C'中,有
( )AB=A'B' (2)BC=B'C' (3)CA=C' A' 1 (4)?A=?A ( )?B=?B (6)?C=?C 5
六个条件,可得到什么结论?
A

A'

B

C

B

'

C'

答:?ABC ≌ ?A'B' C'
即:三条边对应相等,三个角对应相等的两个 三角形全等。

A

A?

B

B? C

C?

?ABC 与 ?A?B?C? 满足上述六个条件中的一部 分是否能保证 ?ABC与 ?A?B?C? 全等呢?

一个条件可以吗?
两个条件可以吗?

一个条件可以吗?
1. 有一条边相等的两个三角形 2. 有一个角相等的两个三角形

不一定全等 不一定全等

结论: 有一个条件相等不能保证两个三角形全等.

探究活动 课本P6

两个条件可以吗?

1. 有两个角对应相等的两个三角形

不一定全等 不一定全等 2. 有两条边对应相等的两个三角形 不一定全等 3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形
300 0 30

60o

60o

4cm

300 6cm

30o 6cm

探究活动
你如 能果 说给 出出 有三 哪个 几条 种件 可画 能三 的角 情形 况, ?

三个条件呢?

1. 三个角;

2. 三条边; 3. 两边一角;
4. 两角一边。

探究活动

三个条件呢?

1. 有三个角对应相等的两个三角形

300 300

60o
60o

结论: 三个内角对应相等的三角形 不一定全等。

探究活动 三边相等的两个三角形会全等吗?
先任意画出一个?ABC,再画一个?A ' B'C ', 使A ' B'=AB,B'C '=BC ,C ' A '=CA . 把画好的
课本P6

?A ' B'C '剪下,放到?ABC上,它们全等吗?

画法:??????=?? 画线段 ? ? ;
2. 分别以B'、C '为圆心, 线段AB、AC为半径画弧, 两弧交于点A ';

你能得出什 么结论?

3. 连接线段A ' B'、A 'C' . 则ΔA' B'C'为所求作的三角形.

三边对应相等的两个三角形全等,简 写为“边边边”或“SSS”。 用上面的结论可以判定两个三角形全等. 判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明 三角形全等.

结 论

三边对应相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”)
A

A'

B

C

' B

C'

如何用符号语言来表达呢?

在?ABC和?A'B' C' 中 ' ' ∴ ∠A = ∠___ A' ? AB ? A B ? ∠B = ∠___ B' ' ' ? BC ? B C ∠C = ∠___ C' ? CA ? C' A ' ? ? ?ABC ≌ ?A'B' C' (SSS)

B

判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等。 结论:从这题的证明中可以看出,证明是由题 例1 已

知:如图,AB=AD,BC=CD, 设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推 求证:△ABC≌ 出结论正确的过程。 △ADC 分析:要证明△ ABC≌ △ ADC,首先看这两个三角 形的三条边是否对应相等。

证明:在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) BC=CD (已知 ) AC= AC ( 公共边 )
B

A D

∴ △ABC ≌ △ADC(SSS)

C

证明的书写步骤:
①准备条件: 证全等时要用的间接条件要先证好; ②三角形全等书写三步骤: 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论

例2 如图,△ABC是一个钢架,AB=AC, AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证: △ABD≌△ACD. (1) (2)∠BAD = ∠CAD.
证明:Q D是BC的中点, (2)由(1)得△ABD≌△ACD , A A ? BD=CD. ∴ ∠BAD= ∠CAD. 在?ABD和 ?ACD中,
? AB=AC, B ? ? BD=CD, ? ? AD=AD,

D

C

? . B ?ABD≌ ?ACD(SSS) D

C

课 本 P7- 8

已知∠AOB(如图),用直尺和圆规 作∠A’O’B’, 使∠A’O’B’= ∠AOB 。
A A’

O B

O’

B’

课 本 P8 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下:如图, AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动 角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合. 过角尺顶点 C的射线OC便是AOB的平分线.为什么?

解:在?CMO和?CNO中,
?OM=ON, ? ?CM =CN , ?CO =CO , ?
O

M

A

C
N

B

? ?CMO≌?CNO(SSS) . ? ?COM=?CON. ? OC是?AOB的平分线.

例3、已知∠BAC(如图),用直尺和圆规 作∠BAC的平分线AD,并说出该作法正 确的理由。 C

A

B

我们曾经做过这样的实验:将 三根木条钉成一个三角形木架,这 个三角形木架的形状和大小就不变 了,你现在能解释其中的道理吗?
思考: 你能用三角形的稳定性 来说明SSS公理吗? 三角形的三边长度固定,这个三 角形的形状大小就完全确定,这 个性质叫三角形的稳定性。

三角形的稳定性举例

如图,AB=AC,AE=AD,BD=CE, A 求证:△AEB ≌ △ ADC。
证明:∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED, 即BE=CD。 在AEB和ADC中,
B E D C

AB=AC
AE=AD

BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)

思 考
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、 B、 F在一条直线上,AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以 外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件? 解:要证明△ABC ≌△ FDE, A 还应该有AB=DF这个条件 ∵ DB是AB与DF的公共部分, 且AD=BF ∴ AD+DB=BF+DB 即 AB=DF
E D B

C

F

思 考
已知AC=FE,BC=DE,点A、D、 B、 F在一条直线上,AD=FB. 要用“边边边”证明 △ABC ≌△ FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以 外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?
证明: AD ? FB, Q ? AD ? DB ? FB ? DB, 即AB ? FD.

A

C

在?ABC和 ?FDB 中,
? AB

=FD , ? ? BC=DB, ? ? AC=FB , ? ?ABC≌ ?FDB (SSS) .

D B

E

F

练习1:如图,AB=AC,BD=CD,BH=CH,图中 有几组全等的三角形?它们全等的条件是什么?
解:有三组。 在△ABH和△ACH中, ∵AB=AC,BH=CH,AH=AH, ∴△ABH≌△ACH(SSS); 在△ABH和△ACH中, ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS); 在△ABH和△ACH中
B

A

D

∵BD=CD,BH=CH,DH=DH, ∴△DBH≌△DCH(SSS).

H

C

练习2
(1)如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等? 试说明理由。 A D
解: △ABC≌△DCB 理由如下: AB = CD AC = BD B △ABD≌ △DCB ( SSS ) A E C

BC = BC
(2)如图,D、F是线段BC上的两点,
AB=CE,AF=DE,要使△ABF≌△ECD , 还需要条件 BF=DC 或 BD=FC. B D F C

C

已知:如图1 ,AC=FE,AD=FB,BC=DE 求证:△ABC≌△FDE , 求证:∠C=∠E 求证:AB∥EF;DE∥BC 证明:∵ AD=FB ∴AB=FD(等式性质) 在△ABC和△FDE 中 AC=FE(已知) BC=DE(已知) AB=FD(已证) ∴△ABC≌△FDE(SSS)
A
D =


E ?

?

c
= B F


图1

(2)∵ △ABC≌△FDE(已证) ∴ ∠C=∠E (全等三角形的对应角相等)

? ?

已知:如图,AB=AC,DB=DC, 请说明∠B =∠C成立的理由
解:连接AD 在△ABD和△ACD中, AB=AC (已知) DB=DC (已知) AD=AD (公共边) ∴△ABD≌△ACD (SSS)
B

A

D C

∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等)

? ?

已知: 如图, 四边形ABCD中,AD=CB,AB=CD 求证: ∠A= ∠C。
D
4 2

C

A

1 3

B

分析:要证两角或两线段相等,常先证这两角或两线段 所在的两三角形全等,从而需构造全等三角形。

构造公共边是常添的辅助线

已知:AC=AD,BC=BD, 求证:AB是∠DAC的平分线. 证明:在△ABC和△ABD中 ∵ AC=AD( 已知 ) BC=BD( 已知 ) A ) 1 2

C B

AB=AB( 公共边

∴△ABC≌△ABD( SSS ) D ∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等) ∴AB是∠DAC的平分线 (角平分线定义)

练习3、如图,在四边形ABCD中, AB=CD, AD=CB, 求证:∠ A= ∠ C.

你能说明AB∥CD,AD∥BC吗?
?

证明:在△ABD和△CDB中

D B

C

AB=CD(已知) AD=CB(已知)
A

BD=DB (公共边) ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴ ∠ A=∠C (全等三角形的对应角相等)

补充练习: 如图,已知AB=CD,AD=CB,E、F分别是AB,CD 的中点,且DE=BF,说出下列判断成立的理由. ①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C 解: ①∵E、F分别是AB,CD的中点( 已知 ) 1 1 ∴AE= 2 AB CF= 2CD( 线段中点的定义) 又∵AB=CD ∴AE=CF D F C AD = CB AE= CF 在△ADE与△CBF中 A B E AB = CD
∴△ADE≌△CBF ( SSS ) ② ∵ △ADE≌△CBF ∴ ∠A=∠C ( 全等三角形 ) 对应角相等

D

16

如图所示(1),AB=CD,AD=BC,O为AC的中点, 过O点的直线分别与AD,BC相交于M,N,那么 ∠1和∠2有什么关系?请证明,将过O点的直线旋 转至图(2)(

3)的位置时,其他条件不变,那么 图(1)中的∠1和∠2的关系还成立吗?请证明。 N 2 M D C 1 M D C C O D 1 2 O O N A B A A 2 B B 1 N M

请同学们谈谈本节课的收获与体会
本节课你学到了什么? 发现了什么?
有什么收获? 还存在什么没有解决的问题?

小 结
1. 知道三角形三条边的长度怎样画三角形; 2. 三边对应相等的两个三角形全等

(简写为“边边边” 或“SSS”);
3. 初步学会理解证明的思路, 应用“边边边”证明两个三角形全等.

作业:
课本P15 习题11.2
第1、2题

课堂小结
1.边边边公理:有三边对应相等的两个三角形全等 简写成“边边边”(SSS) 2.边边边公理的发现过程所用到的数学方法(包括画 图、猜想、分析、归纳等.)

3.边边边公理的应用中所用到的数学方法:
证明线段(或角相等) 转化 所在的两个三角形全等. 用结论说明两个三角形全等需注意 1. 说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书 写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 证明线段(或角)

思 考 A
小明做了一个如图所 示的风筝,他想去验证 ∠BAC与∠DAC是否相等, B 但手头却只有一把足够长 的尺子。你能帮助他想个 方法吗?说明你这样做的 理由。

D

C

探索与思考
小明有一块“飞镖”,想知道∠B和∠C 是否相等,他没有量角器,只有刻度尺, 你能帮小明想一个办法吗? 说明你的做法的理由。 C

A

D

B

做一做
取出若干根的木条,把它们分别做成三角形和四边 你发现什么? 形框架,并拉动它们。 三角形的大小和形状是固定不变的,而四边形 的形状会改变。 只要三角形三边的长度确定了,这个三形的形状 和大小就确定,三角形的这个性质叫 三角形的稳定性。

试一试
四边形不具有稳定性,你能想出什么方法 让它们的形状不发生改变吗?

已知三角形三条边分别是4cm,5cm, 7cm,画出这个三角形


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