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11.3角平分线的性质1精品课件

发布时间:2013-09-24 08:54:26  

角平分线的定义:
从一个角的顶点出发,把这个角分成 相等的两个角的射线叫做这个角的角

平分线。

B O A

C

B
O A

C

∠AOC =∠BOC ∠AOB =2∠AOC =2∠BOC

= =

在△ADC和 △ABC中, AD= AB DC=BC

AC=AC

(SSS) ∴△ADC ≌ △ABC ∴ ∠DAE=∠DAE

尺规作图
?用尺规作角的平分线.

A D C

已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:
?1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.

?2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长

O

E

B

为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
?3.作射线OC.

则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.

老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法 要确实掌握.

角平分线有什么性质呢?
OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点,
1. 操 作 测 量 : 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 , 分 别 过 点 P 作 PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足, 测量PD、PE的 长.将三次数据填入下表:
A D p O E B C

PD
第一次 第二次 第三次

PE

2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,

PD=PE 写出结论:____________

结论:
角平分线的性质:角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
题设:一个点在一个角的平分线上 结论:它到角的两边的距离相等
已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上, PD ⊥OA ,PE ⊥OB,垂足分别是D、E. A 求证:PD=PE.
D C P O B E

已知:∠AOC= ∠BOC ,点P在OC上,PD⊥OA于D, PE⊥OB于E 求证: PD=PE 证明: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
D
C

A

在△POD和△PEO中
∠ PDO=∠PEO ∠ AOC=∠BOC OP=OP ∴ △PDO≌△PEO(AAS) ∴ PD=PE
O E

P
B

角平分线性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线, 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE
D C P O A

(角的平分线上的点到角的两边距离相等)

E

B

1 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 PE=__________cm. 4
A D E O C P

B

例1:如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分 ∠BAC交BC于点D,若BC=8,BD=5,则点 D到AB的距离为?
A E
E B

C

D

例2:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P。求证:点P到三角形三边的距离均相等。

A F N P G M E

B

C

例3:在△OAB中,OE是∠ AOB的角平分线, 且EA=EB,EC、ED分别垂直OA,OB,垂足 为C,D,求证:AC=BD。
O

C A E

D B

1、如图,OC平分∠AOB, PM⊥OB于点M, PN⊥OA于点N, △POM的面积为6,OM=6, 2 则PN=_______。
N
0 A

P
M

C B

2、如图:△ABC中, ∠C=900,AD是 ∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上, BD=DF,求证:CF=EB
A

F

E

C

D

B

3、如图,△ABC中,∠C=90°,AC=CB, AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E。

求证:△DBE的周长等于AB。
C D

A

E

B

思考:

如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么?
E A O P C

D

B

PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.

如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?

练习1:如图,△ABC的∠B的外角的平
分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于 点P.求证:点P到三边AB,BC,CA 所在直线的距离相等.
C F H




B G





练习2: 如图,求作一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B

P
C● O

D●

A

知识拓展
如图,在△ABC中, A AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB,垂足为E。 (1)已知CD=4cm,求 AC的长; C (2)求证:AB=AC+CD

E D

B

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