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11.3角平分线的性质(第1课时)

发布时间:2013-09-24 08:54:28  

A M C

O

N

B

解决问题

问题1:
如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路 和公路距离相等, 离公路与铁路交叉处500米,这 个集贸市场应建在何处?(比例尺为1︰20000)

s

探究:
观察下面简易的平分角的 仪器,回答下面的问题:
A

B

E C

问题:
(1) 说说这个仪器的构造特点.

D

(2) 这个仪器可以看成是一个什么图形,你能根 据实物画出几何图形吗? (3) 这个图形是由几个三角形组成的?它们有 什么关系?为什么?

证明 :
在△ADC和△ABC 中 AB=AD(已知) AC=AC(公共边相等) DC=BC(已知) ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC(全等三角形对应角相等) ∴ AE平分∠BAD(角平分线定义)

已知: ∠AOB(如图) 求作: ∠AOB的角平分线OC. 作法: 1、以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N。 2、分别以M、N为圆心,大于 2 MN 的长为半径作弧,两 弧在∠AOB内部交于点C。 3、作射线OC,射线OC即为所求。 A 证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中 C OM=ON M MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) B O N ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠AOB的角平分线.
1

观察折纸思考问题:
D

A

1、折痕PE和PD与角的两 O 边OA、OB有什么关系? PD和PE相等吗? E 2、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗? 3、由此你能得出关于角平分线的结论吗?并证 明你的结论。

P

C

B

角平分线性质: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知:(如图)OC平分∠AOB, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB

求证:PD=PE 证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点(已知) ∴∠DOP=∠BOP(角平分线定义) ∵PD⊥OA,PE⊥OB (已知)
∴∠ODP=∠OEP=90°(垂直的定义) 在△OPD和△OPE 中 ∠DOP=∠BOP (已证) ∠ODP=∠OEP (已证) OP=OP (已知) ∴ △ADC≌△ABC (AAS) ∴PD=PE(全等三角形对应边相等)

A D P C

O

E

B

几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).

问题: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 几何语言:
(如图)P是∠AOB 内的一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E, PD=PE OP是∠AOB的平分线吗?证明你的结论. 证明: ∵PD⊥OA于D,PE⊥OB于E, ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△OPD和Rt△OPE 中, O AP=AP(公共边相等) PD=PE(已知) ∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE (HL) ∴∠DOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ∴ OP平分∠AOB(角平分线定义) D P A

E

B

结论: 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 几何语言:
∵P是∠AOB 内的一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E且PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线 (到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)

解: 作夹角的角平分线OC,截取 OD=2.5cm ,D即为所求。

s

D

C

应用与提高

已知:如图,△ABC

中,∠C=90°,AD是△ABC 的角平分线,DE⊥AB于E,F在AC上BD=DF, A 求证:CF=EB。 证明: ∵ AD平分∠CAB DE⊥AB,∠C=90°(已知) E F ∴ CD=DE (角平分线的性质) C D 在Rt△CDF和Rt△EDB中, CD=DE (已证) DF=DB (已知) ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB (全等三角形对应边相等)

B

提高与拓展
A

1、如图,连接角平分仪的 边BD、AC,那么AC与BD 有什么关系?为什么?

B

D

C

2、从集合的角度给角平分线下定义是什么样的?

角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。

小结:这节课我们学到了什么?在生活中有那
些用到了我们今天学到的知识。
角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。

作业:课堂内外 思考: 1、到一三角形三边距离相等的点有几个?画图说明.
2、求证:三角形的三条平分线交于一点。

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