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华师大九年级(下)数学教

发布时间:2014-02-07 13:48:55  

九年级(下)

数学导学案

(华东师大版)

九年级数学备课组

二〇一四年二月

九年级下册数学教学工作计划

一、 指导思想:

深入推进和贯彻《初中数学新课程标准》的精神,以学生发展为本,以改变学习方式为目的,以培养高素质的人才为目标,培养学生创新精神和实践能力为重点的素质教育,探索有效教学的新模式。

二、学生基本情况

所带九年级学生上学期成绩不理想,两极分化严重。个别学生不重视学习,学习习惯较差,学习积极性有待提高。少数学生自制能力较差,对自己要求不严,甚至自暴自弃。这些都需要针对不同情况采取相应措施,耐心教育。

三、 教材分析:

九年级数学(华师版),具有如下几个特点:

1、教材注重引入二次函数概念的现实背景,让学生感受其实际意义,激发学生的学习兴趣;并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。

2、教材注重与学生已有知识的联系,引导学生与一次函数的学习联系、比较,经历对知识拓展、归纳、更新的过程。

3、教材注意内容的呈现方式,让学生参与知识的发生、发展过程。注重在具体二次函数的研究中掌握方法,理解原理(如图象的变换)。

4、 教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化,提供学生进行探究性学习的题材,重视学生对知识综合应用能力的培养。

四、 教学目标:

1、通过学习交流、合作、讨论的方式,积极探索,激发学生的学习兴趣,改进学生的学习方式,提高学习质量,逐步形成正确地数学价值观,使学生的情感得到发展。

2、掌握二次函数的基本概念、利用二次函数解决实际问题、理解点、直线、圆与圆的位置关系,弧长和扇形的面积,圆锥的侧面展开图,平行投影和中心投影,三视图。掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能,培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力,使学生逐步学会正确、合理地进行运算,逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。提高学生学习数学的兴趣,逐步培养学生具有良好的学习习惯,实事求是的态度。掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。

3、经历探索过程,让学生进一步体会数学来源与实践又反过来作用于实践。通过探索、学习,使学生逐步学会正确、合理地进行运算,逐步学会观察、分析、综合、抽象,会用归纳、演绎、类比进行简单地推理。围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行知识梳理,围绕初中数学“四大块”主要内容进行专题复习,适时的进行分层教学,面向全体学生、培养全体学生、发展全体学生。

五、教学安排

1

六、教学工作措施

1、认真学习钻研新课标,通盘熟悉初中数学教材及教学目标,认真备好每一堂课,精心制作总复习计划;

2、认真上好每一堂课,抓住关键点,分散难点,突出重点,在培养能力上下工夫;

3、注重课后反思,及时的将一节课的得失记录下来,不断积累教学经验;加强学校教师与家长、社会的联系,共同努力提高学生的学习成绩;

4、积极与其他教师沟通,加强教研教改,提高教学水平;经常听取学生良好的合理化建议;

5、注重教学中的自主学习、合作学习、探究学习等学习方式的引导;认真开展课内、课外活动,激发学生的学习兴趣。

2 2014年2月17日

28.1.1圆的认识

导学目标 1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念,

2.让学生深刻认识圆中的基本概念。

导学重点

导学难点

导学过程

(一)情境导入:圆是如何形成的?

请同学们画一个圆,并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图,线段OA绕着它圆中的基本概念的认识。 对等弧概念的理解。 固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形。

同学们想一想,如何在操场上画出一个很大的圆?说说你的方法。

由以上的画圆和解答问题的过程中,让同学们思考圆的位置是由什么决定的?

而大小又是由谁决定的?(圆的位置由圆心决定,圆的大小由半径长度决定)

(二)问题:

据统计,某个学校的同学上学方式是,有50%的同学步行上学,有20%的同学坐公共汽车上学,其他方式上学的同学有30%,请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。

我们是用圆规画出一个圆,再将圆划分成一个个扇形,右上图28.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。

如图28.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径,线段AB为直径,.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”,记为“⊙O”。

线段AB、BC、AC都是圆O中的弦,曲线BC、BAC都是圆中的弧,分别记为BC、BAC,其中像弧BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧,

像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

结合上面的扇形统计图,进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 ︵︵︵︵ 图

28.1.1 3

三、课堂练习

1、直径是弦吗?弦是直径吗?

2、半圆是弧吗?弧是半圆吗?

3、半径相等的两个圆是等圆,而两段弧相等需要什么条件呢?

4、比较右图中的三条弧,先估计它们所在圆的半径的大小关系,再用圆规验证你的结论是否正确。

5

6、直径是圆中最长的弦吗?为什么?

(四)课后小结

小结本节课我们认识了圆中的一些元素,同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。 课后作业:

课后反思:

28.1.2圆的对称性

导学目标:

1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系,

2.能运用这些关系解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

导学重点:由实验得到同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系。

导学难点:运用同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。

导学过程:

(一)情境导入

要同学们画两个等圆,并把其中一个圆剪下,让两个圆的圆心重合,使得其中一个圆绕着圆心旋转,可以发现,两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠,圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

由以上实验,同学们发现圆是中心对称图形吗?对称中心是哪一点?圆不仅是中心对称圆形,而且还是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

(二)实践与探索1

(1)、同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 4

28.1.3

28.1.4

实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度,得到图28.1.4中的图形,同学们可以通过比较前后两个图形,发现?AOB??AOB,AB?AB,?AB??AB。

实质上,?AOB确定了扇形AOB的大小,所以,在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等。

问题:在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦是否相等呢?

在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧是否相等呢? (三)应用与拓展

思考:如图,在一个半径为6米的圆形花坛里,准备种植六种不同颜色的花卉,要求每种花卉的种植面积相等,请你帮助设计种植方案。 (2)如图28.1.5,在⊙O中,AC?BC,?1?45?,求?2的度数。

(3)如图,在⊙O中,AB=AC,∠B=70°.求∠C度数.

(4)如图,AB是直径,BC=CD=DE,∠BOC=40°,求∠AOE的度数

(四)课后小结

(第4题)

28.1.5

(第3题

)

本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形,而且还是轴对称图形,而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质,即

(1)同一个圆中,相等的圆心角所对弧相等,所对的弦相等。

5

(2)在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦相等。

(3)在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧相等。

课后作业:

课后反思:

28.1.2圆的对称性(2)

导学目标

1.知道圆是轴对称图形,并会用它推导出垂径定理。

2.能运用垂径定理解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

导学重点: 知道圆是轴对称图形,并会用它推导出垂径定理

导学难点: 能运用垂径定理解决问题

导学过程

(一)实验情境导入

我们知道圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,由此我们可以如图28.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.

28.1.6

试一试

如图如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P,再将纸片沿着直径CD对折,比较AP与PB、AC与CB,你能发现什么结论?

你的结论是:_________________________________________

________________________________________________

这就是我们这节课要研究的问题。

(二)应用与拓展

例1、 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于M

1、BC=1 cm,AD=4 cm,那么BD=______cm,AC=_________cm,⊙︵︵︵︵︵︵

O的周长为___________cm.

6

2、若CD=8,AB=10,则OM=

3、若BM=1,CD=8,则OC=

例2、如图已知以点O为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于

点C、D(1)试说明线段AC与BD的大小关系。

(2)若AB=8,CD=4,求圆环的面积。

例3、在直径为10的圆柱形油桶内装入一些油后,截面如图示,如果油面

宽AB=8,那么油的最大深度是

(三)课后小结

课后作业:

课后反思:

28.1.3圆周角

导学目标:

1.知道什么样的角是圆周角

2.了解圆周角和圆心角的关系,直径所对的圆周角的特征

3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题

4.通过对圆心角和圆周角关系的探索,培养学生运用已有知识,进行实验、猜想、论证,从而得到新知。进一步体会分类讨论的思想。

导学重点:1、了解圆周角和圆心角的关系,直径所对的圆周角的特征

2、能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题

导学难点:对圆心角和圆周角关系的探索,分类思想的应用。

导学过程:

(一)情境导入

如下图,同学们能找到圆心角吗?它具有什么样的特征?(顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角),今天我们要学习圆中的另一种特殊的角,它的名称叫做圆周角。

如下图,同学们能找到圆心角吗?它具有什么样的特征?(顶点在圆心,

两边与圆相交的角 7

叫做圆心角),今天我们要学习圆中的另一种特殊的角,它的名称叫做圆周角。

(二)实践与探索1:圆周角

究竟什么样的角是圆周角呢?像图(3)中的解就叫做圆周角,而图(2)、(4)、(5)中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。(顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角)练习:试找出图中所有相等的圆周角。

(三)实践与探索2: 圆周角的度数

(一)探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度?而90?的圆周角所对的弦是否是直径 如图28.1.9,线段AB是⊙O的直径,点C是⊙O上任意一点(除点A、B), 那 么,∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看,∠ACB会是怎么样的角?为什么呢?

启发学生用量角器量出?ACB的度数,而后让同学们再画几个直径AB所对的 圆周角,并测量出它们的度数,通过测量,同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90?(或直角),进而给出严谨的说明。

证明:因为OA=OB=OC,所以△AOC、△BOC都是等腰三角形,所以∠OAC=∠OCA,∠OBC

28.1.9

(第1题)

180?

=∠OCB. 又 ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°,所以 ∠ACB=∠OCA+∠OCB=

2

=90°.因此,不管点C在⊙O上何处(除点A、B),∠ACB总等于90°,即

半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径

(二)探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系

1、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗?

(2) 分别量出图28.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数,比较一下,你发现什么?

我们可以发现,圆周角的度数没有变化.

并且圆周角的度数恰好为同

28.1.10

8

弧所对的圆心角的度数的一半。

由上述操作可以猜想:在一个圆中,一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

为了验证这个猜想,如图28.1.11所示,可将圆对折,使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C,这时可能出现三种情况:(1) 折痕是圆周角的一条边,(2) 折痕在圆周角的内部,

(3) 折痕在圆周角的外部。

(三)应用与拓展

1、在同一个圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等吗?为什么?相等的圆周角所 对的弧相等吗,为什么?

2、你能找出右图中相等的圆周角吗?

3、这是一个圆形的零件,你能告诉我,它的圆心的位置吗?你有什么简捷的办 法?

1、 如图,如图28.1.12,AB是⊙O的直径,∠A=80°.求∠ABC的度数.

在圆中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°,

求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.

28.1.12 图

28.1.11 (四)课后小结 本节课我们一同探究了同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角

等于这条弧所对的圆心角的一半;由这个结论进一步得到:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧相等;半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论,希望同学们通过复习,记住这些知识,并能做到灵活应用他们解决相关问题。

课后作业:课本43页习题6、7

课后反思:

9

28.2.1点与圆的位置关系

导学目标:

1.了解点与圆的三种位置关系,能够用数量关系来判断点与圆的位置关系

2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径

3.渗透方程思想,分类讨论思想。

导学重点:用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

导学难点:运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。

导学过程:

(一)情境导入

同学们看过奥运会的射击比赛吗?射击的靶子是由许多圆组成的,射

击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的;右图是一位运动员射击10发

子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗?请同学们算一算。

(击中最里面的圆的成绩为10环,依次为9、8、?、1环)

这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系,如何判断点与圆的位置关

系呢?这就是本节课研究的课题。

(二)实践与探索1:点与圆的位置关系

我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径,若点在圆上,那么这个点到圆心的距 离等于半径,若点在圆外,那么这个点到圆心的距离大于半径,若点在圆内,那么这个点到圆心的距离小于半径。

如图28.2.1,设⊙O的半径为r,A点在圆内,B点在圆上,C点在圆外,那OA<r, OB=r, OC>r.反过来也成立,即

若点A在⊙O内

?

r

若点A在⊙O上OA

?r

若点A在⊙O外OA?r

思考与练习

1、⊙O的半径r?5cm,圆心O到直线的AB距离d?OD?3cm。在直线AB上有P、Q、R三点,且有PD?4cm,QD?4cm,RD?4cm。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的? 图28.2.1

10

2、Rt?ABC中,?C?90?,CD?AB,AB?13,AC?5,对C点为圆心,半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的?

(三)实践与探索2:不在一条直线上的三点确定一个圆 60为13

问题与思考:平面上有一点A,经过A点的圆有几个?圆心在哪里?平面上有两点A、B,经过A、B点的圆有几个?圆心在哪里?平面上有三点A、B、C,经过A、B、C三点的圆有几个?圆心在哪里?。

28.2.4

23.2.2

23.2.3

从以上的图形可以看到,经过平面上一点的圆有无数个,这些圆的圆心分布在整个平面;经过平面上两点的圆也有无数个,这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、

B、C三点能否画圆呢?同学们想一想,画圆的要素是什么?(圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小),所以关键的问题是定其加以和半径。

如图28.2.4,如果A、B、C三点不在一条直线上,那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上,而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上,此时,这两条垂直平分线一定相交,设交点为O,则OA=OB=OC,于是以O为圆心,OA为半径画圆,便可画出经过A、B、C三点的圆.

思考:如果A、B、C三点在一条直线上,能画出经过三点的圆吗?为什么?

即有:不在同一条直线上的三个点确定一个圆

也就是说,经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个.经过三角形三个顶点 11

的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。

思考:随意画出四点,其中任何三点都不在同一条直线上,是否一定可以画一个圆经过这四点?请举例说明。

(四)应用与拓展

例1、如图,已知Rt?ABC中,?C?90?,若AC?5cm,

B例1A CBC?12cm,求ΔABC的外接圆半径。 解:略

例2、如图,已知等边三角形ABC中,边长为6cm,求它的外接圆半径。

解:略

B

例3、如图,等腰?ABC中,AB?AC?13cm,BC?10cm,求?ABC外接圆的半径。

BAAODEC例2OC

例3D

(四)课后小结 本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆,求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径,在求解等腰三角形外接圆半径时,运用了方程的思想,希望同学们能够掌握这种方法,领会其思想。

课后作业:习题1、2、3、4

课后反思:

12

28.2.2直线与圆的位置关系

导学目标1、使学生掌握直线与圆的位置关系,能用数量来判断直线与圆的位置关系。

2、进一步体会分类讨论思想。

导学重点

导学难点

导学过程

(一)情境导入:用移动的观点认识直线与圆的位置关系

1、同学们也许看过海上日出,如右图中,如果我们把太阳看作一个圆,那么太阳在升起的过程中,它和海平面就有右图中的三种位置关系。

2、请同学在纸上画一条直线,把硬币的边缘看作圆,在纸上移动硬币,你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?

(二)实验与探究1:

数量关系判断直线与圆的位置关系 从以上的两个例子,可以看到,直线与圆的位置关系只有以下三种,如下图所示:如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离,如图28.2.6(1)所示. 如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,如图28.2.6(2)所示.此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,如图28.2.6

(3)所示.此时这条直线叫做圆的割线.

如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢?

图28.2.6 用数量关系(圆心到直线的距离)判断直线与圆的位置关系 用数量关系(圆心到直线的距离)判断直线与圆的位置关系

13

如上图,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的

如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢?

如上图,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,从图中可以看出:

若d?

r直线

l与⊙

O相离;

d?r

直线l与⊙O相切;

若d?r直线l与⊙O相交;

所以,若要判断圆与直线的位置关系,必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小,由比较的结果得出结论。

(三)应用与拓展

练习1、已知圆的半径等于5厘米,圆心到直线l的距离是:

(1)4厘米;(2)5厘米;(3)6厘米.

直线l和圆分别有几个公共点?分别说出直线l与圆的位置关系。

练习2、已知圆的半径等于10厘米,直线和圆只有一个公共点,求圆心到直线的距离. 练习3、如果⊙O的直径为10厘米,圆心O到直线AB的距离为10厘米,那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系?

例1、RtΔABC中,∠C=90,AC=3,BC=4,CM⊥AB于M,以C为圆心,CM为半径作⊙C,则点A、B、C、AB的中点E与⊙C的位置关系分别是、、、。

解略 0

(四)课后小结 本节课我们学习了直线与圆的位置关系,当我们判断直线与圆的位置关系时,应该用数量关系(圆心到直线的距离)来体现,即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小,从而断定是哪种关系。

若d?r直线l与⊙O相离;

若d?r直线l与⊙O相切;

若d?r直线l与⊙O相交;

习题5、6、7

课后作业:

课后反思:

14

28.2.3切线(1)

导学目标:1、使学生掌握切线的识别方法,并能初步运用它解决有关问题;2、通过切线识别方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力

导学重点:切线的识别方法

导学难点:方法的理解及实际运用

导学过程:

(一)复习情境导入:1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系.

2、请学生判断直线和圆的位置关系.

学生判断的过程,提问:你是怎样判断出图中的直线和圆相切的?根据学生的回答,继续提出问题:如何界定直线与圆是否只有一个公共点?教师指出,根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线,但有时使用定义识别很不方便,为此我们还要学习识别切线的其它方法.(板书课题)

(二)实践与探索1:圆的切线的判断方法 1、由上面的复习,我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.

2、当然,我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离d与半径r之间的关系来判断直线与圆是否相切,即:当d?r时,直线与圆的位置关系是相切.以此作为识别切线的方法2——数量关系法:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.

3、实验:作⊙O的半径OA,过A作l⊥OA可以发现:(1)直线l经过半径OA的外端点A;

(2)直线l垂直于半径OA.这样我们就得到了从位置上来判

断直线是圆的切线的方法3——位置关系法:经过半径的外端

且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

三、课堂练习

思考:现在,任意给定一个圆,你能不能作出圆的切线?

应该如何作?

请学生回顾作图过程,切线l是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出:①经过半径外端;②垂直于这条半径.

请学生继续思考:这两个条件缺少一个行不行? (学生画出反例图)

15

(图1) (图2) 图(3)

图(1)中直线l经过半径外端,但不与半径垂直; 图(2)中直线l与半径垂直,但不经过半径外端. 从以上两个反例可以看出,只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.

最后引导学生分析,方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的,只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式.

(四)应用与拓展:

例1、如图,已知直线AB经过⊙O上的点A,并且AB=OA,?OBA=45?,直线AB是⊙O的切

线吗?为什么?

例2、如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,?BAD=?B=30?,边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗?为什么?

分析:欲证BD是⊙O的切线,由于BD过圆上点D,若连结OD,则BD过

半径OD的外端,因此只需证明BD⊥OD,因OA=OD,?BAD=?B,易证BD

⊥OD.

教师板演,给出解答过程及格式.

课堂练习:课本练习1-4

(四)课后小结 识别一条直线是圆的切线,有三种方法:

(1)根据切线定义判定,即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;

(2)根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线;

(3)根据直线的位置关系来判定,即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线, 说明一条直线是圆的切线,常常需要作辅助线,如果已知直线过圆上某一点,则作出过 这一点的半径,证明直线垂直于半径即可(如例2).

课后作业:

课后反思:

16

28.2.4切线(2)

导学目标:通过探究,使学生发现、掌握切线长定理,并初步长定理,并初步学会应用切线长定理解决问题,同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法,能用内心的性质解决问题。

导学重点:切线长定理及其应用,三角形的内切圆的画法和内心的性质。 导学难点:三角形的内心及其半径的确定。 导学过程

(一)复习导入:

请同学们回顾一下,如何判断一条直线是圆的切线?圆的切线具有什么性质?(经过半

径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径。) 你能说明以下这个问题?如右图所示,PA是?BAC的平分线,AB是⊙O的切线,切点E,那么AC是⊙O的切线吗?为什么?

(二)实践与探索 问题1、从圆外一点可以作圆的几条切线?请同学们画一画。

2、请问:这一点与切点的两条线段的长度相等吗?为什么?

3、切线长的定义是什么? 通过以上几个问题的解决,使同学们得出以下的结论: 从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等。这一点与圆心的连线 平分两条切线的夹角。

B

(三)拓展与应用 例:右图,PA、PB是,切点分别是A、B,直线EF也是⊙O的切线,切点为P,交PA、PB为E、F点,已知PA?12cm,?P?70?,(1)求?PEF的周长;(2)求?EOF的度数。 解:(1)连结PA、PB、EF是⊙O的切线

所以PA?PB,EA?EQ,FQ?FB

F

B

所以?PEF的周长?OE?EP?PF?FB?PA?PB?24cm (2)因为PA、PB、EF是⊙O的切线

所以PA?OA,PB?OB,EF?OQ

图23.2.11

?AEO??QEO,?QFO??BFO

1

所以?AOB?180???P?110?, ?EOF??AOB?55?

2

17

(四)课后小结

课后作业:

课后反思:

28.2.5圆与圆的位置关系

导学目标 使学生了解圆与圆位置关系的定义,掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。 导学重点 用数量关系识别圆与圆的位置关系

导学难点 用数量关系识别圆与圆的位置关系

导学过程

(一)情境导入:

在现实生活中,圆与圆有不同的位置关系,如下图所示:

转轮

奥运会五环

圆与圆的位置关系除了以上几种外,还有其他的位置关系吗?我们如何判断圆与圆的位置关系呢?这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。

(二)实践与探索:

圆与圆的位置关系 请同学们在纸上画一个圆,把一枚硬币当作另一个圆,纸上移动这枚硬币,观察两圆的位置关系和公共点的个数。

如图23.2.14(1)、(2)、(3)所示,两个圆

没有公共点,那么就说两个圆相离,其中(1)

又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含。(3)中

两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心

圆。如果两个圆只有一个公共点,那么就说

这两个圆相切,如图23.2.14(4)、(5)所

18 图

23.2.14

示.其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切。如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图23.2.14(6)所示。

(三)实践与探索:用数量关系识别两圆的位置关系 思考:如果两圆的半径分别为3和5,圆心距(两圆圆心的距离)d为9,你能确定他们的位置关系吗?若圆心距d分别为8、6、4、2、1、0时,它们的位置关系又如何呢?

利用以上的思考题让同学们画图或想象,概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。

(1)两圆外离?d?R?r;

(2)两圆外切?d?R?r;

(3)两圆外离?R?r?d?R?r;

(4)两圆外离?d?R?r;

(5)两圆外离?0?d?R?r;

为了使学生对两圆的位置关系用数量关系体现有更深刻的理解以及更牢的记忆,教师可有以下数轴的形式让学生加以理解。

内含切相交外

切外离

要判断两圆的位置关系,要牢牢抓住两个特殊点,即外切和内切两点,当圆心距刚好等于两圆的半径和时,两圆外切,等于两圆的半径差时,两圆内切。若圆心距处于半径和与半径差之间时,两圆相交,大于两圆半径和时,两圆外离,小于两圆半径差时

(四)应用与拓展 例1、已知⊙A、⊙B相切,圆心距为10 cm,其中⊙A的半径为4 cm,求⊙B的半径。

分析:两圆相切,有可能两圆外切,也有可能两圆内切,所以⊙B的半径就有两种情况。

解 设⊙B的半径为R.

(1) 如果两圆外切,那么d=10=4+R,R=6.

(2) 如果两圆内切,那么d=|R-4|=10,R=-6(舍去),R=14.

19

所以⊙B的半径为6 cm或14 cm

例2、两圆的半径的比为2:3,内切时的圆心距等于8cm,那么这两圆相交时圆心距的范围是多少?

解:设其中一个圆的半径为2r,则另一个圆的半径为3r因为内切时圆心距等于8所以

课后小3r?2r?8所以r?8当两圆相交时,圆心距的取值范围是8?d?40(cm) (五)

结 就好象识别点与圆、直线与圆的位置关系一样,这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时,关系式比较多,也难于忘记,如果同学们能够掌握老师上课时讲的用数轴来体现圆与圆的位置关系,理解起来就会更深刻,记忆也会更容易。

课后作业:习题8、9

课后反思:

28.3.1弧长和扇形的面积

导学目标 :认识扇形,会计算弧长和扇形的面积,通过弧长和扇形面积的发现与推导,培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。

导学重点 :弧长和扇形面积公式,准确计算弧长和扇形的面积。

导学难点 :运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。

导学过程 :

(一)情境与探究1:弧长公式

如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨的半径为100米,圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗?(取3.14)我们容易看出这段铁轨是圆周长的

度l≈

1,所以铁轨的长42?3?100=157.0(米). 4图

23.3.1 问题:上面求的是90?的圆心角所对的弧长,若圆心角为n?,如何计算它所对的弧长呢? 请同学们计算半径为3cm,圆心角分别为180?、90?、45?、1?、n?所对的弧长。

等待同学们计算完毕,与同学们一起总结出弧长公式(这里关键是1?圆心角所对的弧长是多少,进而求出

n?的圆心角所对的弧长。)

弧长的计算公式为 BABB

20

l?nn?r?2?r?360180

练习:已知圆弧的半径为50厘米,圆心角为60°,求此圆弧的长度。 (二)情境与探究2:扇形的面积。

如图23.3.3,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫

做扇形

问:右图中扇形有几个?

同求弧长的思维一样,要求扇形的面积,应思考圆心角为1?的扇形面积圆

面积的几分之几?进而求出圆心角n的扇形面积。

如果设圆心角是n°的扇形面积为S,圆的半径为r,那么扇形的面积为

n?r2n?rr1S????lr36018022.

因此扇形面积的计算公式为

n?r21S?S?lr360 或2

练习:1、如果扇形的圆心角是230°,那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________;

2

2、扇形的面积是它所在圆的面积的3,这个扇形的圆心角的度数是_________°.

3、扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形的弧长是_____________

(三)应用与拓展

例1如图23.3.5,圆心角为60°的扇形的半径为10厘米,求这个扇形的面积和周长.(π≈3.14)

例2、右图是某工件形状,圆弧BC的度数为60?,AB?6cm,点B到点C的距离等于AB,图

23.3.5

?BAC?30?,求工件的面积。

21

(四)课后小结 本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式,一方面,要理解公式的由来,另一方面,能够应用它们计算有关问题,在计算力求准确无误。

课后作业:习题1、2

课后反思:

28.3.2圆锥的侧面积和全面积

导学目标:通过实验使学生知道圆锥的侧面积展开图是扇形,知道圆锥各部分的名称,能够计算圆锥的侧面积和全面积。

导学重点:圆锥的侧面展开图,计算圆锥的侧面积和全面积。

导学难点:圆锥的侧面展开图,计算圆锥的侧面积和全面积。

导学过程:

(一)情境探究:由具体的模型认识圆锥的侧面展开图,认识圆锥各个部分的名称:把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开,让学生观察圆锥的侧面展开图,学生容易看出,圆锥的侧面展开图是一个扇形。如图 23.3.6,我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线,连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高,如图中a,而h就是圆锥的高。

问题:圆锥的母线有几条?

(二)实践与探索 : 圆锥的侧面积和全面积的计算方法

问题;1、沿着圆锥的母线,把一个圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系?

2、圆锥侧面展开图是扇形,这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?

待学生思考后加以阐述。

圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长,圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积,而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。 图

23.3.6

22

23.3.7

(三)应用与拓展:

例1、一个圆锥形零件的母线长为a,底面的半径为r,求这个圆锥形零件的侧面积和全面积.

解 圆锥的侧面展开后是一个扇形,该扇形的半径为a,扇形的弧长为2πr,所以

1

S侧=2×2πr×a=πra;

S底=πr;

S=πra+πr.

答:这个圆锥形零件的侧面积为πra,全面积为πra+πr

(难)例2、已知:在Rt?ABC中,?C?90?,AB?13cm,BC?5cm,求以AB为轴

旋转一周所得到的几何体的全面积。

分析:以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体,

因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。

解:过C点作CD?AB,垂足为D点因为三角形ABC是Rt?ABC,?C?90?,222AB?13cm,BC?5cm,

AC?BC5?126060120?所以AC?12cmCD?底面周长为2?? ???1313AB1313

1120?1120?1020?所以S全???5???2?(cm)2 21321313

1020?答:这个几何体的全面积为(cm)2 13

(四)课后小结 本节课我们认识了圆锥的侧面展开图,学会计算圆锥的侧面ADBC

积和全面积,在认识圆锥的侧面积展开图时,应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径,这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。

课后作业:习题3、4

课后反思:

23

圆复习课

导学目标:

1、解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系。

2、握圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特征;会利用垂径定理解题;会判定点与圆的位置关系。

3、深入理解“转化”、“分类讨论”的数学思想,并培养自主探究积极参与的学习习惯。 导学重点:

1、解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系。

3、握圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特征;会利用垂径定理解题;会判定点与 导学难点:

握圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特征;会利用垂径定理解题;会判定点与

导学过程:

(一)题组探究复习回顾旧知,并知识建构。

先回顾旧知,再抢答。并互相补充知识点,进一步完善知识结构。相对应的练习题应指导学生说出相应的知识点及思路。

基础练习:

1、观察下图,回答问题:写出

(1)一条直径 四条半径 (2)三条弦 四个圆周角 (3)三个圆心角 一条优弧 2、在⊙O中,AC=BD,∠1=45°,求∠2的度数.

第2图

(第1题

)

(第4题)

(第3、6题)

3、如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,AB、CD相交于点E,∠COD=100°,则∠COE=

24

∠DOE=

4、如图,∠A是⊙O的圆周角,∠A=40°,则∠OBC的度数 5、 已知圆的半径等于5厘米,圆心到直线l的距离是

4厘米;(2)5厘米;(3)6厘米.直线l和圆分别有几个公共点?分别说出直线l与圆的位置关系.

6、如图AB是⊙O的的直径,弦CD┻AB于E,CD=8、BE=2,则⊙OR的半径的长是

老师在学生回答的基础上与学生一起梳理知识结构,并板书。

(二)自主探究与合作交流研究圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特征, 垂径定理等知识。

学生审题,自主探究解法后,交流。指名学生代表回答。本题有多种解法,培养学生的发散思维能力、比较思维能力。

分组解,选小组代表板演。

学生先自主探究,再交流想法。

例1:如图4-4-3,AB是⊙O 的直径,C、D是⊙O上两点,∠D=130则(1)∠ACB=

(2)∠ BAC的度数为

教法:由学生分析后板演。

o oo,

例2如图4-4-4,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB的动点,则线段OM长的最小值是

教法:学生合作交流,共同探讨解法。

25

(三)应用与拓展

本部分内容作为课堂检测用,时间为15分钟。小组内互批。当时知道结果,有利于学生的学习。

达标测评:

1、 一条弦分一圆为2cm和6cm两部分,若此弦与直径成45o角,则该弦长为

2、如图4-4-9,AB、CD是⊙O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE。 求证:∠D=∠B

3、如图4-4-10,在⊙O中,弦AB=2cm,圆周角∠ACB=30o,求⊙O的直径。

4、如图4-4-7,直线AB交圆于点A、B两点,点M在圆上,点P在圆外,且点M,P在AB的同侧,

∠AMB=50o,设AMB=xo,当点P移动时,求x的变化范围。

(四)小结与作业

小结:谈一下你有哪些收获?

作业: 复习资料上相关题

(五)板书设计

课题:圆(1)

基本概念:弧、弦、圆心角、圆周角

中心对称

圆 对称性

弧、弦、圆心角、圆周 角的关系 26

点与圆的位置关系

(六)课后反思:

轴对称

垂径定理

圆知识点归纳

一、圆的定义。

1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径:圆上一点与圆心的连线段。

2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

(1)劣弧:小于半圆周的弧。

(2)优弧:大于半圆周的弧。

5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。

6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。

7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论:

? 平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

? 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只

要有一对量相等,其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r,OP=d。

d< r(r> d)P在⊙O内 d= r 点P在⊙O上 27

d > r(r<d)P在⊙O外

7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离

相等。

(直角三角形的外心就是斜边的中点。)

8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。

直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切; 直线与圆没有交点,直线与圆相离。

2

d< r(r> d)

d= r 直线与圆相切。

d > r(r<d)

9、平面直角坐标系中,A(x1,y1)、B(x2,y2)。

22 则AB=(x1?x2)?(y1?y2)

10、圆的切线判定。

(1)d=r时,直线是圆的切线。

切点不明确:画垂直,证半径。

(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

切点明确:连半径,证垂直。

11、圆的切线的性质(补充)。

(1)经过切点的直径一定垂直于切线。

(2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

12、切线长定理。

(1)切线长:从圆外一点引圆的两条切线,切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切

线长。 (2)切线长定理。

P ∵ PA、PB切⊙O于点 A、B ∴ PA=PB,∠1=∠2。 6

12(2)图

13(2)图

13、内切圆及有关计算。

(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。

(2)如图,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O切△ABC三边于点D、E、F。

求:AD、BE、CF的长。

分析:设AD=x,则AD=AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x.

可得方程:5-x+7-x=6,解得x=3

(3)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c。

求内切圆的半径r。 分析:先证得正方形ODCE, 得CD=CE=r AD=AF=b-r,BE=BF=a-r b-r+a-

r=c 28

得r=

(4)S△ABC=a?b?c 21r(a?b?c) 2

14、(补充)

(1)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。 如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。

(2)相交弦定理。

圆的两条弦AB与CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD。

(3)切割线定理。

2如图,PA切⊙O于点A,PBC是⊙O的割线,则PA=PB·PC。

(4)推论:如图,PAB、PCD是⊙O的割线,则PA·PB=PC·PD。

(2)

图 (1)图 (3)图 (4)图

15、圆与圆的位置关系。

(1)外离:d>r1+r2, 交点有0个;

外切:d=r1+r2, 交点有1个;

相交:r1-r2<d<r1+r2,交点有2个; 相切 相离

内切:d=r1-r2, 交点有1个;

内含:0≤d<r1-r2, 交点有0个。

(2)性质。

相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

相切两圆的连心线必经过切点。

16、圆中有关量的计算。

(1)弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。 L=nn?R ?2?R?180360

(2)扇形的面积用S表示。 nn?R2n?RR12??R? S= S=??lR 36036018022

(3)圆锥的侧面展开图是扇形。

r为底面圆的半径,a为母线长。

? 扇形的圆心角α=r?3600 a

2? S侧=?ar S全=?ar+?r

29

第29章 几何的回顾

29.1 几何问题的处理方法

29.1.1 用推理方法研究三角形

导学目标

知识技能目标

1.掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理;

2.利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题.

过程性目标

在证明等腰三角形的有关定理的过程中,进一步体会证明的必要性,掌握证明的书写格式,提高演绎推理能力.

导学重点

1.掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理;

2.利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题.

导学难点

30

在证明等腰三角形的有关定理的过程中,进一步体会证明的必要性,掌握证明的书写格式,提高演绎推理能力.

一、情境导入

请同学们按以下步骤画△ABC.

1.任意画线段BC;

2.以B、C为顶点,在BC的同侧作锐角∠B=∠C,角的两边交于点A. 这个△ABC是一个什么三角形?怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢?大家可以用度量或沿AD对折的方法,得到AB=AC,这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法:等角对等边.同学们是否想过,为什么当△ABC沿AD对折时,AB与AC完全重合?现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题.

二、探究归纳

1.求证:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等. 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.

分析 要证明AB=AC,可设法构造两个全等三角形,使AB,AC分别是这两个全等三角形的对应边,因此可画∠BAC的平分线AD.

等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”

说明

(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形.

(2)推理形式:因为在△ABC中,∠B=∠C.(已知)

所以AB=AC.(等角对等边)

2.同学们回忆一下,我们学过的等腰三角形具有哪些性质?(1)等边对等角;(2)等腰三角形的“三线合一”.以前,我们也用折叠的方法(可演示一下)来认识了这两个性质,现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质.先试着画出图形,写出已知,求证.

31

求证:等腰三角形的两个底角相等.

已知:△ABC中,AB=AC.

求证:∠B=∠C.

分析 仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形.

等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等.(简称为“等边对等角” ) 推理形式:因为△ABC中,AB=AC.(已知)

所以∠B=∠C.(等边对等角)

说明

(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD;

(2)由△BAD≌△CAD,可进一步推得BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°,因此AD也是中线,是BC边上的高线.

等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合.(简写成“等腰三角形的三线合一” )

在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.沿着射线OC对折,发现PD和PE完全重合,即PD=PE,由此,我们得到了角平分线的性质.请同学们来叙述这一性质:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质.

1.同学们按上述性质画出图形,写出已知、求证,老师及时补充.

已知:OC是∠AOB平分线,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足. 求证:PD=PE.

分析 只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。

角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

2.反过来,如果一个点到一个角两边的距离相等,这个点是否就在这个角的平分线上呢?画出图形,我们通过证明来解答这个问题.

已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足,QD=QE.

32

求证:点Q在∠AOB的平分线上.

分析 要证点Q在∠AOB的平分线上,即QO是∠AOB的平分线,画射线OQ,只要证∠AOQ=∠BOQ,利用H.L.证明△DOQ≌△EOQ,得∠AOQ=∠BOQ.

角平分线判定定理:到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理,如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等,这些定理都是命题.再如:“两直线平行,内错角相等”;“内错角相等,两直线平行”也是命题.观察这些命题的题设与结论,你发现了什么?

1.命题“两直线平行,内错角相等”的题设是_______,结论是_______;

命题“内错角相等,两直线平行”的题设是_______,结论是_______.

在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.所以上述两个命题叫做互逆命题,如“两直线平行,内错角相等”为原命题,则“内错角相等,两直线平行”为逆命题,反之也可以.

2.每一个命题都有逆命题,只要将原命题的题设与结论互换,便可得到原命题的逆命题.但是,原命题正确,它的逆命题未必正确,也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系.比如“对顶角相等”是真命题,但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题.

3.我们知道定理是命题,所以定理一定有逆命题.我们还知道定理是真命题,但定理的逆命题却不一定是真命题,如果是真命题,则定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.比如我们刚才所讲的命题“两直线平行,内错角相等”;“内错角相等,两直线平行”都是定理,因此它们就是互逆定理.再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理,同学们能否再举一些互逆定理? 例题:

例1 如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上一点,∠A=2∠EBC.

求证:BE⊥AC.

分析 由已知条件∠A=2∠EBC,联想到作∠A的平分线AD,则∠CAD=∠EBC,且AD⊥BC,所以∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°,即BE⊥AC.

33

例2 如图,已知BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别是E、D,BE、CD相交于点O,且∠1=∠2.求证:OB=OC.

分析 要证明OB=OC,只要证明△OBD≌△OCE,可利用角平分线及垂线的条件得OD=OE. 例3 写出下列命题的逆命题,判断原命题与逆命题的真假.

(1)全等三角形的面积相等;

(2)同角的余角相等;

(3)如果|a|=|b|,那么a=b;

(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;

(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

例4 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题,并证明逆命题是真命题.

已知:△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a+b=c.

求证:△ABC是直角三角形.

分析 首先构造一个直角三角形ABC,使得∠C′=90°,B′C′=a, C′A′=b,然后可以证明△ABC≌△A′B′C′,从而可知△ABC是直角三角形.

222

勾股定理的逆定理:如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.

例5 如图,四边形ABCD是边长a为的正方形,M为AB中点,E为AD上一点,且AE=AD.

求证:△EMC是直角三角形.

34

作业:1、如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.

2.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∠BAC的平分线交BC于点D.求证:AB=CD+AC.

3.给定一个三角形的两边长分别是5、12,当第三条边为多长时,这个三角形是直角三角形?

课后反思:

29.1.2用推理方法研究四边形(1)

导学目标

知识技能目标

1.掌握平行四边形的性质,会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形;

2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算.

过程性目标

1.掌握证明的一般步骤;

2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题. 导学重点:知识技能目标1、2

导学难点:过程性目标2

导学过程:

(一)情境导入

在第20章中,我们已学过平行四边形的性质与判定,回忆有哪些性质与判定,你能用逻辑推理的方法来证明它们吗?

(二)实践与探索1

根据学生的回忆选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗?来证明知识回顾:要证明一个命题须分三步来完成:①画图;②结合图形写出已知、求证;③证明. 35

已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.

求证:四边形ABCD是平行四边形.

分析 要证明四边行ABCD是平行四边形,目前只能用平行四边形的定义来证明,即只要证明另一组对边平行即可,因此可以连结其中一条对角线,利用全等三角形对应角相等来证明内错角相等.

于是得:

平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边.

利用全等三角形的性质,同样可以证明下列平行四边形判定定理.

平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

平行四边形判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形

同样,我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质.

平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等.

已知: 如图,四边形ABCD是平行四边形.

求证: AB=CD, BC=DA.

分析 要证明平行四边形的对边相等,可以连结其中一条对角线,把平行四边形分成两个三角形,然后利用全等三角形对应边相等于是可得:

平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等.

同样,我们也可证明:

平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分.

例 如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,且AE=CF. 求证:BF∥DE.

36

分析 要证BF∥DE,只要证四边形EBFD是平行四边形即可

变式应用:如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是对角线AC上的两点,且AE=CF,那么 BF∥DE成立吗?

(四)小结与作业

1.学习平行四边形的性质与判定,可按边的关系,角的关系以及对角线的关系进行分类记忆;

2.在证明有关平行四边形问题时,要根据已知条件的特征,正确合理地使用平行四边形的性质与判定;

3.可以用有关平行四边形知识证明的问题,不要倒退到利用三角行的全等来证明.

作业:如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E、F分别是边AB、DC的中点.求证:EF=BC

课后反思:

29.1.3用推理方法研究四边形(2)

导学目标:

知识技能目标

1.掌握矩形的性质,会用推理的方法证明一个四边形是矩形;

2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算.

过程性目标

经历探索矩形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

导学重点:知识技能目标1、2

导学难点:经历探索矩形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

37

(一)情境导入

教师出示教具:“一个活动的平行四边形木框”,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上.拉动一对不相邻的顶点A、C,立即改变平行四边形的形状.

学生思考如下问题:

(1)无论∠1如何变化,四边形ABCD还是平行四边形吗?

(2)随着∠1的变化,两条对角线长度有没有变化?

(3)当∠1为什么角时,这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形?这时两条对角线长度有没有关系?

(二)实践与探索1

我们知道矩形是特殊的平行四边形,因此它具有平行四边形的性质,而且还具有一些特殊的性质.根据矩形的定义,矩形是平行四边形,且有一个角是直角,从而可得: 定理矩形的四个角都是直角.

由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”.你会用推理的方法证明吗?

已知:如图,四边形ABCD是矩形.

求证:AC=BD.

分析 由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边,因此要证AC=BD,只要证△ABC≌△DCB. 那么要判定一个四边形是不是矩形,除了利用矩形的定义直接判定外,还有如下的判定定理:

定理 有三个角是直角的四边形是矩形.

思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢?再看上面一个活动的平行四边形木框,保持边的大小不变,仅改变内角大小,观察对角线的变化,当对角线具有什么性质时,平行四边形变为矩形.

定理 对角线相等的平行四边形是矩形.

上述两条定理是矩行的判定定理

(三)实践与探索2

例 求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

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已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.

求证:CD =AB.

分析:要证CD =AB,可以延长CD到E,使DE = CD,此时只要证CE = AB. 本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形.

即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

以后把这条作为直角三角行的性质定理.

(四)小结与作业

1.矩形的性质:

(1)矩形具有平行四边形的一切性质;

(2)矩形的四个内角都是直角;

(3)矩形的对角线相等且互相平分.

2.矩形的判定:

(1)有三个角是直角的四边形是矩形;

(2)有一个内角是直角的平行四边形是矩形;

(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.

作业:1.已知:平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于E、F、G、H.求证:EG=HF.

2.如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点.

求证:EB=ED.

课后反思:

39

29.1.4用推理方法研究四边形(3)

导学目标:

知识技能目标

1.掌握菱形的性质,会用推理的方法证明一个四边形是菱形;

2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算.

过程性目标

经历探索菱形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

导学重点:知识技能目标1、2

导学难点:经历探索菱形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

导学过程:

(一)情境导入

教师出示教具:“一个活动的平行四边形木框”,用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上.平行移动另一对相邻的顶点B、C,立即改变平行四边形的形状. 学生思考如下问题:

(1)无论BC平行移到什么位置,四边形ABCD还是平行四边形吗?

(2)当BC移动什么位置时,这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形?这时两条对角线有什么位置关系?

(二)实践与探索1

我们知道菱形是特殊的平行四边形,因此它具有平行四边形的性质,而且还具有一些特殊的性质.

根据菱形的定义,菱形是平行四边形,且有一组邻边相等,从而可得:定理菱形的四条边都相等.

由问题(2)我们还知道

定理 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.会用推理的方法证明吗?已知:如图,四边形ABCD是菱形.分析 要证AC⊥BD,AC平分∠DAB,只要证明△DAB是等腰三角形,且AC平分BD.

要判定一个四边形是不是菱形,除了利用菱形的定义直接判定外,还有如下的判定定理: 定理 四条边相等的四边形是菱形

40

思考 根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢?再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变,仅改变边的大小,观察对角线的变化,当对角线具有什么性质时,平行四边形变为菱形?

定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

已知:如图,四边形ABCD是菱形.

求证:AC⊥BD;AC平分∠DAB,CA平分∠BCD,BD平分∠ABC,

DB平分∠CDA.

分析 要证AC⊥BD,AC平分∠DAB,只要证明△DAB是等腰三角形,

且AC平分BD.

要判定一个四边形是不是菱形,除了利用菱形的定义直接判定外,

还有如下的判定定理:

定理 四条边相等的四边形是菱形

思考 有哪些方法可以判断一个四边形是菱形?

(三)实践与探索2

例2 如图,在菱形ABCD中,M是AB的中点,且DM⊥AB,则ΔABD是什么三角形

?

例3 如图,AD是ΔABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DE∥BA交AC于F.猜想AD与EF是什么关系

?

(四)小结与反思

1.菱形的性质:

(1)菱形具有平行四边形的一切性质;

41

(2)菱形的四条边都相等;

(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.

2.菱形的判定:

(1)四条边相等的四边形是菱形;

(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形;

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

29.1.5用推理方法研究四边形(4)

导学目标

知识技能目标

1.掌握正方形的性质,会用推理的方法证明一个四边形是正方形;

2.能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算.

过程性目标

经历探索正方形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

导学重点:知识技能目标1、2

导学难点:经历探索正方形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

导学过程:

(一)情境导入

1.展开活动的衣帽架(如图).

图(1)的α在不断的地变化过程中.这个图形始终是怎样的图形?生答:菱形.老师继续问当α=90°时,这个图形还是菱形吗?如上图(2).有的生答:不是,是正方形.有的生答:是,还是菱形,是一个特殊的菱形.最后老师进行评判,并指出:当α=90°时,这个四边形还是菱形.因为它是邻边相等的平行四边形.但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.

2.展开一边固定对边活动的矩形.

42

将活动的矩形架的CD边左右移动时,问:图中CD在移动时,这个图形始终是怎样的图形?(CD在活动的过程中始终保持与AB平行)生答:矩形.当CD移动到C′D′位置,且AC′=AB时,此时的图形还是矩形吗?这时生回答:是,是矩形,但它是特殊的矩形,也是正方形.

(二) 实践与探索1

我们已经知道正方形既是矩形,又是菱形,因此,正方形具有矩形和菱形的所有性质. 定理 正方形的四个角都是直角,四条边都相等.正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.

反之,如果一个四边形既是矩形,又是菱形,那么这个四边形一定是正方形.于是可得: 定理 有一个角是直角的菱形是正方形.

定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.

(三)实践与探索2

例 求证:依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形.

已知:如图27.3.7,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证:四边形EFGH是正方形.

变式应用 如图,已知点A′B′C′D′分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′,求证:四边形A′B′C′D′是正方形.

43

(四)小结

1.正方形具有平行四边形的一切性质:两组对边平行且相等,两组对角相等,对角线互相平分;

2.正方形具有矩形的一切性质:四个角都是直角,对角线相等;

3.正方形具有菱形的一切性质:四条边相等,对角线垂直;

4.有一个角是直角的菱形是正方形;

5.有一组邻边相等的矩形是正方形.

课后反思:

29.2 反证法

29.2.1 证明的再认识(1)

导学目标

知识技能目标

1.进一步探索几何图形的性质,掌握研究几何图形的方法;

2.进一步了解证明的含义,理解证明的必要性,掌握证明的书写格式;

3.能证明三角形内角和定理及推论.

过程性目标

通过三角形内角和定理及推论的证明,体会证明的必要性,注意证明的格式,知道每一步推理都必须有依据,证明的表述必须条理清晰.

导学重点

进一步探索几何图形的性质,掌握研究几何图形的方法

能证明三角形内角和定理及推论.

导学难点

掌握证明的书写格式

导学过程

(一)情境导入

1.任意画一个四边形,分别用度量和剪拼的方法,求出该四边形的内角和的大小.你能说说理由吗?

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2.下列图中的线段和线段的长度是否相等?用尺度量结果是否与你感觉一样?

(二)归纳总结

1.探索几何图形的性质时,常常采用看一看,画一画,比一比,量一量,算一算,想一想,猜一猜等方法得出结论,并在实验操作中对结论作出解释,这是研究几何图形性质的一种基本方法.但有时视觉上的错觉会误导我们,凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确,所以我们要学习用逻辑推理的方法(既证明)去探索图形的性质.

2.逻辑推理需要依据,依据包括公理,等式与不等式的有关性质以及等量代换,定理. 公理:(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;

(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别对应相等,那么这两个三角形全等;

(4)全等三角形的对应边、对应角相等.

定理:在公理与依据的基础上,用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题,并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理.我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面.

(三)实践与探索

例1 用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度.

已知:△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°.

分析 回忆以前将三个内角拼在一起,发现三角形的三个内角的和等于180°,因此要设法将三个内角移在一个平角上,任作一个三角形ABC,延长AB到D,得平角ABD,过点B作BE∥AC,由平行线的性质把三个内角拼到点B处得:三角形内角和定理:三角形的内角和等于180度.

说明 (1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线,辅助线常画成虚线;

(2)该定理的推理形式:因为 △ABC,所以∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理); 45

(3)该定理可以作为进一步推理的依据.利用三角形内角和定理,请同学们用逻辑推理的方法来说明(a)四边形内角和等于360°.(b)n边形的内角和等于(n-2)180°. 小结:(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的,实践为我们作出猜想提供了材料,推理证明为猜想的真实性提供保证;(2)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等;

(3)注意证明的格式,每一步推理都必须有依据,证明的表述必须条理清晰. 课后反思:

29.2.2 证明的再认识(2)

导学目标

知识技能目标

1.掌握推理证明的方法与步骤,培养言之有据的思维习惯;

2.用所学过的公理,定理,定义进行逻辑推理.

过程性目标

在推理过程中体会公理与定理,定理与定理之间的逻辑关系,熟练掌握证明的书写格式 导学重点

通过画图得出二次函数特点

导学难点

识图能力的培养

导学过程

(一)情境导入

我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度,同学们能否以这个定理为依据,来证明三角形的外角性质?哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质? 求证:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

已知:如图,∠CBD是△ABC的一个外角.

求证:∠CBD=∠A+∠C.

(二)探究归纳

46

我们已经学习了许多图形的性质,有些就是逻辑推理的最原始的依据——公理,还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的,如:全等三角形的判定公理:边角边、角边角、边边边.除这些方法以外,同学们还有什么方法判断三角形全等?(角角边)我们一起来证明命题:有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.

已知:△ABC和 △A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′. 求证:△ABC≌△A′B′C′.

(三)实践与探索

(四)交流反思

1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的,但仅仅通过观察和实验是不够的,必须要通过证明得到;

2.在推理过程中,不能只根据问题的某种相似性,生搬硬套,要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题.

30.1抽样调查的意义

第1课时 人口普查与抽样调查

导学目标:了解普查和抽样调查的区别及应用

了解总体、个体、样本、样本容量的含义

了解选取有代表性的样本对总体估计的作用

掌握抽样调查选取样本的方法

导学重点:总体、个体、样本、样本容

导学难点:抽样调查选取样本的方法

导学过程:

一、创设情境,导入新课

利用课本中提出的三个问题导入新课,这是一个比较实际的问题同学们很容易理解,也容易展开讨论

(营造开放的讨论场面,引导学生讨论并发现问题)

47

二、合作交流,探求新知

第一个问题同学们很容易回答,并且很快把表中的内容填好。

第二个问题稍难一些,因为抽的家庭太多了,不过利用2000年第五次人口普查的知识,我们是可以回答的。

第三个问题最难回答,为什么呢?因为全国人口普查的工作量极其大,我国今后每十年进行一次全国人口普查,每五年进行一次全国1﹪人口的抽样调查。即只是研究约1300万人口,然后对这部分人进行调查。从而得出一个估计的答案。

三、总结归纳

我们把要考察的对象的全体叫做全体,把组成总体的每一个部分个体叫做个体。从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本。一个样本包含的个体的数量叫做这个样本的容量。

例如人口普查中,当考察我国人口年龄构成时,总体就是所有具有中华人民共和国国籍并在中华人民共和国境内常住的人口年龄,个体就是符合这一条件的每一个公民的年龄,符合这一条件的所有北京市的公民的年龄就是一个个体。

普查是通过总体的方式来收集数据的,抽样调查是通过调查样本的方式来收集数据的。

四、典型例题讲解

例1 为了了解新课程标准实施后某九年级400名学生应用数学意识和创新意识能力的提高情况,进行一次测验,从中抽取了50名学生的成绩,在这个问题中:

(1) 采用了哪种调查方式?

(2) 总体、个体、样本、样本容量是什么?

分析:调查方式有普查和抽样调查,本题中抽取了50名学生的成绩,因此采用了抽样调查的方式。

例2 为了了解2000台空调的使用寿命,从中抽取了20台做连续的运转实验,在

这个问题中,总体、个体、样本、样本容量各指什么?

解:所要了解的2000台空调的使用寿命的全体是总体。

每台空调的使用寿命是个体。

抽取的20台空调的使用寿命是总体的一个样本。

样本容量是20

五、 学以致用,体验成功

自己独立完成课本92页练习题

六、 课堂小结

总体、个体、样本、样本容量

七、作业:

板书设计:

48

导学反思:

第2课时 从部分看整体

导学目标:

知识与技能:了解从部分看总体的意义和方法,学会合理的选择样本

过程与方法:经历由部分看总体的学习全过程,体会选取代表性的样本对正确估计总体的重要性。

情感态度与价值观:培养学生交流协作精神及言语表达能力,体会部分看整作用 导学重点:利用从部分看整体的知识,解决数学实际问题。

导学难点:能够正确的判断选择的样本是否合理

导学过程:

一、 导入新课

这里有一个大布袋,里面装着许多的乒乓球。如果无法把所有的乒乓球都倒出来数,那么你们还有其他的办法估计布袋中共有多少个乒乓球吗?

学生在小组内展开了讨论??

可是方法有限,很难??

二 、 新课讲解

这个时候教师介入了,引导大家解决问题,让学生看课本93页。

解决的方法,取出10个球,在每个球上做个记号,以示它们已经被取出过。将这10个球全部放回袋子中,在将布袋中的球搅匀,然后第二次从布袋中取出一部分球,例如15个,检查这15个球中有几个是曾经被取出过的,假如说检查发现当中有2个是做过标记的,那么根据以下的近似关系:布袋中有标记的球的数目/布袋中球的数目

≈第二次取出的球的中有标记的球的数目/第二次取出的球的数目

就可以估计出布袋中球的数目≈15×10÷2=75

受了这个题目的启发,同学们可以做下面这个题,

例1 为了估计池塘里鱼的数目,我们可以采用如下的方法:第一次捕捞一网鱼,一共捕捞20条鱼,把他们全部做上标记,第二次捕捞了三网,一共捕捞了54条鱼,其中有三条鱼身上有标记,问这个鱼塘中一共有多少条鱼?

分析:按照上面我们总结的结论方法,很容易求出池塘中有360条鱼。

例2 要了解喜欢足球的学生人数占全年级总人数的百分比,在足球场上向30名同学

做调查,这样的一个样本可不可以考察总体?

解决这个问题时我们要注意以下几点:

(1) 选取的样本不能太小;

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(2) 防止太大的“盲目性”;

(3) 样本要具有代表性;

答:这样的样本太小、太特殊,不具有代表性

三、 课堂知识练习

1、 判断下面抽样调查选取的样本是否合适

(1) 检查某啤酒厂即将出厂的啤酒质量情况,先随机抽取若干箱,再在抽取的每

箱中,随机抽取1-2瓶检查。

(2) 通过网上问卷调查方式,了解百姓对央视春节晚会的评价。

(3) 调查某市中小学生学习知识负担的状况,在该市每所中小学选取一名学生,

进行问卷调查。

(4) 教育部为了调查中小学乱收费情况,调出了某市所有的中小学生。

2、 拓展创新题

某住宅小区6月份随机抽取调查了该小区6天的用水量(单位:吨),结果分别是30、34、32、37、28、31,那么估计该小区6月份(30天)的总的用水量是多少吨?

3、 探究性问题

一不透明的塑料袋里放入了一些小球,小红从中摸了两次结果发现都是红球,因此小红说这个袋中都是红球,而小明从中摸了两次后,摸到了一红一白两球,因此,小明说这个袋中红球和白球各占50%,你认为他们的话对吗?为什么?

四、 课堂小结

五、 课后作业:

导学反思:

第3课时 这样选择样本合适吗

导学目标:使学生知道在抽样调查时,所选取的样本必须具有代表性,并能掌握科学的抽样

方法,即具有代表性,样本容量必须足够大避免遗漏某一群体,使得所抽取的

样本比较合理,能比较准确地反映总体的特征。

重点:判断所选取的样本是否具有代表性,是否能够反映总体的特征。

难点:判断所选取的样本是否具有代表性,是否能够反映总体的特征。

导学过程:

一、用例子说明如何进行抽样比较合理

例1、老师布置给每个小组一个任务,用抽样调查的方法估计全班同学的平均身高.坐在教室最后面的小胖为了争速度,立即就近向他周围的三个同学作调查,计算出他们四个人的平均身高后就举手向老师示意已经完成任务了.

分析 因为小胖他们四个坐在教室最后面,所以他们的身高平均数就会大于整个班级的身高平均数,这样的样本就不具有代表性了.

现实生活中,用简单的随机抽样方法选中的样本可能不愿意参加或者没空配合你 50

作调查,所以,在不太影响样本代表性的前提下,人们也经常采取调查周围人的抽样方法.但是,要注意这些调查对象在总体中是否有代表性.

例2 甲同学说:“6, 6, 6?啊!真的是6!你只要一直想某个数,就会掷出那个数.” 乙同学说:“不对,我发现我越是想要某个数就越得不到这个数,倒是不想它反而会掷出那个数.”

分析 这两位同学的说法都不正确.因为几次经验说明不了什么问题。

在这里请同学掷骰子,来验证上述两位同学的说法不正确。

例3 小强的自行车失窃了,他想知道所在地区每个家庭平均发生过几次自行车失窃事件.为此,他

和同学们一起,调查了全校每个同学所在家庭发生过几次自行车失窃事件.

分析 这样抽样调查是不合适的.虽然他们调查的人数很多,但是因为排除了所在地区那些没有中学

生的家庭,所以他们的调查结果不能推广到所在地区的所有家庭。

想一想:小强和他的同学们的调查反映哪些家庭失窃自行车的情况?

这个例子告诉我们,开展调查之前,要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为调查对象。

例4、1936年,美国《文学文摘》杂志:根据1000万电话和从该杂志订户所收回的意

见,断言兰登将以370:161的优势在总统竞选中击败罗斯福,但结果是,罗斯福当选了,《文学文摘》大丢面子,原因何在呢?

原来,1936年能装电话和订阅《文学文摘》杂志的人,在经济上相对富裕,而引入不太高的的大多数选民选择了罗斯福。《文学文摘》的教训表明,抽样调查时,既要关注样本的大小,又要关注样本的代表性。

二、练习

判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适,并说明理由:

1、一食品厂为了解其产品质量情况,在其生产流水线上每隔100包选取一包检查其质量;

2、一手表厂欲了解6-11岁少年儿童戴手表的比例,周末来到一家业余艺术学校调查200名在那里学习的学生.

3、 为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率,用简单随机抽样法在全

校所有的班级中抽取8个班级,调查这8个班级所有学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率;

4、为调查一个省的环境污染情况,调查省会城市的环境污染情况

三、小结

通过本节课的学习,同学们应明白在做抽样调查时,所选取的样本应具有代表性,应避 51

免遗漏某一群体,同时样本的容易要足够大,这样样本才能反映总体的特性,才能反映事物的本来面目。

课后作业:

板书设计:

导学反思:

§30.2.1简单的随机抽样

导学目标:使学生了解简单的随机抽样的操作过程,理解简单的随机抽样的含义,能用随机抽样的方法从总体中抽取样本。

重点:用简单的随机抽样的方法从总体中抽取样本。

难点:用简单的随机抽样的方法从总体中抽取样本。

导学过程:

一、用例子说明有些调查不适宜做普查,只适宜做抽样调查

例1:妈妈为了知道饼熟了没有,从刚出锅的饼上切下一小块尝尝,如果这一小块熟了,那么可以估计整张饼熟了。

例2:环境检测中心为了了解一个城市的空气质量情况,会在这个城市中分散地选择几个点,从各地采集数据。

例3:农科站要了解农田中某种病虫害的灾情,会随意地选定几块地,仔细地检查虫卵数,然后估计一公顷农田大约平均有多少虫卵,会不会发生病虫害。

例4:某部队要想知道一批炮弹的杀伤半径,会随意地从中选取一些炮弹进行发射实验,以考察这一批炮弹的杀伤半径。

以上的例子都不适宜做普查,而适宜做抽样调查。

二、如何从总体中选取样本

1、什么是简单的随机抽样

上面的例子不适宜做普查,而需要做抽样调查,那么应该如何选取样本,使它具有代表性,而能较好地反映总体的情况呢?

要想使样本具有代表性,不偏向总体中的某些个性,有一个对每个个体都公平的方法,决定哪些个体进入样本,这种思想的抽样方法我们把它称为简单的随机抽样

2、用简单的随机抽样方法来选取一些样本。

假设总体是某年级300名学生的数学考试成绩,我们已经按照学号顺序排列如下: 97 92 89 86 93 73 74 72 60 98 70 90 89 90 91 80 69 92 70 64 92 83 89 93 72 77 79 75 80 93 93 72 87 76 86 82 85 82 87 86 81 88 74 87 92 88 75 92 89 82 88 86 85 76 79 92 89 84 93 75 93 84 87 90 88 90 80 89 72 78 73 79 85 78 77 91 92 82 77 86 52

90 78 86 90 83 73 75 67 76 55 70 76 77 91 70 84 87 62 91 67 88 78 82 77 87 75 84 70 80 66 80 87 60 78 76 89 81 88 73 75 95 68 80 70 78 71 80 65 82 83 62 72 80 70 83 68 74 67 67 80 90 70 82 85 96 70 73 86 87 81 70 69 76 68 70 68 71 79 71 87 60 64 62 81 69 63 66 63 64 53 61 41 58 60 84 62 63 76 82 76 61 72 66 80 90 93 87 60 82 85 77 84 78 65 62 75 64 70 68 66 99 81 65 98 87 100 64 68 82 73 66 72 96 78 74 52 92 83 85 60 67 94 88 86 89 93 99 100 79 85 68 60 74 70 78 65 68 68 79 77 90 55 80 77 67 65 87 81 67 75 57 75 90 86 66 83 68 84 68 85 74 98 89 67 79 77 69 89 68 55 58 63 77 78 69 67 80 82 83 98 94 96 80 79 68 70 57 74 96 70 78 80 87 85 93 80 88 67 70 93。

用简单抽样的方法选取三个样本,每个样本含有5个个体,老师示范完成了第一个样本的选取,请同学们继续完成第二和第三个样本的选取。

第一个样本:

第二个样本:

第三个样本:

课堂活动:用简单的随机抽样方法从300名学生的数学成绩的总体中选取两个样本,每个样本含有20个个体。 第一个样本:

第二个样本:

同学们从刚才的活动中可以体会到,抽样之前,同学们不能预测到哪些个体会被抽中,像这样不能够预先预测结果的特性叫做随机性。所以统计学家把这种抽样的方法叫做随机抽样。 三、小结

本节课我们学习了什么是随机抽样,如何从总体中随机选取一些样本,通过对这些样本的研究,可以反映总体中的特性。

课后作业:

53

导学反思:

§30.2.2抽样调查可靠吗

导学目标: 通过样本抽样,绘频数颁布直方图,计算样本平均数和标准差使学生认识到只

有样本容易足够大,才能比较准确地反映总体的特性,这样的样本才可靠,体

会只有可靠的样本,才能用样本去估计总体。

重点:通过随机抽样选取样本,绘制频数分布直方图、计算平均数和标准差并与总体的频数

分布直方图、平均数和标准差进行比较,得出结论。

难点:通过随机抽样选取样本,绘制频数分布直方图、计算平均数和标准差并与总体的频数

分布直方图、平均数和标准差进行比较,得出结论。

导学过程:

一、复习上节课的内容

在上节课中,我们知道在选取样本时应注意的问题,其一是所选取的样本必须具有代表性,其二是所选取的样本的容量应该足够大,这样的样本才能反映总体的特性,所选取的样本才比较可靠。

二、新课

1、用例子说明样本中的个体数太少,不能真实反映的特性。

让我们仍以上一节300名学生的考试成绩为例,考察一下抽样调查的结果是否可靠。上一节中,老师选取的一个样本是:

它的频数分布直方图、平均成绩和标准差分别如下:

另外,同学们也分别选取了一些样本,它们同样也包含五个个体,如下表:

54

同样,也可以作出这两个样本的频数分布直方图、计算它们的平均成绩和校准差,如下图所示:

样本平均成绩为74.2分,标准差为3.8分 样本平均成绩为80.8分,标准差为6.5分

从以上三张图比较来看,它们之间存在明显的差异,平均数和标准差与总体的平均数与标准差也相去甚远,显然这样选择的样本不能反映总体的特性,是不可靠的。以下是总体的频数分布直方图、平均成绩和标准差,请同学们把三个样本的频数分布直方图、平均成绩和标准差与它进行比较,更能反映这样选取样本是不可靠的。

2、选择恰当的样本个体数目

下面是某位同学用随机抽样的方法选取两个含有40个个体的样本,并计算了它们的平 55

均数与标准差,绘制了频数分布直方图,具体如下:

样本平均成绩为75.7分,标准差为10.2分 样本平均成绩为77.1分,标准差为10.7分

从以上我们可以看出,当样本中个体太少时,样本的平均数、标准差往往差距较大,如果选取适当的样本的个体数,各个样本的平均数、标准差与总体的标准差相当接近。)

三、课堂练习

请同学们在300名学生的成绩中用随机抽样的方法选取两个含有20个个体的样本,并计算出它们的平均数与标准差,绘制频数分布直方图,并与总体的平均数、标准差比较。

四、小结

一般来说,用样本估计总体时,样本容量越大,样本对总体的估计也就越精确,相应地,搜集、整理、计算数据的工作量也就越大,因此,在实际工作中,样本容量既要考虑问题本身的需要,又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小。

课后作业:

导学反思:

§30.2.3用样本估计总体

导学目标: 通过实例,使学生体会用样本估计总体的思想,能够根据统计结果作出合理的

判断和推测,能与同学进行交流,用清晰的语言表达自己的观点。

重点:根据有关问题查找资料或调查,用随机抽样的方法选取样本,能用样本的平均数和方

差,从而对总体有个体有个合理的估计和推测。

难点:根据有关问题查找资料或调查,用随机抽样的方法选取样本,能用样本的平均数和方

差,从而对总体有个体有个合理的估计和推测。

导学过程:

一、课前准备

问题:2002年北京的空气质量情况如何?请用简单随机抽样方法选取该年的30天,记录并统计这30天北京的空气污染指数,求出这30天的平均空气污染指数,据此估计北京2002年全年的平均空气污染指数和空气质量状况。请同学们查询中国环境保护网

二、新课

师生用随机抽样的方法选定如下表中的30天,通过上网得知北京在这30天的空气污 56

染指数及质量级别,如下表所示:

这30个空气污染指数的平均数为107,据此估计该城市2002年的平均空气污染指数为107,空气质量状况属于轻微污染。

讨论:同学们之间互相交流,算一算自己选取的样本的污染指数为多少?根据样本的空气污染指数的平均数,估计这个城市的空气质量。

2、体会用样本估计总体的合理性

下面是老师抽取的样本的空气质量级别、所占天数及比例的统计图和该城市2002年全年的相应数据的统计图,同学们可以通过比较两张统计图,体会用样本估计总体的合理性。

57

经比较可以发现,虽然从样本获得的数据与总体的不完全一致,但这样的误差还是可以接受的,是一个较好的估计。

练习:同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图,并和2002年全年的相应数据的统计图进行比较,想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理?

显然,由于各位同学所抽取的样本的不同,样本的污染指数不同。但是,正如我们前面已经看到的,随着样本容量(样本中包含的个体的个数)的增加,由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数,数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠的. 对于估计总体特性这类问题,数学上的一般做法是给出具有一定可靠程度的一个估计值的范围,将来同学们会学习到有关的数学知识。

3、加权平均数的求法

问题1:在计算20个男同学平均身高时,小华先将所有数据按由小到大的顺序排列,如下表所示:

然后,他这样计算这20个学生的平均身高:

小华这样计算平均数可以吗?为什么?

问题2:假设你们年级共有四个班级,各班的男同学人数和平均身高如表25.2.4所示.

25.2.4

小强这样计算全年级男同学的平均身高:

161.2+162.3+160.8+160.7 4

小强这样计算平均数可以吗?为什么?

练习:在一个班的40学生中,14岁的有5人,15岁的有30人,16岁的有4人,17岁的有1人,求这个班级学生的平均年龄。

三、小结

用样本估计总体时,样本容量越大,样本对总体的估计也就越精确。相应地,搜集、整理、计算数据的工作量也就越大,随机抽样是经过数学证明了的可靠的方法,它对于估计 58

总体特征是很有帮助的。

四、作业:

板书设计:

导学反思:

30.3 借助调查作决策

导学目标:了解媒体是获取信息的一个重要渠道,学会从媒体上获取数据信息,包括上网、

看电视、读报、听广播等,并通过对这些数据的分析进行决策.

学会对来自媒体的数据信息进行合理的分析,发表自己的观点.

通过对来自媒体的数据的分析与交流,在分析信息、提高分析辩别能力的同时,

增强合作学习的意识与能力.

导学重难点:.综合运用所学统计知识读取媒体信息,并进行适当的分析

能够对信息中数据的来源及处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的

质疑.

从统计(数学)的角度对媒体信息进行质疑,并能有条理地阐述自己的观点.

导学过程:

引入

获取信息的一个重要渠道,通过媒体可以便捷地获取丰富、实时的信息

举例:如果明天我们要郊游,可以留意报纸、广播、电视中的天气预报或者上网查询,要是天气预报说“明天降雨概率为90%”,那我们可能都会带上雨具.

请同学再举几个通过媒体获取数据进行决策的例子

第一课时

1.借助调查作决策

问题1 2001年“五·一”前夕,小明一家准备购买一台彩电.是买国产的还是进口的?是考虑价格便宜还是追求功能全面?最后决定在甲、乙、丙三个国产品牌中选择一个最畅销的品牌.小明上网查得截至2001年第一季度的最新数据,如表28.1.1所示.

59

如果你是小明,会怎样取舍呢?

分析 把这三个品牌彩电自1999年以来截至2001年第一季度的总销量和平均月销售量用图形表示.

图1图2

1999年以来彩电销售总量比1999年以来彩电历年月平均销量比较

思 考

(1)以2001年第一季度三个品牌销量的4倍分别作为2001年它们全年的估计销量,这样比较年销售量合适吗?

(2)为了进一步了解这三个品牌的销售情况,小明与他的爸爸特地在一家电器商场观察了一个小时,在这一小时中,他们发现甲与丙各卖出了两台,而乙一台也没有卖出.为什么他们在商场观察的结果与小明在媒体上查到的数据不成比例?这是否意味着网上公布的数据不可靠?为什么?

解:(1)不合适,因为不同季节对不同产品的需求不一定一样,同一品牌在不同季节的销售量也不一定相同,第一季度是销售的淡季,因次它不具有代表性,不能用它的4倍作为全年的估计销量,可以每个季度取一个月或一个月中随机抽取几天来比较年销售量. (2)小明和他爸只在一个商店里统计了一个小时的销售情况,因此他选择的样本既没有随机性也没有代表性,样本的容量有太小,而媒体上公布的数据是作了大量的调查得出的结果,因此网上的数据依然可靠.

练 习:爸爸妈妈计划在周末带小明去旅游.首先,希望天气适宜;其次,游览的地方最好离居住地近一些.下图是小明在报纸上查询到的周末部分旅游区天气预报.

60

此外,小明还通过上网查询列车时刻表,获得了各旅游区与自己居住地之间的里程如下(单位:m).

大连2 255,青岛1 359,泰山890,洛阳1 122,黄山674,杭州201,武夷山631,厦门1 395,桂林1 645,湛江2 280.

(1)请你帮小明分析一下,哪个旅游景点是最佳选择?

(2)如果你要在本周末旅行,那么基于路程和天气两方面的原因,你将怎样查询数据做出决策呢?把你的决策过程和同学们进行交流.

答:

(1)天气适宜的有湛江、青岛、泰山、洛阳、黄山、桂林、五夷山,在这些天气适宜的旅游区中,五夷山离居住地最近、所以五夷山是最佳选择。

(2)可以先查询天气、及各景点的路程,以天气适宜且路程近者为目标。

媒体中的数据很多,只要我们留心,会从其中获得许多有用的信息.但出现在媒体中的信息不一定都是可靠的,我们在获取信息的同时,需要进行全面的分析.

第二课时

2. 容易误导决策的统计图

例2 一则广告说:据调查,使用本厂牙膏可以使蛀牙率减少20%,并以图28.1.3示意其调查得到的数据.你怎样看待这则广告?

28.1.3

分 析

第一,我们注意到图中的柱形图的纵轴是从30%开始的,它容易留给我们一个错误的印象:使用该厂牙膏会使蛀牙率减少一半.

第二,我们不知道调查对象是否有可比性,如果使用该厂牙膏的人群是幼儿园小朋友,而使用非该厂牙膏的人群却是成年人,那么所得的结论就不可信了.

第三,我们也不知道样本容量有多大,如果只调查了10个人,那么所得的结论可能就不太可靠了.

从这个很小的例子可以看出,数据虽然给我们带来了有利于决策的各种信息,但有些时候也可能误导我们.所以,比较规范的统计报告应该说明调查的细节,如调查了多少人,是怎样选取调查对象的,等等.

问题3见教材

练习

以下是一些来自媒体的信息,谈谈你读了之后有什么想法.

61

(1) 报纸刊载:高校毕业生平均年收入为5万元.(数据来源于对某高校校友的一次问卷调查)

(2) 某房产广告称:本地区居民年收入6万元.(事实上该地区居住了许多普通工人家庭,只有几户富翁家庭)

(3)某杂志刊载消息解释其价格上涨原因:10年来,原材料上涨10%,印刷费增加10%,推销广告费上升10%.这样一来,成本增加30%,零售价格怎能不上涨?

五、小结

在本节学期中,我们主要学习了在对某件事情作决策前,如何借助媒体,查询数据,媒体是获取信息的一个重要渠道,既要从中获得尽可能多的有用信息,还要保持理智的心态,要对数据的来源、收集数据的方法、数据的呈现方式和由此得出的结论进行合理的辨析。

课后作业:

导学反思:

62

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