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分组分解法

发布时间:2014-02-07 13:49:08  

分组分解法

学习目标要求

①能用分组分解法把分组后可以直接提公因式或运用公式的多项式进行因式分解. ②掌握二次三项式x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)的分解原理、特点;

③了解因式分解的一般步骤,能灵活应用提公因式法、公式法、分组分解法进行多项式的因式分解

中考基本要求

①熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合,命题以对四项式的多项式因式分解为主.

②熟练掌握x+(p+q)x+pq的因式分解的原理;能灵活选用恰当的方法因式分解;

x+(p+q)x+pq的分解很重要,它与方程、函数等知识有密切联系,中考时常常把它融入其它知识中去.

1.为什么要分组分解

现在我们要分解下面两个多项式:

(1)xy-xb+ay-ab;

(2)x-y+ax+ay.

它们都是四项式,对于四项而言,既没有公因式可提,又不能运用四个因式分解公式,那么怎样才能来完成分解过程呢?为此,让我们来考察一个因式分解的逆过程——多项式的乘法.例如:

(x+a)(y-b)

=x(y-b)+a(y-b)

=(xy-xb)+(ay-ab) 22222

=xy-xb+ay-ad,

如果把上述过程反过去,就找到了因式分解的途径.

xy-xb+ay-ab

=(xy-xb)+(ay-ab) (分组)

=x(y-b)+a(y-b).

至此,我们分别把x(y-b)、a(y-b)看成一个整体,那么在两项之间有公项式y-b可提.即原式=??=(y-b)(x+a).这就是分组分解法.

对于多项式(2),前两项x-y,可以用平方差公式分解得(x+y)(x-y),后两项ax+ay,有公因式a,提出来得a(x+y),这样原有多项式就变形为(x+y)(x-y)+a(x+y),这时可看到它们又有公因式x+y,提出后得(x+y)(x-y+a),也达到分解的目的.

由此可见,对于四项或四项以上的多项式,进行恰当的分组,往往可以进行因式分解.

2.分组分解法不是一种独立的分解因式的方法,经过适当的分组以后,转化为已经学过的提公因式法或运用公式来进行因式分解.

3.分组分解法的原则是要能继续进行因式分解,这有两种情况:一种情况是分组后能直接提取公因式,一种情况是分组后能直接运用公式.分组没有固定的形式,但要确保分组后能继续分解.因此,合理地选择分组的方法,是分组分解法的关键.

4.为了合理地选择分组的方法,要用到加法的交换律和结合律,而提取公因式又运用了分配律,因此,运算律在分组分解中起到很重要的作用.

5.二次三项式x+(p+q)x+pq的特点:

①二次项的系数是1;

②常数项是两个数之积;

③一次项系数是常数项的两个因数之和. 222

6.x+(p+q)x+pq的分解原理

二次项系数是1的二次三项式x+(p+q)x+pq,用十字相乘法因式分解的原理.

我们学习多项式乘法时,学过这样一个公式:

(x+p)(x+q)=x+(p+q)x+pq

将上式反过来,就得到

x十(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

由此可以发现,对于二次项系数是1的二次三项式,因式分解的思考途径是:先把常数项分解成两个因数的积pq,再看这两个因数的和p+q,是否等于一次项系数,如果相等就可以成功,如果不相等再重新尝试.

其实:按分组分解法

x+(p+q)x+pq=x+px+qx+pq

=(x+px)+(qx+pq)

=x(x+p)+q(x+p)

=(x+p)(x+q)

因此:x+(p+q)x+pq型式子的分解即为分组分解法的特殊情形,

我们称x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)为二次项系数为1的二次三项式的因式分解公式.

7.把一个多项式因式分解的一般步骤

1.如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

2.如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;

3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解;

4.分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 222222222

①分组分解法主要应用于四项或四项以上的多项式的因式分解.

②仍应首先考虑公因式的提取,其次才考虑分组.

③分组方法的不同,仅仅是因式分解手段的不同,各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解.

④对于四项式的两两分组,尽管方法不惟一,但要注意,并不是任何两项结合都可以最终达到因式分解的目的.要注意分组的合理性.

⑤对于四项式中的另一种分组方法,则是把其中的某三项组成一组,使其成为完全平方形式,而四项式中剩下的一项是某一个数(或代数式)的平方.此项又与完全平方式符号相反,则得

2222到(a±b)-c或c-(a±b)的形式,然后用平方差公式分解因式.

⑥原多项式的项数超过四项时,要考虑五项式的三、二分组、六项式的三、二、一分组. ⑦原多项式带有括号,不便直接分组时,要将括号去掉,整理后再分组分解.

⑧在分组分解过程中,渗透着换元思想,掌握好这一点,就能熟练地进行分组分解. ⑨二次三项式x+bx+c在分解时有以下规律和技巧: 2

(1)如果常数项c是正数,那么可把c分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数b的符号相同;

(2)如果常数项c是负数,那么可把c分解为两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数b的符号相同.

⑩二次三项式x+bx+c中的x也可能是其它的字母或者一个较复杂的代数式,遇到此类问题时,要有换元思想.

例1.把下列各式分解因式:

(1)2ac+3bc+6a+9b (2)2x+x-6x-3

讲解(1)解法1:原式=(2ac+3bc)+(6a+9b)

=c(2a+3b)+3(2a+3b)

=(2a+3b)(c+3).

解法2:原式=(2ac+6a)+(3bc+9b)

=2a(c+3)+3b(c十3) 322

=(c+3)(2a+3b),

(2)解法1:2x+x-6x-3=(2x+x)-(6x+3) 3232

=x(2x+1)-3(2x+1)

=(2x+1)(x-3). 22

解法2:2x+x-6x-3=(2x-6x)+(x-3) 3232

=2x(x-3)+(x-3)

=(x-3)(2x+1). 222

例2.把下列各式分解因式:

(1)4a-9b-4a+1; 22

(2)x+l0xy-70y-49; 2

(3)xy-xy+2xy-xy; 532

分析:这一组是四项式的因式分解,一般采用三、一分组或二、二分组. 讲解(1)4a-9b-4a+1 22

=(4a-4a+1)-9b

=(2a-1)-(3b)

=(2a-1+3b)(2a-1-3b).

(2)x+l0xy-70y-49

=(x-49)+(10xy-70y)

=(x+7)(x-7)+l0y(x-7)

=(x-7)(x+7+10y).

(3)xy-xy+2xy-xy

=xy(x-x+2x-1) 42532222222

=xy[x-(x-2x+1)]

=xy[x-(x-1)]

=xy(x+x-1)(x-x+1). 224242

例3.分解因式x-2xy+y-3x+3y 22

分析 这是一个五项式,其中前三项为二次的,后两项为一次的,前三项又恰好符合完全平

2方式,即得(x-y),而后两项提出-3后也产生了因式(x-y).

讲解 x-2xy+y-3x+3y 22

=(x-2xy+y)+(-3x+3y)

=(x-y)-3(x-y)

=(x-y)(x-y-3). 222

例4.分解因式ab(c+d)+cd(a+b). 2222

分析 观察要进行因式分解的多项式,按原有的分组无法分解因式,因此想到打乱原有分组,重新分组.重新分组后要注意联想公式或有无公因式可提,要多观察,勤思考,尽量多想几种方法.

讲解方法(1):ab(c+d)+cd(a+b) 2222

=abc+abd+acd+bcd

=(abc+bcd)+(abd+acd)

=bc(ac+bd)+ad(ad+ac)

=(ac+bd)(bc+ad).

方法(2):原式=abc+abd+acd+bcd 222222222222

=(abc+acd)+(abd+bcd)

=ac(bc+ad)+bd(ad+bc) 2222

=(bc+ad)(ac+bd).

例5.3x-x=1,求6x+7x-5x+200的值. 232

分析 思路一:由3x-x=1,不便于求出x的值,故可考虑将6x+7x-5x+200用(3x-x)“整体”重新表示;

思路二:由3x-x=1,得3x=1+x.利用此式可将6x+7x-5x+200,逐步降次,最终达到化简的目的.

讲解方法一:

6x+7x-5x+200

=2x(3x-x)+9x-5x+200

=2x(3x-x)+3(3x-x)-2x+200

=(2x+3)(3x-x)-2x+200

=2x+3-2x+200

=203.

方法二:

∵3x-x=1,∴3x=1+x,则 22222223222322322

6x+7x-5x+200

=2x·3x+7·x-5x+200 2232

=2x(1+x)+7x-5x+200

=9x-3x+200

=3·(1+x)-3x+200

=3+3x-3c+200

=203.

点拨:方法一中为达到用(3x-x)整体表示的目的,采用的是从最高次项起逐步提公因式222

(3x-x)的做法;方法二中始终用(1+x)替换3x,这样做可达到将原多项式降次的目的. 22

例6.证明:对任意正整数n,3-2+3-2 一定是l0的倍数. n+2n+2nn

分析 要想证明原式是10的倍数,只需将原式因式分解,若有一个因数是10,则说明原式可被10整除,即是10的倍数.

证明∵3-2+3-2 n+2n+2nn

=3(3+1)-2(2+1)

=3·10-2·5 nnn2n2

=10(3-2)

∴对任意的正整数n,原式一定是10的倍数.

例7.将下列各式分解因式

(1)x+5x+4; (2)x-7x+6; 22nn-1

(3)y-3y-28; (4)m+3m-28. 22

分析:上列各式均为系数为1的二次三项式,在应用公式x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解时,关键是要找到某乘积的常数项,和为一次项系数的两个数,一般先将常数项分解为两数之积,然后再验证这两个数的和是否为一次项系数,若为,即可利用上述公式进行分解.(1)中有4=1×4,且1+4=5;(2)中有6=(-1)×(-6),且(-1)+(-6)=-7;(3)中有-28=4×(-7),且4+(-7)=-3;(4)中有-28=(-4)×7,且(-4)+7=3.

讲解:(1)x+5x+4 22

=x+(1+4)x+1×4 2

=(x+1)(x+4).

(2)x-7x+6

=x+[(-1)+(-6)]x+(-1)×(-6) 22

=(x-1)(x-6).

(3)y-3y-28 2

=y+[(-7)+4]x+(-7)×4 2

=(y-7)(y+4),

(4)m+3m-28

=m+[7+(-4)]m+7×(-4) 22

=(m+7)(m-4).

例8.把下列各式分解因式

(1)p-7p+6; (2)(a+b)-4(a+b)-21; 422

(3)xy+2xy-15. 22

分析:(1)p=(p),设p=y,则原多项式可转化为关于y的二次三项式;(2)可看成是关于(a+b)的二次三项式;(3)可看成是关于xy的二次三项式.

讲解:(1)方法一

设p=y,则 24222

p-7p+6=y-7y+6=(y-1)(y-6)

=(p-1)(p-6)=(p+1)(p-1)(p-6)

方法二:p-7p+6=(p)-7p+6=(p-6)(p-1) 4222222222422

=(p-6)(p-1)(p+1). 2

(2)(a+b)-4(a+b)-21

=(a+b-7)(a+b-3).

(3)xy+2xy-15

=(xy)+2·xy-15 2222

=(xy+5)(xy-3).

说明:(1)中的方法一用的是换元法;方法二用的是换元的思想一在意识上将p看成一个整

2体,把原多项式看成是关于p的二次三项式,但并不写出换元的步骤.这样,在书写上较方

法一简捷了许多. 2

例9.分解因式a-4ab+3b. 22

分析 本题所给的多项式是一个二齐次式,这类式子可看作是关于某一个字母的二次三项

222式,把另一个字母看作常数.不妨把a-4ab+3b看作关于a的二次三项式,则常数项是3b,

222一次项系数是-4b.∵3b=(-b)·(-3b),而(-b)+(-3b)=-4b.∴a-4ab+3b可写成

2a+[(-b)+(-3b)]x+(-b)(-3b),继而分解为(a-b)(a-3b).

讲解 a-4ab+3b=(a-b)(a-3b). 22

注意 对于含有两个字母的二齐次式.分解因式时;要防止丢掉后一个字母的错误.

例10.把下列各式分解因式

(1)xy-5xy-14y; 42222

(2)x-10xy+25y+6x-30y+8. 22

分析:(1)中各项提出公因式y后,括号内各项为x的二次三项式,可用本节公式分解;(2)中前三项一组,第四、五项一组,第六项一组,原式即可转化为关于(x-5y)的二次三次式,可继续用本节公式分解.

(1)xy-5xy-14y

=y(x-5x-14)

=y(x-7)(x+2)

(2)x-l0xy+25y+6x-30y+8

=(x-5y)+6(x-5y)+8

=(x-5y+2)(x-5y+4) 2222222424222222

例11.分解因式:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

分析 ∵1+4=2+3,∴可考虑把(x+1)(x+4)及(x+2)(x+3)分别组合相乘,所得两个二次三项式的二次项相同,一次项也相同,即含有x的部分完全相同.以便进一步用换元法分解因式. 讲解:原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x+5x+4)(x2+5x+6)+1

设x+5x+4=y,则 22

原式=y(y+2)+1=y+2y+1 2

=(y+1)

=(x+5x+4+1)

=(x+5x+5)

说明:本题解散法的关键是:①巧妙结合.②恰当换元

例12.已知(m-2)-9(m-2)+14=0,求m的值. 22222222

分析:此题中,方程的左边可以用本节的公式分解,分解后,依据乘积为零则至少有一个因式为零,则原方程可转化为几个次数较低的方程,从而可求出m的值.

讲解:由(m-2)-9(m-2)+14=0,得 222

[(m-2)-2)][(m-2)-7]=0

(m-4)(m-9)=0

(m-2)(m+2)(m-3)(m+3)=0

∵m-2=0或m+2=0或m-3=0或m+3=0

∴m=2或m=-2或m=3或m=-3.

答:一、选择题:

1.分解因式2a+4ab+2b-8c,正确的是( ) 2222222

A.2(a+b-2c) B.2(a+b+c)(a+b-c)

C.(2a+b+4c)(2a+b-4c) D.2(a+b+2c)(a+b-2c)

2.x-6x-16分解因式为( ) 2

A.(x-2)(x-8) B.(x+2)(x+8)

C.(x+2)(x-8) D.(x-2)(x+8)

3.x2-13xy-30y2分解因式为( )

A.(x-3y)(x-l0y) B.(x+15y)(x-2y)

C.(x+l0y)(x+3y) D.(x-15y)(x+2y)

4.如果多项式x4-3x3-28x2的其中一个因式是x2,则另外两个因式是( )

A.(x-4)(x+7) B.(x-4)(x-7)

C.(x+4)(x-7) D.(x+4)(x+7)

5.多项式x2+px-q(p>0,pq>0)分解因式的结果足(x+m)(x+n),则下列判断正确的是( )

A.mn<0 B.mn>0

C.m>0且n>0 D.m<0且n<0

6.多项式a6+7a3-8分解因式后含有多少个因式( )

A.1 B.2 C.3 D.4

7.如果x2-px+q=(x+a)(x+b),那么p等于( )

A.ab B.a+b C.-ab D.-(a+b)

8.若x2+(5+b)x+5b=x2-x-30,则b的值为( )

A.5 B.-6 C.-5 D.6

9.如果多项式x2+ax-6可分解为两个整系数的一次因式的积,那么a可取的整数值为( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

二、判断题:

10.x2+(a+b)x+ab=________;x2-(m-n)x-mn=_______

11.3ax2+6axy+3ay2=_______

12.已知x2-3x-54=(x+a)(x+b),则a与b的符号______

13.已知x2-5xy+4y2=0,则x:y=______

14.x-2x-24能被(x+a)整除,则a=______ 2

三、把下列各式分解因式:

15.(1)5m+6n-15m-2mn; 2

(2)ab-3b+7a-2la; 2

(3)a-3b+3ab-ab; 322

(4)ax+3x-4a-12. 22

16.(1)x + xy - xz - xyz; 322

(2)ax + ay - bx - by; 2222

(3)mn - xy- my+ nx; 22222222

(4)ab+ab+ab+b. 43

17.(1)ax+x-a-1; 22

(2)x-4+x-4x; 32

(3)m-m-8m+8; 32

(4)ab-a-b+1. 2222

18.(1)25x-4a+12ab-9b; 222

(2)a+2ab+b-ac-bc; 22

(3)a+2ab+b-m+2mn-n;

(4)x + xy - xy - y. 32232222

19.(1)y(y-2)+4x(x-y+1);

(2)3(ab+cd)-(bc+9ad);

(3)1-ab(1-ab)-ab; 33

(4)a(a-1)(a-2)-6.

20.求值(1)已知a+b= ,a-b= ,求a+ab-3a-3b的值; 2

(2)已知a2+a+1=0,求a3+2a2+2a+3的值;

(3)若x2+2x+y2-6y+10=0,求x,y的值;

(4)已知a+b=0,求a3-2b3+a2b-2ab2的值.

答案

(一)1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.D 7.D 8(二)10.(x+a)(x+b),(x-m)(x+n) 11.3a(x+y)2

12.互异 13.1或4 14.4或-6

(三)15.(1) (m-3)(5m-2n)

(2) (a-3)(7a+b)

(3) (a-b)(a2+3b)

(4) (a+3)(x+2)(x-2)

16.(1) x(x+y)(x-z)

(2) (x+y)(a+b)(a-b)

(3) (m2+x2)(n+y)(n-y)

(4) b(a+1)2(a2-a+1)

17.(1) (a+1)(x-1)(x2+x+1)

(2) (x2+1)(x-4)

(3) (m+1)(m-1)(m-8)

(4) (a+1)(a-1)(b+1)(b-1)

18.(1) (5x+2a-3b)(5x-2a+3b) .B 9.A

(2) (a+b)(a+b-c)

(3) (a+b+m-n)(a+b-m+n)

(4) (x-y)(x+y)2

19.(1) (2x-y)(2x-y+2)

(2) (3a-c)(b-3d)

(3) (1+a2b2)(1-ab)

(4) (a2+2)(a-3)

20.(1)- (2)2 (3)x=-1,y=3 (4)=0m的值为2,-2,3或-3.

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