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(第八课时)《函数的极值与导数》

发布时间:2014-02-07 15:50:03  

函数的极值与导数

高二数学 选修2-2

第一章

导数及其应用

运城盐化中学

刘俊文

一、复习导入------复习旧课
1. 求出函数 f ( x) ? x3 ? 3x2有没搞错, ? 24x ? 20 的单调区间
2 怎么这里没有填上? ? ? 3( x ? 4)( x ? 2) f ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 24 解

你记住 令 f ?( x ) ? 0, 得临界点 x1 ? ? 4, x2 ? 2 了吗?
(-∞,-4) -4 0 (-4,2) 2 0 (2,+∞)

区间 f ’(x) f(x)

+

-

+

f(x) 在(-∞, -4)、 -2)>0 (2,+∞ )内单调递增, f ’(x)>0 (x+4)(x x<-4 或x>2 f(x) 在(-4, 2)内单调递减。 f ’(x)<0 (x+4)(x -2)<0 -4<x<2 求导数—求临界点—列表—写出单调性

一、复习导入------导入新课
还记得高台跳水的例子吗? h 最高点

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

a

t

一、复习导入----------导入新课
2.跳水运动员在最高处附近的情况:

在 (1) t=a 当 附近 t=a 时运动员距水面高度最大, , 先增后减, h ’(x)先正后负, (2) 当 t<a 时f(x) h(t) 的单调性是怎样的呢? 导数的符号有什么变化规律? 对于一般函数是否也有同样的性质吗?
h 最高点 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 t
单调递增 h ’(t)>0

(3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢? hh(t) ’(x) 在此点的导数是多少呢? 连续变化,于是有h ’(a)=0.f(a)最大。
h ’(a)=0 单调递减 h ’(t)<0

o a

+ t<a

- t=a

t>a

一、复习导入------导入新课
3.(1) 如图,y=f(x)在c、d等点的函 数值与这些点附近的函数值有什么 关系?导数值呢?导数符号呢? y

探究

cd

e

f o g

h

I

j

x

一、复习导入------导入新课

3.(2) 如图,y=f(x)在a、b点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系? 导数值呢?导数符号呢? f ’(b)=0 极大值点 y f ?( x ) >0 f ?( x )<0

探究

f ?( x ) <0 a
f ’(a)=0

f ?( x) >0
o 极小值点 b

x y-=f(x)

二、讲授新课-----了解概念
什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值?
x f ’(x) <a =a 0 >a +

小结

极大值点和极小值点 极大值和极小值 单调 单调 统称为极值点 f(x) 极小值 统称为极值 递减 递增
x <b + =b 0 极大值 >b -

f(b) y

a
o b

f ’(x) f(x)

x y=f(x)

单调 递增

单调 f(a) 递减

y
f ? ( x) ? 0
极小值 f(a)

f ?(b) ? 0
极大值f(b)

f ? ( x) ? 0

f ? ( x) ? 0

a o
f ?( a) ? 0

b

y ? f ? x?

x

(图一)

点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称极值点,极大值和极小值统称为极值.

函数的极值定义
y

y

使函数取得极值的 点x0称为极值点

o

x0

x

o

x0

x

设函数f(x)在点x0附近有定义, ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0); ?如果对X0附近的

所有点,都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值)

思考:极大值一定大于极小值吗?

思考
y

极大值一定比极小值大吗?

y ? f ( x)

a

x1

o

极 大 值
x2
x3

x4

极 小 值

极 小 值
x5 x6

b

x

结论:不一定

极值是函数的局部性概念

(1)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个 点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小, 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。

(2)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个 函数的极大值未必大于极小值。

(4)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;
(5)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端 点不可能成为极值点。

如图是函数 y ? f ? x ? 的图象,试找出函数 y ? f ? x ? 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点?

y
y ? f ? x?

a x1 o x2

x3

x4 x5

x6

b

x

答: x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。

思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗?

思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
?若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可?

? 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?
f?(x)=3x2 当f?(x)=0时,x =0,而x =0不是该函数的极值点.

f?(x0) =0

x0 是可导函数f(x)的极值点
y f(x) = x3 y

注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
y?c
x

O

x

O

x0左右侧导数异号

x0 是函数f(x)的极值点

f?(x0) =0

探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y y?f(x) f ?(x)<0 极大值点两侧 f ?(x)>0 f ?(x)<0

x
f?(x) f(x)

X<x2


x2
极大值

X>x2


f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0

f ?(x)>0
x2 b x

O a x1 极小值点两侧

x1 X<x1 X>x1 f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 减 极小值 增 f ( x)

x

结论:极值点处,f?(x) =0 注意:(1) f?(x0) =0, x0不一定是极值点

(2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 , x0才是极值点. (3)求极值点,可以先求f?(x0) =0的点,再列表判断单调 性

1 3 例1:求函数 f ? x ? ? 3 x ? 4 x ? 4 1

的极值.

解: ∵ f ? x ? ? x 3 ? 4 x ? 4
'

∴ f ? x? ? x ? 4 ? ? x ? 2?? x ? 2? 令 f ' ? x ? ? 0, 解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论: (1)当 f ' ? x ? ? 0 ,即x>2,或x<-2时;
'

32

2
?2

(2)当 f ? x ? ? 0 ,即-2 < x<2时。 f ' ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表: 当x变化时,

x
f ' ? x?

? ??, ?2?

f ? x ? 单调递增

?

?2 0
28 3

? ?2,

2?
?
单调递减

2 0
? 4 3

? 2, ???

?
单调递增

28 ∴当x=-2时, f(x)的极大值为 f (?2) ? 3 4 当x=2时, f(x)的极小值为 f ? 2 ? ? ? 3

1 解:f(x)= ? x, 所以x ? 0 x 1 x2 ?1 f '( x) ? ? 2 ? 1 ? 2 , f '( x) ? 0时,x ? ?1 x x 当x变化时,f'(x),f(x)变化如下表

1 y? ?x x

导函数的正负是 交替出现的吗?

不是

x
f '( x)

X<-1

+

-1 0
极大值

(-1,0) (0,1) -

1 0
极小值

X>1 +

f ( x)

所以,当x=-1是,函数的极大值是-2,当x=1时,函数的 极小值是2

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤:

(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 x0 f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x0)左正右负,则f(x0)为极大值; 若 f ’(x0)左负右正,则f(x0)为极小值 +

+

求导—求极点—列表—求极值

x0

3 f x ? 3 x ? x 求函数 ? ? 的极值 巩固练习1:
' 2 解:∵ f ? x ? ? 3x ? x3 ∴ f ? x ? ? 3 ? 3x 可以省略 ' 2 f x ? 3 ? 3 x ? 0 ,得 x ? 1 ,或 x ? ?1. ? ? 令 下面分两种情况讨论: ' f (1)当 ? x ? ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 时; ' f (2)当 ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 ,或 x ? ?1 时。 ' f 当 x变化时,? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

?1, ??? 1 ? ?1,1? ? 0 ? f ? x ?单调递减 ?2 单调递增 2 单调递减 ? ??, ?1? ? f ' ? x?

x

?1 0

∴当 x ? ?1 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ? 2. 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 2.

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x

f ?( x)
f (x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 2 ? (2) 令f ( x) ? 3x ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
2 3

x

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?( x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 2 ? (3) 令f ( x) ? 12 ? 3x ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2.
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有

极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 令f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

6x 练习3:求函数 y ? 1 ? x 2 的极值.

6(1 ? x 2 ) . 解: y ? ? 2 2 (1 ? x ) 令 y? =0,解得x1=-1,x2=1.

当x变化时, y? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-1) ↘ -1 0 极大值-3 (-1,1) + ↗ 1 0 极小值3 (2,+∞) ↘

因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.

练习4 3 2 2 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? a 函数 在 x ? 1 时有极值10,则a, b的值为( C ) A、a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B、a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C、a ? ?4, b ? 11 D、 以上都不对
f (1) ? 10 解:由题设条件得:? ? / ? f (1) ? 0


? a ? 3 ? a ? ?4 注意代入检验 或 解之得 ? ? ?b ? ?3 ? b ? 11 但当a ? 3, b ? ?3时,f ' ( x) ? 3( x ? 1) 2 ? 0
函数f ( x)为单调递增函数,没有 极值。故选C.

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0

注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

a2 例3:求函数 f ( x ) ? x ? (a ? 0) 的极值. x
解:函数的定义域为(? ?,0) ? (0,? ?),
a 2 ( x ? a )( x ? a ) f ?( x ) ? 1 ? 2 ? . 2 x x 令 f ?( x ) ? 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).

当x变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)

f’(x)
f(x)

+


0
极大值-2a



-

0

+


↘ 极小值2a

故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a; 当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.

例4:函数 处具有极值,求a的值
分析:f(x)在 要条件可知,



处有极值,根据一点是极值点的必 可求出a的值.

解:
∵ ∴ ,

∴a=2.

例5:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处

有极值,求a、b的值
解:

a y ' ? (a ln x ? bx ? x) ' ? ? 2bx ? 1 x
2

因为在x=1和x=2处,导数为0
2 ? a?? ? a ? 2b ? 1 ? 0 ? ? ? 3 ?? ?a 1 ? 4b ? 1 ? 0 ? ? b?? ?2 ? 6 ?



单调性的判别法 单 调 1.求导,2.求临界点 性 3. 列表,4.单调性

y

y ? f ( x)
A

B

y

A y ? f ( x)
B

o

a

f ’(x)>0单调弟增
y

b

x

o a

f ’(x)<0单调递减
y

b

x

函 数 的 性 质

单调区间的求法
o

函数极值的定义

x0

x

o

x0

x

函 数 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极 值 求极值的步骤:1.求导,2.求极点,3.列表,4.求极值
y y

函数极值的求法

? ?
o
x0

?
x

?
x0

小 结

o

x

设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数,且在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) ? 0 .

必要条件

思考:

1 、已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 2x 在 x ? ?2, x ? 1 处取得极值。 (1)求函数 f ? x ? 的解析式

(2)求函数 f ? x

?的单调区间 ? f ( x)在x ? ?2, x ? 1取得极值, 解:(1)f ' ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 2 ?12a ? 4b ? 2 ? 0 1 1 ? f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0 即 ? 解得:a ? , b ? 3 2 ? 3a ? 2b ? 2 ? 0 1 3 1 2 ? f ? x ? ? x ? x ? 2x 3 2

(2)? f ' ? x ? ? x2 ? x ? 2
由f ' ? x ? ? 0

由f ' ? x ? ? 0

得:x ? 1或x ? ?2

? f ( x)的单调递增区间为: ? ??, ?2? ? ?1, ???

得: ? 2 ? x ?1 ? f ? x ?的单调递减区间为: (?2,1)

思考:
2、直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异 的三个公共点,则a的取值范围是________.
解析:令f′(x)=3x2-3=0, 得x=±1, 可求得f(x)的极大值为f(-1)=2, 极小值为f(1)=-2,

如图所示,-2<a<2时,恰有三个不同公共点.

答案:(-2,2 )

作业:

习题1.3 A组 1~5


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