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二次函数与圆的综合题2

发布时间:2014-02-08 10:46:11  

二次函数与圆的综合题

1.已知:如图,

抛物线y?2xxx轴分别交于A,B两点,与y?上一动点(D点与A,O不重轴交于C点,⊙M经过原点O及点A,C,点D是劣弧OA

合).

(1)求抛物线的顶点E的坐标;

(2)求⊙M的面积;

(3)连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG?2,试探究当点D运动到何处时,直线GA与⊙M相切,并请说明理由.

2.如图,已知二次函数y?mx?(m?3)x?3 (m>0)

(1) 求证:它的图象与x轴必有两个不同的交点,

(2) 这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A,B,C三点,求扇形MAC的面积S。

(3) 在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1:2的两部分?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由。

2

3.如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y?ax2?bx?c与y轴交于点D,与直线y?x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长.

(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.

4..如图,已知抛物线y = ax2 + bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为5.设⊙M与y轴交于D ,抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式;

(2)判断△OBD与△CEB是否相似,并说明理由;

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(0, )

5.如图,在平面直角坐标系中,以点C(0,4)为圆心,半径为4的圆交y轴正半轴于点A,AB是⊙C的切线.动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P、Q从点A和点O同时出发,设运动时间为t(秒).

(1)当t=1时,得到P1、Q1两点,求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l;

(2)当t为何值时,直线PQ与⊙C相切?并写出此时点P和点Q的坐标;

(3)在(2)的条件下,抛物线对称轴l上存在一点N,使NP+NQ最小,求出点N的坐标并说明理由.

6.在直角坐标系中,⊙A的半径为4,圆心A的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过点C作⊙A的切线BC,交x轴于点B.

(1)求直线CB的解析式;

(2)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上,与x 轴的交点恰为点E、F,求该抛物线的解析式;

(3)试判断点C是否在抛物线上?

(4) 在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与△AOC相似?直接写出两组这样的点.

7.如图,抛物线y?ax2?bx?3与x轴交于7.A,B两点,与y轴交于C点,且经过点(2,?3a),对称轴是直线x?1,顶点是M.

(1) 求抛物线对应的函数表达式;

(2) 经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使

,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的坐以点P,A

标;若不存在,请说明理由;

(3) 设直线y??x?3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B,D重

,B,E三点的圆交直线BC于点F,试判断△AEF的形状,并说合),经过A

明理由;

(4) 当E是直线y??x?3上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出

结论).

2

8.如图13,二次函数y?x?px?q(p?0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为

(1)求该二次函数的关系式; 5。 4

(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,

求m的取值范围;

(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求

出点D的坐标;若不存在,请说明理由。

9.如图,抛物线y?ax2?bx?3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且经过点(2,?3a),对称轴是直线x?1,顶点是M.

(1) 求抛物线对应的函数表达式;

(2) 经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使

,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的坐以点P,A

标;若不存在,请说明理由;

(3) 设直线y??x?3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B,D重

,B,E三点的圆交直线BC于点F,试判断△AEF的形状,并说合),经过A

明理由;

(4) 当E是直线y??x?3上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请

直接写出结论).

10.已知抛物线y=12x+px+q与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)(B在A的2

右边),又抛物线与y轴相

(1)求证:4p+5q=0;

(2)问是否存在一个圆O',使它经过A、B两点,且与y轴相切于C点?若存在,试确定此时抛物线的解析式及圆心O'的坐标;若不存在,请说明理由.

(需要画图时,可利用图8的直角坐标系.)

11.平移y=-x2的图象,使它的顶点在第一象限,且OM=,tan∠MOX=3,

(1)求抛物线的解析式;

(2)若抛物线交x轴于A、B两点,求ΔABM的外接圆的面积.

(3)试问在抛物线上是否存在一点P,使SΔABP=3SΔABC,若存在,求出P点,若不存在,说明理由.

12.如图①,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为2?1,直线l:

y??x?2与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M。

(1)求点A的坐标及∠CAO的度数;

(2)⊙B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针

匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切。问:直线AC绕点A每秒旋转多少度?

(3)如图②,过A、O、C三点作⊙O1,点E为劣弧

EC、EA、EO,

当点AO上运动时(不与A、O两点重合)如果不变,求其值;如果变化,说明理由。

EC?EA的值是否发生变化?EO

C?AC13.如图2-4-25,在Rt△ABC中,∠ACB=900,B,以斜边AB所在直线为x轴,

AO?B?17以斜边AB上的高所在的直线为y轴,建立直角坐标系,若O,且

2

2

?mx?2(m??3)0线段OA、OB的长是关于x的一元二次方程x的两根.

求点C的坐标.

(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物

线的草图.

(3)在抛物线的解析式上是否存在点P,使△ABP

和△ABC全等?若相聚在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.

f?x? = 2?x2

2

图2-4-25

2

y?x?bx?c14.如图, 抛物线的与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,D是抛物线

17

?

上一点,其坐标为(2,4),B点的坐标为(1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)经过A、B、D三点的圆交AC于点F,交直线y=x+3于点E,试判断△BEF的形状,并

加以证明.

15.如图,在直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心,以23为半径的圆与x轴交于B、C两

点,与y轴交于D、E两点.

(1)求点D的坐标;

2y?ax?bx?c(2)若B、C、D三点在抛物线上,求这个抛物线的解析式;

(3)若⊙A的切线交x轴的正半轴于点M,交y轴的负半轴于点

OMN=30°,试判断直线MN是否经过抛物线的顶点,并说

明理由.

B

N,切点为P,且∠

2y?x?bx?c16.已知二次函数的顶点M在直线y=-4x上,并且图象经过点A(-1,0).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)设此二次函数与x轴的另一个交点为B,与y轴的交点为C,求经过M、B、C三点的

圆O’的直径长;

(3)设圆O’与y轴的另一个交点为N,经过P(-2,0)、N两点的直线为l问圆心O’是否在直线l上,请说明理由.

2y?ax?bx?c17.已知抛物线经过A(1,0),B(5,0)两点,最高点的纵坐标为4,与y轴交于

点C.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若△ABC的外接圆⊙P与y轴的另一交点为D,⊙P的弦DE平行于x轴,求直线CE

的解析式;

(3)在x轴上是否存在点F,使△OCF与△CDE相似?若存在,求出所有符合条件的点F的

坐标,并判定直线CF与⊙P的位置关系;若不存在,请说明理由.

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