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初二数学上轴对称

发布时间:2014-02-08 10:46:15  

第十二章 轴对称

一.内容:轴对称、轴对称图形、轴对称应用、用坐标表示轴对称;线段垂直平分线的概念及其性质;等腰三角形、等边三角形的有关概念、性质以及判定方法.

二.重点难点:轴对称应用;等腰三角形、等边三角形的性质及判定在综合题中的的应用.

三.思想方法

1.对称思想:利用轴对称可创造平衡、和谐、完美,是探索图形性质及发现图形关系的手段之一,利用轴对称常可巧妙解决有关问题.

2.转化思想:解决轴对称问题、进行轴对称作图、设计图案等,都可转化为点与点之间的轴对称问题.另外根据轴对称的性质可将“线段之和最小”的问题转化为两点之间的最短距离问题.

3.分类讨论思想:在涉及等腰三角形的边或角问题时,常常需分情况讨论,且根据三角形三边关系或三角形内角和为180?检验是否成立.

4.构造思想:添加辅助线构造线段垂直平分线性质的基本图形,构造等腰三角形或构造等腰三角形性质的基本图形可巧妙解决有关问题.

四.要求

1.掌握轴对称的性质;

2.通过画图、折纸、剪纸、度量等实验活动“做数学”,探索发现几何结论;

3.理解和掌握线段垂直平分线及性质;

4.理解轴对称变换;

5.利用轴对称的性质探索图形的性质;

6.掌握等腰三角形性质与判定的应用.

五.需要注意的几个问题

(一)等腰三角形中的分类讨论

1.① 等腰三角形的一个角是110°,求其另两角?

② 等腰三角形的一个角是80°,求其另两角?

③ 等腰三角形两内角之比为2:1,求其三个内角的大小?

2.① 等腰三角形的两边长为5cm、6cm,求其周长?

②等腰三角形的两边长为10cm、21cm,求其周长?

3.① 等腰三角形一腰上的中线将周长分为12cm和21cm两部分,求其底边长?

②等腰三角形一腰上的中线将周长分为24cm和27cm两部分,求其底边长?

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则其顶角为_______.(按高的位置分类)

5.等腰三角形一边上的高等于底边的一半,则其顶角为___________.

6.等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则其顶角为___________.

7.等腰三角形一边上的高等于这边的一半,则其顶角为___________.

8.⊿ABC中,AB=AC,AB的中垂线EF与AC所在直线相交所成锐角为40°,则∠B=_____.

(按一腰中垂线与另一腰的交点所在位置分类)

9.已知A?2,0?、B?0,?4?,C为x轴上一点且?ABC为等腰三角形,问满足条件的C点有几个?(4)

10.在正方形ABCD所在平面上找一点P,使⊿PAD、⊿PAB、⊿PBC、⊿PCD均为等腰三角形,这样的P点有几个? (9

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个)

(二)轴对称的作图

1.

2.

3. 作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形; 已知两图形轴对称,求作其对称轴(两种方法); 最短路径(周长)、入射角等于反射角的问题. A

PMD(1)直线同侧两点到直线上哪个点的距离之和最短(三角形周长最小);

(2)一个点到两条线上的点的距离之和最短(三角形周长最小);

(3)两个点到两条线上的点的距离之和最短(四边形周长最小); B

(4)反射光线经过某定点(台球击球方向)的问题. 1题图

1( 2011区统考).如图,MN是正方形ABCD的一条对称轴,点P是直线MN上的一个动

点,当PC+PD最小时,∠PCD=_________°.

2.已知两点M(4,2),N(1,1),点P是x轴上一动点,若使PM+PN最短,则点P的坐标应

为___________. NC3.如图,P、Q为?ABC边上的两个定点.在BC边上求作一点M,使PM+QM最短.

4.已知:如图,牧马营地在M处,每天牧马人要赶着马群到草地吃草,再到河边饮水,最后回到营地M. 请在图上画出最短的放牧路线.

M

6题图 4题图 5题图

5.如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.

6.如图,四边形EFGH是一长方形的台球桌面,现在黑、白两球分别位于A、B两点的位置上.试问怎样撞击黑球A,才能使黑球A先碰到球台边EF,反弹后再击中白球B?

7.在平面直角坐标系中,点P(2,3)、Q(3,2)请在x轴和y轴上分别找到M点到N点,使四边形PQMN的周长最小,在图上作出M点N和点并求出M点和N点的坐标.

8.在平面直角坐标系xoy中,已知点A(0,3),直线x=3,一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达直线x=3上某点(设为点F)最后运动到点A,求使点P运动的路径中最短的点E、F的坐标.

(三)注意对线段中垂线与角平分线进行比较

1.两者所涉及的“距离”不同:前者是两点间的距离;后者是点到直线的距离.

2.线段的中垂线是直线,由“线段两端点距离相等”的两点确定;

角平分线是射线,由角的顶点和“到角两边距离相等”的一点确定.

3.到三角形的三个顶点距离相等的点只有一个;

到三角形三边距离相等的点有四个.

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(四)轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

轴对称变换同旋转变换、平移变换一样,都是图形变换的一种,轴对称变换的实质就是图形的翻折,而翻折问题往往可以看作是图形的全等问题,解这类问题的关键是利用图形的全等,找出对应线段对应角,挖掘题目的隐含条件,再利用结论使问题获解.

注意:经过变换以后,只是位置发生了变化,图形的形状和大小并未改变.

一.基础知识回顾

1.轴对称性质

如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .

轴对称图形的对称轴是 .

2.线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个 距离 .

3.线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离 的点,在这条线段的 .

4.作轴对称图形:几何图形都可以看作由 组成,只要分别作出这些 关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形.

5.用坐标表示轴对称:点(x,y)关于x轴对称的点的的坐标是 ;关于y轴对称的点的的坐标是 .

6.等腰三角形的性质1:如果一个三角形有两 相等,那么这两 所对的角也相等(简写成“ ”).

7.等腰三角形的性质2:等腰三角形顶角的平分线与 互相重合.

8.等腰三角形的判定:如果一个三角形有两 相等,那么这两 所对的边也相等(简写成 “ ”).

9.等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 .

10.等边三角形的判定1:三个角都 的三角形是等边三角形.

11.等边三角形的判定2:有一个角是 的 三角形是等边三角形.

12.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30?,那么它所对的_________边等于__________的__________.

二.补充习题

1.(1)下列四个图形中,不是轴对称图形的是( ). ..

A. B. C. D.

(2)(2011区统考)下列四个交通标志中,轴对称图形是( ).

A. B. C. D.

(3)请同学们写出两个具有轴对称性的汉字 .

2.(1)在下列对称图形中,对称轴的条数最少的图形是( ).

A.圆 B.等边三角形 C.正方形 D.正六边形

(2)角的对称轴是 .(注:易错点——对称轴是直线)

3. (1)如图,△ABC与?A'B'C'关于直线l对称,且∠A=98°,∠C`=28°,则∠B的度数为( ).

A.48° B.54° C.74° D.78°

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?B?(2)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则?AD( ).

A.40° B.30° C.20° D.10°

(3)如图,等边△ABC的边长为1 cm,D、E分别是AB、AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处,且点在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为 cm.

A'

CA

3(1)图 3(2)图 3(3)图

4.在学习“轴对称现象”内容时,王老师让同学们寻找身边的轴对称图形,小明有一副三角尺和一个量角器(如图所示).

A B C

(1)小明的这三件文具中,可以看做是轴对称图形的是 (填字母代号);

(2)请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案,画出草图(画出一种即可). ..

5.在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 .

6.如图,某地有两所大学和两条交叉的公路,点M、N表示大学,OA、OB表

A

示公路,现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相同,到

两条公路的距离也相同,你能确定出仓库应该建在什么位置吗?请在图中画出你的设计.

7.(1)点P(3,-5)关于x轴对称的点的坐标为( )

A.(-3,-5) B.(5,3) C.(-3,5) D.(3,5) B

(2)如图,数轴上A,B两点表示的数分别为?

1,点B关于点A的对称点为C,

则点C所表示的数为( )

A

.?2 B

.?1 C

.?2?D

.1(3)图为7?6的正方形网格,点A、B、C在格点上.在图中确定格点D,并画出以A、B、C、D

为顶点的四边形,使其为轴对称图形.

(4)如图,在正方形网格纸上有一个△ABC.

①作△ABC关于直线MN的对称图形;②若网格上最小正方形边长为1,求△ABC的面积.

(5)如图,请写出△ABC中各顶点的坐标.在同一坐标系中画出直线m:x=-1,并作出△ABC关于

直线m对称的△A′B′C′.若P(a,b)是△ABC中AC边上一点,请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标.

第7(3)题图 第7(4)题图 第7(5)题图

8.①等腰三角形的一边长10cm,一边长是6cm,则它的周长为 .

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②等腰三角形的周长是24cm,一边长是6cm,则它的另两边长分别为 . ③等腰三角形ABC中,AB=2BC,且三角形周长为40,则AB长为 . 9.①已知等腰三角形有一个内角为100°,求其余两个内角的度数. ② 已知等腰三角形有一个内角为30°,求其余两个内角的度数.

10.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个等腰三角形顶角的度数.

11(2011区统考).如图,在△ABC中,D是BC边上一点,且AB=AD=DC, ∠BAD=40°,则∠C为( ).

A.25° B.35° C.40° D.50°

12(2009区统考).在平面直角坐标系xOy中,已知两点A(2, 0)

A

BD

C

B(0, 23),且?OAB?60?.以AB为一边,作底角为30°的等腰△ABC.(1)符

合题意的点C有 个;(2)写出其中两个C点的坐标 . 13(2011区统考).如图所示,长方形ABCD中,AB=4,

E是折线段A—D—C上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A 关于BE的对称点.在点E运动的过程中,能使△PCB为等腰三角形的 .....点E的位置共有( ).

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

14.已知等腰△ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围 是 . 15(2011区统考).如图,△ABC是等边三角形,D是BC边的中点,点 E 在AC的延长线上,且∠CDE=30°.若

DE=_________.

C

M

B

CE

A

B

B

NC

第15题图 第16题图 第17题图 16(2011区统考). 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB 交BC于D,DE⊥AB于E.若DE=1cm,则BC =_______ cm.

17(2011区统考).如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC=________ 18.如图,已知直线AB∥CD,∠DCF?110?,且AE?AF,则∠A等于( ) A.30? B.40? C.50? D.70? 19.(1)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于( ).A

oooo

A.30 B.40 C.45 D.36

(2)如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是( ) A.20? B.30? C.35? D.40?

B

D

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B

A D C

第23题图

第19(1)题图 第19(2)题图

20.在△ABC中,AB?AC?12cm,BC?6cm,D为BC的中点,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿B?A?C的方向运动.设运动时间为t,那么当t? 秒时,过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的2倍.

21.(1)直线l同侧有两点A、B,在直线l上取一点P,使得点P到A、B距离之和最小.

(2)已知A(-1,2)和B(-3,-1).试在y轴上确定一点P,使其到A、B的距离和最小,求P点的坐标.

22.直线l异侧有两点A、B,在直线l上取一点P,使得点P到A、B距离之差的绝对值最小.

23.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD.

24.如图,P是正方形ABCD平面上的一点,并且△PAB是等边三角形,△PAD,△PBC,△PCD均为等腰三角形,则与此完全类似的以正方形的一边为底边或腰,以点P为顶点构成的四个等腰三角形中,有一等边三角形,那么这样的点P共有多少个?

25.在边长为4和6的矩形中作等腰三角形,使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽,第三个顶点在矩形的边上,求所作三角形的面积.(注:形状相同的三角形按一种计算).

第24题图 第25题图 第26题图

26.如图所示,△ABC是等边三角形, D点是

AC的中点,延长BC到E,使CE?CD,

(1)用尺规作图的方法,过D点作DM?BE,垂足是M(不写作法,保留作图痕迹)

(2)求证:BM?EM.

27.已知:如图, AF平分∠BAC,BC⊥AF, 垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF, AF相交于P,M.

(1)求证:AB=CD;

(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.

C

P

FA

B

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