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九年级数学上册 22.2.3 公式法教案 新人教版

发布时间:2014-02-08 15:01:01  

22.2.3 公式法

教学内容

1.一元二次方程求根公式的推导过程;

2.公式法的概念;

3.利用公式法解一元二次方程.

教学目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.

2 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax+bx+c=0(a≠0)?的求根公

式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.

重难点关键

1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.

2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)用配方法解下列方程

22 (1)6x-7x+1=0 (2)4x-3x=52

2 (老师点评) (1)移项,得:6x-7x=-1

71x=- 66

72172 27 配方,得:x-x+()=-+()612612

7225 (x-)= 12144

75577?5x-=± x1=+==1 1212121212

577?51x2=-+== 1212126 二次项系数化为1,得:x-2 (2)略

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).

(1)移项;

(2)化二次项系数为1;

(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;

2 (4)原方程变形为(x+m)=n的形式;

(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.

二、探索新知

2 如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求

出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.

?b? 问题:已知ax+bx+c=0(a≠0)且b-4ac≥0,试推导它的两个根x1

=,2a22

1

x2

分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

2 解:移项,得:ax+bx=-c

bcx=- aa

b2cb2 2b 配方,得:x+x+()=-+()a2aa2a 二次项系数化为1,得x+2b2b2?4ac 即(x+)= 24a2a

∵b-4ac≥0且4a>0 22

b2?4ac ∴≥0 4a2

b 直接开平方,得:x+=

± 2a

?b?b ∴x1

=,x2

= 2a2a

由上可知,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:

2 (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax+bx+c=0,当b-4ac≥0时,?2

?b?将a、b、c代入式子

x=就得到方程的根. 2a

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.

例1.用公式法解下列方程.

22 (1)2x-4x-1=0 (2)5x+2=3x

2 (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x-3x+1=0

分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可. 解:(1)a=2,b=-4,c=-1

22 b-4ac=(-4)-4×2×(-1)=24>0

x=?(?4)?4?2??? 2?242

2

∴x1

=2?2,x2

= 22

(2)将方程化为一般形式

2 3x-5x-2=0

a=3,b=-5,c=-2

22 b-4ac=(-5)-4×3×(-2)=49>0

5?7? 6

x1=2,x2=-1 3

(3)将方程化为一般形式

2 3x-11x+9=0

a=3,b=-11,c=9

22 b-4ac=(-11)-4×3×9=13>0

x=?(?11)11?? 2?36

x2

∴x1

(3)a=4,b=-3,c=1

22 b-4ac=(-3)-4×4×1=-7<0

因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根.

三、巩固练习

教材P42 练习1.(1)、(3)、(5)

四、应用拓展

例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm2?2+(m-2)x-1=0提出了下列问题.

(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.

(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.

你能解决这个问题吗?

2 分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.

(2)要使它为一元一次方程,必须满足:

?m2?1?1?m2?1?0?m?1?0①?或②?或③?

?m?2?0?(m?1)?(m?2)?0?m?2?0

解:(1)存在.根据题意,得:m+1=2

2 m=1 m=±1

当m=1时,m+1=1+1=2≠0

当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)

2 ∴当m=1时,方程为2x-1-x=0

a=2,b=-1,c=-1 2

3

b-4ac=(-1)-4×2×(-1)=1+8=9

x=22?(?1)1?3? 2?24

x1=,x2=-1 2

因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=-

(2)存在.根据题意,得:①m+1=1,m=0,m=0

因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意.

2 ②当m+1=0,m不存在.

③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0

所以m=-1也满足题意.

当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0, 解得:x=-1

当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0

解得x=-221. 21 3

1. 3 因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-?1时,其一元一次方程的根为x=-

五、归纳小结

本节课应掌握:

(1)求根公式的概念及其推导过程;

(2)公式法的概念;

(3)应用公式法解一元二次方程;

(4)初步了解一元二次方程根的情况.

六、布置作业

1.教材P45 复习巩固4.

2.选用作业设计:

一、选择题

2 1.用公式法解方程4x-12x=3,得到( ).

A.

D.

2

C.

2

x

=0的根是( ).

A.x1

x2

.x1=6,x2

4

C.x1

,x2

D.x1=x2

3.(m-n)(m-n-2)-8=0,则m-n的值是( ).

A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2

二、填空题

2 1.一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.

2 2.当x=______时,代数式x-8x+12的值是-4.

22 3.若关于x的一元二次方程(m-1)x+x+m+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.

三、综合提高题

222 1.用公式法解关于x的方程:x-2ax-b+a=0.

2.设x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=-

33222222222bc,x1·x2=;aa(2)?求代数式a(x1+x2)+b(x1+x2)+c(x1+x2)的值.

3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,?那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10?元用电费外超过部分还要按每千瓦时A元收费. 100

(1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(?用A表示)

(2

根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?

答案:

一、1.D 2.D 3.C

2二、1.b-4ac≥0 2.4 3.

-3

三、1.±│b│ 2.(1)∵x1、x2是ax+bx+c=0(a≠

0)的两根, 2

∴x1x2 b ∴x1+x2

=-, a

c x1·x2= a

(2)∵x1,x2是ax+bx+c=0的两根,∴ax1+bx1+c=0,ax2+bx2+c=0

5 222

原式=ax1+bx1+c1x1+ax2+bx2+cx2

22 =x1(ax1+bx1+c)+x2(ax2+bx2+c)

=0

3.(1)超过部分电费=(90-A)·

(2)依题意,得:(80-A)·

3232A129=-A+A 10010010A=15,A1=30(舍去),A2=50 100

6

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