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二次根式第一节

发布时间:2014-02-08 16:59:40  

二次根式的概念 二次根式的定义:形如非负数时,才有意义.

的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个【例1】下列各式1

,其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三:

1、下列各式中,一定是二次根式的是( )

A

D

2

中是二次根式的个数有______个

【例2】

举一反三:

1、使代数式x的取值范围是 .x?3有意义的x的取值范围是( ) x?4

B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 A、x>3

2

x的取值范围是1

mn有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n)的位置在( ) 3、如果代数式?m?

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例3】若y=x?5+5?x+2009,则x+y= 解题思路:式

a≥0),??x?5?0, x?5,y=2009,则x+y=2014 ?5?x?0

举一反三:

1、

?(x?y),则x-y的值为( ) 2

A.-1 B.1 C.2 D.3

2、若x、y都是实数,且y=2x?3??2x?4,求xy的值

3、当a

1取值最小,并求出这个最小值。

已知a

b是

a?

若的整数部分是a,小数部分是b,则a?b? 。

若的整数部分为x,小数部分为y,求1的值。 b?2x2?1

y的值.

二次根式的性质

1. 非负性:a(a?0)是一个非负数.

注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. (a)2?a(a?0).

注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a?(a)2(a?0) ?a(a?0) 3. a?|a|?? ?a(a?0)?2

注意:(1)字母不一定是正数.

(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.

(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.

?a(a?0) 4. 公式a2?|a|??与(a)2?a(a?0)的区别与联系 ??a(a?0) (1)a2表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.

(2)()2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.

(3)a2和()2的运算结果都是非负的.

【典型例题】

a?2?c?4??0,a?b?c?【例4】

若则 . 2

举一反三:

1、若m?3?(n?1)2?0,则m?n的值为。

2、已知x,y为实数,且x?1?3?y?2??0,则x?y的值为( ) 2

A.3 B.– 3 C.1

2 D.– 1 3、已知三角形两边x、y的长满足|x-4|+

是______.

4、若

y2?5y?6=0,则第三边长的范围2005a?b?

1互为相反数,则?a?b?

2?_____________。

(公式(a)?a(a?0)的运用)

2【例5】

化简:a?1?的结果为( )

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 举一反三:

1、 在实数范围内分解因式: x2?3= ;m4?4m2?4

x4?9?__________,x2??2?__________

2、

1

3、

?a(a?0) (公式a2?a??的应用) ?a(a?0)?

【例6】已知x?2,

A、x?2 B、x?2 C、?x?2 D、2?x

举一反三:

1、

( )

A.-3 B.3或-3 C.3 D.9

2、已知a<0

2a│可化简为( )

A.-a B.a C.-3a D.3a

3、若2?a?

3

等于( )

A. 5?2a B. 1?2a C. 2a?5 D. 2a?1

4、若a-3<0,则化简a2?6a?9?4?a的结果是( )

(A) -1 (B) 1 (C) 2a-7 (D) 7-2a

5、

得( ) 2

(A) 2 (B)?4x?4 (C)-2 (D)4x?4

a2?2a?1

a2?a6、当a<l且a≠0时,化简= .

7、已知a

?

0【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a-

b│

+ 的结果等于( )

A.-2b B.2b C.-2a D.2a 举一反三:实数a

在数轴上的位置如图所示:化简:a?1??______.

0 【例8】

化简1?x2x-5,则x的取值范围是( )

(A)x为任意实数 (B)1≤x≤4 (C) x≥1 (D)x≤1

举一反三:

2,则a的取值范围是( )

A.a≥4

B.a≤2 C.2≤a≤4 D.a?2或a?4

【例9】如果a?a2?2a?1?1,那么a的取值范围是( )

A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

举一反三:

1

、如果a??3成立,那么实数a的取值范围是( ) A.a?0B.a?3;C.a??3;D.a?3

22、若(x?3)?x?3?0,则x的取值范围是( )

(A)x?3 (B)x?3 (C)x?3 (D)x?3

【例10】化简二次根式a?a?2的结果是 a2

(A)?a?2 (B)??a?2 (C)a?2 (D)?a?2

1、把二次根式a?

A. ?a 1化简,正确的结果是( ) a C. ?a D. a B. ??a

2、把根号外的因式移到根号内:当b>0时,1b= x= ;(a?1)1?ax

最简二次根式和同类二次根式

1、最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.

2、同类二次根式(可合并根式):几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。

【例11】在根式

) A.1) 2) B.3) 4) C.1) 3) D.1) 4)

解题思路:掌握最简二次根式的条件。 举一反三:

1、145a,,2,40b2,,(a2?b2)2中的最简二次根式是 。

2、下列根式中,不是最简二次根式的是( ) ..

A

B

C

. D

3、下列根式不是最简二次根式的是( )

4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么? (1)

(6)3a2b (2)3ab2 (3)x2?y2 (4)a?b(a?b) (5)5 xy

5、把下列各式化为最简二次根式: 245ab (3) (1) (2)x2yx

【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A. B. 27 C.25 D. 1 2

举一反三:

1、下列各组根式中,是可以合并的根式是( )

A

2、在二次根式:①;② 23;③

是 。

3、如果最简二次根式

a=__________. 2;④27中,能与合并的二次根式3

3a?8与?2a能够合并为一个二次根式, 则

二次根式计算——分母有理化

1.分母有理化

定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。

2.有理化因式:

两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:

①单项二次根式:

?a来确定,

a?b与a?b等分别互为有理化因式。

②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a

与a

3.分母有理化的方法与步骤:

①先将分子、分母化成最简二次根式;

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【例13】 把下列各式分母有理化

(1

(2

(3

)(4

【例14】把下列各式分母有理化:

(1

(2

(3

举一反三:

1

、已知x?

2、把下列各式分母有理化: x?y22,y?,求下列各式的值:(1)(2)x?3xy?y x?y

(1

(3

a?b? (2

小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①③

与与; ②; ④与与; .

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