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中考总复习专题3---一次函数、反比例函数的图像、性质与应用(师用)

发布时间:2014-02-09 10:57:24  

中考专题总复习3---一次函数、反比例函数的图像、性质与应用

★重点★正、反比例函数,一次函数的图象和性质。

一、平面直角坐标系

1.各象限内点的坐标的特点 2.坐标轴上点的坐标的特点

3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1 函数中的三个概念:常量,自变量,因变量。

2.表示方法:⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

3.确定自变量取值范围的原则:⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。

4.画函数图象:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数(定义→图象→性质)

1. 正比例函数

⑴定义:y=kx(k≠0) 或y/x=k。

⑵图象:直线(过原点)

⑶性质:①k>0,?②k<0,?

2. 一次函数

⑴定义:y=kx+b(k≠0)

⑵图象:直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。

⑶性质:①k>0,?②k<0,?

⑷图象的四种情况:

4.反比例函数 ⑴定义:三种形式:y?k?kx?1或xy=k(k≠0)。 x

⑵图象:双曲线(两支)—用描点法画出。

⑶性质:①k>0时,图象位于?,y随x?;②k<0时,图象位于?,y随x?;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1. 用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、

一.填空题

1.(2010年上海)一辆汽车在行驶过程中,路程 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系如图3所示 当时 0≤x≤1,y关于x的函数解析式为 y = 60 x,那么当 1≤x≤2时,y关于x的函数解析式为_____________.

图3 【答案】y=100x-40

2.(2010安徽蚌埠二中)已知点(1,3)在函数y?k(x?0)的图像上。正方形ABCD的边BC在x轴上,点E是

x

对角线BD的中点,函数y?k(x?0)的图像又经过A、E两点,则点E的横坐标为__________。

x

3.(10湖南益阳)如图6,反比例函数y?k的图象位于第一、三象限,其中第一象限内的图象经过点A(1,2),x

请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P,你选择的P点坐标为 .

【答案】答案不唯一,x、y满足xy?2且x?0,y?0即可

k4.(2010江苏盐城)如图,A、B是双曲线 y= x(k>0) 上的点, A、B两点的横坐标

分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若S△AOC=6.则

k=

【答案】4

4kx与双曲线y?(x?0)交于点A.将 3x

4k直线y?x向下平移个6单位后,与双曲线y?x?0)交于点B,与x轴交于点C,则C点的坐标为___________;3x5.(2010 福建德化)如图,直线y?若AO?2,则k? . BC

(【答案】9,0),

12 2

6.(2010湖南衡阳)如图,已知双曲线y?k与直角边AB相交于点C.若(k>0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,x

△OBC的面积为3,则k=____________.

【答案】2

7.(2010湖北武汉)如图,直线y

=AB?AC=4,则k= .

kx?b与y轴交于点A,与双曲线y=在第一象限交于点B,C两点,且x

答案:

8.(2010湖北荆门)函数y=k(x-1)的图象向左平移一个单位后与反比例函数y=的坐标为(1,2),则点B的坐标为______.

【答案】(-1,-2) 2的图象的交点为A、B,若点Ax

9.(2010 四川成都)已知n是正整数,P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?是反比例函数y?k图象上的一列点,x

?若A1?a(a是非零常数)其中x1?1,x2?2,?,xn?n,?.记A1?x1y2,A2?x2y3,?,An?xnyn?1,,则

A12A22?2An的值是________________________(用含a和n的代数式表示). (2a)n

【答案】 n?1

10都在双曲线y?k(x?0)上,且x2?x1?4,y1?y2?2;分别过点A、B向x

x轴、y轴作垂线段,垂足分别为C、D、E、F,AC与BF相交于G点,四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为 . G

第15题图

【答案】y?6 x

6的图象上。若x1x2??3,则y1y2的值x11.(2010陕西西安)已知A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y?

为 。

【答案】-12

12.(2010 四川泸州)在反比例函数y?10?x?0?的图象上,有一系列点A1、A2、A3…、An、An?1,若A1的横坐x

标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点A1、A2、A3…、An、An?1作x轴与y轴的垂线段,构成若干个矩形如图8所示,将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、Sn,则S1?________________,S1+S2+S3+…+Sn?_________________.(用n的代数式表示

)

【答案】5,10n n?1

k的图象在第一象限相交于点A,x13.(2010 内蒙古包头)如图,已知一次函数y?x?1的图象与反比例函数y?

与x轴相交于点C,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为1,则AC的长为 (保留根号).

【答案】

14.(2010 福建泉州南安)如图,已知点A在双曲线y=6上,且OA=4,过A作 x

AC⊥x轴于C,OA的垂直平分线交OC于B.

(1)则△AOC的面积= ,(2)△ABC的周长为 .

【答案】(1)3,(2)27.

15.(2010 四川自贡)两个反比例子函数y=

在反比例函数y=36,y=在第一象限内的图象如图所示,点P1,P2,P3,??,P2010xx6图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,??,x2010,纵坐标分别是1,3,5,??,共2010x

3的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),x个连续奇数,过点P1,P2,P3,??,P2010分别作y轴的平行线,与y=

Q3(x3,y3),??,Q2010(x2010,y2010),则y2010=_______________。

【答案】2009.5

16.(2010 湖北咸宁)如图,一次函数y?ax?b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y?交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.

有下列四个结论:

①△CEF与△DEF的面积相等; ②△AOB∽△FOE;

③△DCE≌△CDF; ④AC?BD.

其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上)

k的图象相x

【答案】①②④

17.(2010广西南宁)如图7所示,点A1、A2、A3在x轴上,且OA1?A1A2?A2A3,分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线,与分比例函数y?8(x?0)的图像分别 交于点B1、B2、B3,分别过点B1、B2、B3作x轴的平行x

线,分别与y 轴交于点C1、C2、C3,连接OB1、OB2、OB3,那么图中阴影部分的面积之和为.

【答案】49 9

k(k≠0)上的两点,PA⊥χ轴于x18.(2010贵州遵义)如图,在第一象限内,点P(2,3),M(α,2)是双曲线y=

点B,MB⊥χ轴于点B,PA与OM交于点C,则∠OAC的面积为

.

【答案】4 3

41419.(2010福建南平)函数y= 和y= 在第一象限内的图像如图,点P是y= 的图像上一动点,PC⊥x轴于点C,xxx

1交y= 的图像于点B.给出如下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面x

1积大小不会发生变化;④CA= AP.其中所有正确结论的序号是______________. 3

第18题

【答案】:①③④

20.(2010广西河池)如图3,Rt△ABC在第一象限,?BAC?90,AB=AC=2,

点A在直线y?x上,其中点A的横坐标为1,且AB∥x轴,

AC∥y轴,若双曲线y??

k?k?0?与△ABC有交点,则k的 x

取值范围是 .

【答案】1?k?4

二.解答题:

1.(2010江苏苏州) (本题满分8分)如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数y?

(1)求k的值; k(x>0)的图象经过点B. x

(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折,得到正方形MABC′、MA′BC.设线段MC′、NA′分别与函数y?

>0)的图象交于点E、F,求线段EF所在直线的解析式.

k(xx

【答案】

2.(2010广东广州,23,12分)已知反比例函数y=

(1)求m的值;

(2)如图9,过点A作直线AC与函数y=

标.

m?8(m为常数)的图象经过点A(-1,6). xm?8的图象交于点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,求点C的坐x

【答案】解:(1)∵ 图像过点A(-1,6),m-8m?8 ?6. ∴ -1?1

(2)分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为点D、E,

由题意得,AD=6,OD=1,易知,AD∥BE,

∴△CBE∽△

CAD,∴CBBE . ?CAAD

∵AB=2BC,∴CB1? CA3

1BE∴?,∴BE=2. 36

即点B的纵坐标为2

当y=2时,x=-3,易知:直线AB为y=2x+8,

∴C(-4,0)

3.(2010甘肃兰州)(本题满分9分)如图,P1是反比例函数

为(2,0).

(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1O A1的面积

将如何变化?

(2)若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形,求

此反比例函数的解析式及A2点的坐标.

y?k(k>0)x在第一象限图像上的一点,点A1 的坐标

【答案】

(1)解:(1)△P1OA1的面积将逐渐减小. ?????????????2分

(2)作P1C⊥OA1,垂足为C,因为△P1O A1为等边三角形,

所以OC=1,P1C=3,所以P1(1,). ??????????????3分 3ky?x. ?????4分 x,得k=3,所以反比例函数的解析式为代入

作P2D⊥A1 A2,垂足为D、设A1D=a,则OD=2+a,P2D=a, y?

所以P2(2?a,3a). ???????????????????????6分 代入y?x,得(2?a)?3a?,化简得a2?2a?1?0

解的:a=-1±2 ?????????????????7分 ∵a>0 ∴a??1?2 ????????????8分 所以点A2的坐标为﹙22,0﹚ ??????????????????9分

当y?0时,x?55.∴P点为(,0). ····················································· 7分 33

4.(2010浙江杭州) (本小题满分6分)

给出下列命题:

命题1. 点(1,1)是直线y = x与双曲线y =

命题2. 点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y =

命题3. 点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y =

… … .

(1)请观察上面命题,猜想出命题n(n是正整数);

(2)证明你猜想的命题n是正确的. 1的一个交点; x8的一个交点; x27的一个交点; x

【答案】

n3

(1)命题n: 点(n , n) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(n是正整数). x2

(2)把 ??x?n

?y?n2代入y = nx,左边= n2,右边= n·n = n2,

∵左边 =右边, ∴点(n,n2)在直线上.

同理可证:点(n,n2)在双曲线上,

n3

∴点(n,n)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点,命题正确. x2

5.(2010浙江金华)(本题10分)已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作

2正方形PQMN,使点M落在反比例函数y = ?的图像上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上x

述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限. ..

(第23题

2(1)如图所示,若反比例函数解析式为y= ?,P点坐标为(1, 0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,x

请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1,并写出点M1的坐标; M1的坐标是 ▲

(2) 请你通过改变P点坐标,对直线M1 M的解析式y﹦kx+b进行探究可得 k﹦ 若点P的坐标为(m,0)时,则b﹦;

(3) 依据(2)的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你求出点M1和点M的坐标.

【答案】解:(1)如图;M1 的坐标为(-1,2)

(2)k??1,b?m

(3)由(2)知,直线M1 M的解析式为y??x?6

则M(x,y)满足x?(?x?6)??2

解得x1?3? ,x2?3?

∴ y1?3?,y2?3?

∴M1,M的坐标分别为(3?,3?),(3?,3?).

6.(2010 山东济南)如图,已知直线y?(1)求k的值;

(2)若双曲线y?x 1kx与双曲线y?(k?0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4. 2xk(k?0)上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积; x

k,若由点A,B,P,Q为(k?0)于P,Q两点(P点在第一象限)x(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y?

顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.

【答案】(1)∵点A横坐标为4 ,

∴当 x = 4时,y = 2

∴ 点A的坐标为(4,2 ) …………2’ ∵点A是直线y?18x与双曲线y?(k>0)的交点, 2x

∴ k = 432 = 8 ………….3’

(2)解法一:

∵ 点C在双曲线上,当y = 8时,x = 1

∴ 点C的坐标为(1,8)………..4’ 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON

S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 S△AOC= S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM

= 32-4-9-4 = 15 ………..6’

(3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,

∴ OP=OQ,OA=OB

∴ 四边形APBQ是平行四边形

∴ S△POA = 11S平行四边形APBQ =324 = 6 44

设点P的横坐标为m(m > 0且m?4),

得P(m,8) …………..7’ m

过点P、A分别做x轴的垂线,垂足为E、F,

∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4

若0<m<4,

∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,

∴ S梯形PEFA = S△POA = 6

∴ 18(2?)?(4?m)?6 2m

解得m= 2,m= - 8(舍去)

∴ P(2,4) ……………8’

若 m> 4,

∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,

∴ S梯形PEFA = S△POA = 6

∴18(2?)?(m?4)?6, 2m

解得m= 8,m =-2 (舍去)

∴ P(8,1)

∴ 点P的坐标是P(2,4)或P(8,1)………….9’

7.(2010 河北)如图13,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.

(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;

(2)若反比例函数y?

函数的图象上;

(3)若反比例函数y?m(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围. ..xm(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该x

【答案】解:(1)设直线DE的解析式为y?kx?b,

?3?b,∵点D ,E的坐标为(0,3)、(6,0),∴ ? 0?6k?b.?

1?1?k??,解得 ? ∴ y??x?3. 22??b?3.

∵ 点M在AB边上,B(4,2),而四边形OABC是矩形,

∴ 点M的纵坐标为2.

1又 ∵ 点M在直线y??x?3上, 2

∴ 2 = ?

(2)∵y?1. x?3.∴ x = 2.∴ M(2,2)2 m4(x>0)经过点M(2,2),∴ m?4.∴y?. xx

又 ∵ 点N在BC边上,B(4,2),∴点N的横坐标为4.

1∵ 点N在直线y??x?3上, ∴ y?1.∴ N(4,1). 2

∵ 当x?4时,y =44= 1,∴点N在函数 y? 的图象上. xx

(3)4≤ m ≤8.

8.(2010 山东省德州) ●探究 (1) 在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F. ①若A (-1,0), B (3,0),则E点坐标为__________; ②若C (-2,2), D (-2,-1),则F点坐标为__________;

(2)在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b) ,B(c,d

求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的

代数式表示),并给出求解过程. ●归纳 无论线段AB

处于直角坐标系中的哪个位置, 当其端点坐标为A(a,b),B(c,d), AB中点为D(x,y) x=_________,y=___________.(不必证明) ●运用 在图2中,一次函数y?x?2与反比例函数 3y?的图象交点为A,B. 3xy= y x①求出交点A,B的坐标;

B ②若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形, 请利用上面的结论求出顶点P的坐标.

【答案】解: (1)①(1,0);②(-2,1); 2A y=x-2 第22题图3

(2)过点A,D,B三点分别作x轴的垂线,垂足分别为

A?,D?,B? ,则AA?∥BB?∥CC?.

∵D为AB中点,由平行线分线段成比例定理得 A?D?=D?B?.

∴OD?=a?c?aa?c. ?22

即D点的横坐标是a?c 2

b?d. 2

a?cb?d∴AB中点D的坐标为(,). 22

a?cb?d归纳:,. 22同理可得D点的纵坐标是?y?x?2,?运用 ①由题意得? 3.y??x?

?x?3,?x??1,

解得?或?. ..?y?1?y??3

∴即交点的坐标为A(-1,-3),B(3,1) .

②以AB为对角线时,

由上面的结论知AB中点M的坐标为(1,-1) .

∵平行四边形对角线互相平分,

∴OM=OP,即M为OP的中点.

∴P点坐标为(2,-2) .

同理可得分别以OA,OB为对角线时,

点P坐标分别为(4,4) ,(-4,-4) .

∴满足条件的点P有三个,坐标分别是(2,-2) ,(4,4) ,(-4,-4) .

9.(2010湖北荆州)已知:关于x 的一元二次方程x??2k?1?x?k?0的两根x1,x2满足x1?x2?0,双曲线2222y?4k(x>0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D,与直角边AB交于C(如图),求S△OBC.

x

【答案】解:?x??2k?1?x?k?0有两根 22

∴ ???2k?1??4k?0 22

即 k?

221 4 由x1?x2?0得:?x

1?x2??x1?x2??0

当x1?x2?0时,??2k?1??0 解得 k?

21,不合题意,舍去 22 当x1?x2?0时,x1?x2,???2k?1??4k?0

1 符合题意 4

1 ∴双曲线的解析式为:y? x 解得:k?

过D作DE⊥OA于E,

则S?ODE?S?OCA?11?1? 22

∵DE⊥OA,BA⊥OA

∴DE∥AB ∴△ODE∽△OBA S1?OB?∴?OBA????4 ∴S?OBA?4??2 S?ODE?OD?22

13? 22

k10.(2010北京)已知反比例函数y= 的图像经过点A

,1) x∴S?OBC?S?OBA?S?OCA?2?

(1)试确定此反比例函数的解析式.

(2)点O是坐标原点,将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB,判断点B是否在反比例函数的图像上,

并说明理由.

(3)已知点P(m

+6)也在此反比例函数的图像上(其中m <0),过p点作x轴的的垂线,交x轴于点M,

若线段PM上存在一点Q,使得△OQM的面积是12,设Q点的纵坐标为n,求n-

+q的值. 2

【答案】解:(1)由题意德

解得 k=

∴ 反比例函数的解析式为y

= (2)过点A作x轴的垂线交x轴于点C,

在Rt△AOC中,OC

AC=1

可得OA

,∠AOC=30°

由题意,∠AOC=30°,OB=OA=2, ∴∠BOC=60°

过点B做x轴的垂线交x轴于点D,

在Rt△BOD中,可得, BD

OD

=1

∴ 点B坐标(-1

将x=-1代入y

= ?中,得y

. x

的图像上. x∴点B(-1

y

= ?

(3)由y

= 得xy=

的图像上,m<0 ∵ 点P(m

+6)在反比例函数的y

= ∴ m

+6 )=

∴m??1?0

∵PQ⊥x轴

∴Q点的坐标(m,n)

∵ △OQM的面积为

∴21 211OM.QM= 22

∵ m<0

∴ m.n=-1

∴m2n2?2?n2?0

∴n???1

∴n??9?8.

11.(2010河南)如图,直线y=k1x+6与反比例函数y=22k2等(x>0)的图象交于A(1,6),B(a,3)两点. x

(1)求k1、k2的值;

(2)直接写出k1x +6一k2 >0时的取值范围; x

(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE⊥OD于E,CE和反比例函数的图象交于点P.当梯形OBCD的面积为l2时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由

.

【答案】(1)由题意知 k2 = 136 = 6

∴反比例函数的解析式为 y =

又B(a,3)在y = 6. x6的图象上,∴a = 2 ∴B(2,3). x

∵ 直线y = k1x + b 过A(1,6),B(2,3)两点,

∴??k1?b?6,?k1??3, ∴?

?b?9.?2k1?b?3.

(2)x 的取值范围为1< x < 2.

(3)当S梯形OBCD = 12时,PC= PE

设点P的坐标为(m,n),∵BC∥OD,CE⊥OD,BO = CD,B(2,3).

∴C(m,3),CE = 3,BC = m – 2,OD = m +2.

BC?ODm?2?m?2?CE,即12 =?3 22

31 ∴m = 4 .又mn = 6 ,∴n = .即PE = CE. 22 ∴当S梯形OBCD =

∴PC = PE.

12.(2010江苏徐州)如图,已知A(n,-2),B(1,4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=

点,直线AB与y轴交于点C.

(1)求反比例函数和一次函数的关系式;

(2)求△AOC的面积;

(3)求不等式kx+b-m的图象的两个交xm<0的解集(直接写出答案). x

【答案】

13.(2010 四川绵阳)如图,已知正比例函数y = ax(a≠0)的图象与反比例函致y?k(k≠0)的图象的一个x

交点为A(-1,2-k2),另—个交点为B,且A、B关于原点O对称,D为OB的中点,过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E.

(1)写出反比例函数和正比例函数的解析式;

(2)试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍.

【答案】(1)由图知k>0,a>0.∵ 点A(-1,2-k2)在y?k图象上, x

2. x∴ 2-k2 =-k,即 k2-k-2 = 0,解得 k = 2(k =-1舍去),得反比例函数为y?

此时A(-1,-2),代人y = ax,解得a = 2,∴ 正比例函数为y = 2x.

(2)过点B作BF⊥x轴于F.∵ A(-1,-2)与B关于原点对称,

∴ B(1,2),即OF = 1,BF = 2,得 OB =.

由图,易知 Rt△OBF∽Rt△OCD,∴ OB : OC = OF : OD,而OD = OB∕2 =∕2,

∴ OC = OB · OD∕OF = 2.5.由 Rt△COE∽Rt△ODE得 S?COEOC2522?()?(?)?5, S?ODEOD2所以△COE的面积是△ODE面积的5倍.

14.(2010广西梧州)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),∠OBA=90°,BC∥OA,OB=8,点E从点B出发,以每秒1个单位长度沿BC向点C运动,点F从点O出发,以每秒2个单位长度沿OB向点B运动,现点E、F同时出发,当F点到达B点时,E、F两点同时停止运动。

(1)求梯形OABC的高BG的长。

(2)连接EF并延长交OA于点D,当E点运动到几秒时,四边形ABED是等腰梯形。

(3)动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图像上?如果会,请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值;如果不会,请说明理由。

【答案】(1)在Rt△ABO中,OB=8,OA=10

根据勾股定理得AB=6

∵S△ABO=116?8 OB2AB= OA2BG,∴BG==48 2210

(2)Rt△ABG中,AB=6,BG= 48,根据勾股定理得AG=36,

若四边形ABED是等腰梯形,则OD=10-36-36-t=28-t,OF=2t,BF=8-2t,

EBBF, ?DOOF

t8?2t28即:,得到: t=。 ?172.8?t2t∵BC∥OA,∴△EBF∽△DOF,∴

(3)动点E、F会同时在某个反比例函数的图像上。t=?5?281。 4

理由:因为AG=36,∴EC=10-36-t=64-t,所以点E的坐标为(64-t,48)

作FH⊥AO于点H,得△OHF∽△OBA,∴FH=364832t=t,OH=32t=t,如果E、F同时在某个反比例函5555

?5?281682t﹒t,得2t +5t-32=0,解得t=,455数的图像上,则E、F两点的横纵坐标乘积相等,即:48(64-t)=

或t=?5?281(舍去), 4

15.(2010广西柳州)如图13,过点P(-4,3)作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y?k(k≥2)于E、F两点. x

(1)点E的坐标是________,点F的坐标是________;(均用含k的式子表示)

(2)判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;

(3)记S?S?PEF?S?OEF,S是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.

图13

【答案】解:(1)E(-4,-kk),F(,3) ???????????????????3分 43

(说明:只写对一个点的坐标给2分,写对两个点的坐标给3分)

(2)(证法一)结论:EF∥AB ????????????????????4分

证明:∵ P(-4,3) ∴ E(-4,-

即得:PE=3+

∵ PA?PE33?k

4?kk),F(,3), 43kk,PF=+4 ????????????????5分 4312PB,?k?12PF44?k

3?12 k?12

∠APB=∠EPF

∴ △PAB∽△PEF ???????????????????????6分

∴ ∠PAB=∠PEF ??????????????????????? 7分

∴ EF∥AB ??????????????????????????4分

(证法二)结论:EF∥AB ????????????????????4分

证明:∵ P(-4,3) ∴ E(-4,-

即得:PE=3+kk),F(,3), 43kk,PF=+4 ???????????????????5分

43

在Rt△PAB中,tan∠PAB=PB4? PA3

k?4PF4?? 在Rt△PEF中,tan∠PEF=k3PE3?4

∴ tan∠PAB= tan∠PEF

∴ ∠PAB=∠PEF ???????????????????????6分

∴ EF∥AB ??????????????????????????7分

(3)(方法一)

S有最小值 ??????????????????????????8分 ∵ S四边形PEDF?S矩形PAOB?S?EAO?S?FBO?12?k

∴ S?EOF?S四边形PEDF?S?PEF?12?S?PEF?k ???????????9分 由(2)知,S?PEF?11kk?PE?PF?(3?)(?4) 2243

∴ S=S?PEF?S?OEF?2S?PEF?12?k ??????????????10分

k21 =?k?(k?6)2?3 ????????????????????11分 1212

又∵ k≥2,此时S的值随k值增大而增大,

∴ 当k=2时,S最小?

∴S的最小值是

(方法二)

S有最小值. ???????????????????????????8分 分别过点E、F作PF、PE的平行线,交点为P′.

k??k 由(2)知,P′?,?? 4??37 37.??????????????????????12分 3

∵ 四边形PEP′为矩形,

∴ S△P′EF= S△PEF

∴ S=S△PEF - S△OEF

= S△P′EF - S△OEF

= S△OME +S矩形OMP′N+ S△ONF ???????????????????9分 kk2k=?? ?????????????????????????10分 2122

k2

=+k 2

1 =(k?6)2?3 ???????????????????????11分 12

又∵ k≥2,此时S的值随k值增大而增大,

∴ 当k=2时,S最小=

∴ S的最小值是7 37. ??????????????????????12分 3

16(2010年福建省泉州))我们容易发现:反比例函数的图象是一个中心对称图形.你

可以利用这一结论解决问题.

如图,在同一直角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是:将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数y?3的图象分别交于第一、三象限的点B、D,已知点A(?m,0)、C(m,0). x

(1)直接判断并填写:不论α取何值,四边形ABCD的形状一定是 ;

(2)①当点B为(p,1)时,四边形ABCD是矩形,试求p、α、和m有值;

②观察猜想:对①中的m值,能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个?(不必说理)

(3)试探究:四边形ABCD能不能是菱形?若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由

.

【答案】解:(1)平行四边形 ????(3分)

(2)①∵点B(p,1)在y?3的图象上,∴1? px

∴p?????????????(4分)

过B作BE?x轴于E,则OE?

在Rt?BOE中,tan??

α=30°

∴OB?2

又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点,

∴点B、D关于原点O成中心对称

∴OB=OD=2

,BE?1 BE13?? OE3???????????????????????(5分) ???????????????(6分)

∵四边形ABCD为矩形,且A(?m,0) C(m,0)

∴OA?OB?OC?OD?2?????????????????????(7分)

∴m?2; ???????????????????????(8分)

②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个; ????????????(9分)

(3)四边形ABCD不能是菱形. ?????????????????(10分)

法一:∵点A、C的坐标分别为(?m,0)、(m,0)

∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上.

又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.

∴对角线AC与BD不可能垂直.

∴四边形ABCD不能是菱形

法二:若四边形ABCD为菱形,则对角线AC⊥BD,且AC与BD互相平分,

因为点A、C的坐标分别为(-m,0)、(m,0)

所以点A、C关于原点O对称,且AC在x轴上. ??????????????(11分)

所以BD应在y轴上,这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾,

所以四边形ABCD不可能为菱形. ????????????????????(12分)

17(2010内蒙呼和浩特)在平面直角坐标系中,函数y=m(x>0,m是常数)的图像经过点A(1,4)、点B(a,x

b),其中a>1.过点A作x中的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D,AC与BD相交于点M,连结AD、DC、CB与AB

.

(1)求m的值;

(2)求证:DC∥AB;

(3)当AD=BC时,求直线AB的函数解析式.

m【答案】解:(1)∵点A(1,4)在函数y=的图像上, x

m∴4=,得m=4.???????????2分 1

m(2)∵点B(a,b)在函数y=的图像上,∴ab=4. x

又∵AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D交AC于M,∴AC⊥BD于M

∴M(1,b),D(0,b),C(1,0)

BMa?1a?11DM1∴tan∠BAC====,tan∠DCM== AM4?bab?bbMCb?????4分

∴tan∠BAC =tan∠DCM,

所以锐角∠BAC=∠DCM,DC∥AB??????????????????6分

说明:利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似,易证△ABM∽△CDM,易得∠BAC=∠DCM.评分标准为证出相似得到4分,证出平行得到6分.

(3)设直线AB的解析式为y=kx+b

∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形.

① 四边形ABCD是平行四边形时,AC与BD互相平分,

又∵AC⊥BD,∴B(2,2)

?k??2?k?b?4∴?,解得? b?62k?b?2??

∴直线AB的解析式为:y=-2x+6.??????8分

②当四边形ABCD是等腰梯形时,

BD与AC相等且垂直,∵AC=BD=4,

∴B(4,1)

∴同理可求直线AB的解析式为y=-x+5.???????10分

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