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专题3分式和二次根式

发布时间:2014-02-09 10:57:26  

专题三、分式和二次根式

1.分式的概念

分 式:如果两个整式相除,且除式中含有字母的代数式叫做分式.

有意义的条件:分母不为零.

易 错 点:分式的值为0的条件是分子为0,分母不为0,易忽视分母不为0这一条件.

基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变. 式子表示:AA?MAA?M,?(M≠0),其中A、B、M是整式. ?BB?MBB?M

2.通分与约分

通 分:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把异分母分式化成分母相同

的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.

约 分:利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式

的约分.

3.分式的运算

分式的乘法:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.

acac ??bdbd

acadad ????bdbcbc分式的除法:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

分式的加减法:(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.

aba?b ??ccc

(2)异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后按照同分母的分式加减法进行计算. acadbcad?bc ????bdbdbdbd

nan?a?分式的乘方:把分子分母分别乘方 ???n. b?b?

混合运算:先算乘方,再算乘除,最后进行加减运算,遇有括号先算括号里面的.

注 意:如果分子、分母是多项式,在运算中要进行多项式的因式分解.

易 错 点:分式运算的结果要化成最简分式.

4.二次根式的概念

定义:表示算术平方根,且根号内含有字母.为了方便起见,把一个数的算术平方根也叫二次根式.

注意:二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.

5.最简二次根式的概念

同时满足:(1)被开方数不含分母;

(2)被开方数中不含能开方的因数或因式,符合这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

6.二次根式的性质

(1)a?2?a (a?0)

?a?a?0?2a?a? (2) ????aa?0?

积的算术平方根:ab?

7.二次根式的运算 a?b ?a?0,b?0?. 商的算术平方根:a?ba ?a?0,b?0?.

二次根式加减:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 二次根式乘法: a?b?ab (a≥0,b≥0). a

?a (a≥0,b>0). b二次根式除法:

注意:二次根式运算的最后结果应化为最简二次根式

分 式

1a1. (2011浙江金华,7,3分)计算 – ) a-1a-1

A. 1+aa B. - C. -1 D.1-a a-1a-1

2. (2011山东威海,8,3分)计算:1?

A.?m?2m?1 221?m?(m2?1)的结果是( ) 1?mC.m?2m?1 2B.?m?2m?1 D.m?1 2

3. (2011四川南充市,8,3分) 当分式x?1的值为0时,x的值是( ) x?2

(A)0 (B)1 (C)-1 (D)-2

4. (2011江苏苏州,7,3分)已知

A.111ab的值是 ??,则a?bab211 B.- C.2 D.-2 22

5. ( 2011重庆江津, 2,4分)下列式子是分式的是( ) A.xxxx B. C. ?y D. 2x?123

22m2?n2

6. (2011江苏南通,10,3分)设m>n>0,m+n=4mn,则的值等于 mn

A.

B.

C.

D. 3

7. (2011山东临沂,5,3分)化简(x-

A.1 x 2x-11)÷(1-)的结果是( ) xxx-1xB.x-1 C. D. xx-1

a2b2

?8. (2011广东湛江11,3分)化简的结果是 a?ba?b

a?b Ba?b a?b D 22

9.(2010湖北孝感,6,3分)化简??xy?x?y???的结果是( ) yxx??

A. x?yx?y1 B. C. D. y yyy

a2?1?1???1?? ( ). 10. (2011辽宁大连,11,3分)化简:a?a?

A.a-1 B. a+1 C. a D. 1 二、填空题

1. (2011浙江省舟山,11,4分)当x1有意义. 3?x

2. (2011福建福州,14,4分)化简(1?)(m?1)的结果是 .

2xxx3. (2011山东泰安,22 ,3分)化简:-的结果为 x+2 x-2x-4

x?3,当x=2时,分式无意义,则a= ,当a<6时,使x2?5x?a

分式无意义的x的值共有 个.

15. (2011 浙江湖州,11,4)当x=2时,分式的值是 x?1

x?26. (2011福建泉州,14,4分)当x的值为零. x?24. (2011浙江杭州,15,4)已知分式

a2?b22a?2b7. (2011山东聊城,15,3分)化简:2=__________________. ?a?2ab?b2a?b

3x2?278. (2011四川内江,15,5分)如果分式的值为0,则x的值应为 . x?3

9. (2011四川乐山15,3分)若m为正实数,且m?11?3,则m2?2 mm

x2 - 910. (2011江苏盐城,13,3 x - 3

三、解答题

1. (2011安徽,15,8分)先化简,再求值:

12,其中x=-2. ?2x?1x?1

1x2?12. (2011江苏扬州,19(2),4分)(1?)? xx

3. (2011四川南充市,15,6分)先化简,再求值:xx?1(-2),其中x=2. x2?1x

x-1x-22x2-x4. (2011四川重庆,21,10分)先化简,再求值:(-,其中x满足x2-x-1=0. xx+1x+2x+1

xx2?x?5. (2011福建泉州,19,9分)先化简,再求值2,其中x?2. x?1x2

?1x2?2x?1?x?1?,6. (2011湖南常德,19,6分)先化简,再求值. ???2x?1x?1x?1??

7. (2011湖南邵阳,18,8分)已知其中x?2. 12?1,求?x?1的值. x?1x?1

x22x?1?8. (2011广东株洲,18,4分)当x??2时,求的值. x?1x?1

a?b2ab?b2

?(a?) 9. (2011山东济宁,16,5分)计算:aa

x2?111?(?1),其中x?· 10. ( 2011重庆江津, 21(3),6分)先化简,再求值: x?2x?23

11. (20011江苏镇江,18(1),4分) (2)化简:2x1 ?x2?4x?2

2 x-2x+1 1 ÷12. (2011山东枣庄,19,8分)先化简,再求值:?1+x=-5. x-2x-4??

1-5CBBDB. 6-9ABABA

填空题 1、x?3 2、m 3、 x-6 4、6,2 5、1 6、2 7、

解答题

1、解:原式=1 8、-3 9、3 10.、x+3 2x?1?2x?111?????1. (x?1)(x?1)(x?1)(x?1)x?1?2?1

xx?1(x?1)(x?1)x?11== ??x(x?1)(x?1)x?1xx

xx?12xxx?1xx?1x== ??(?2)???2(x?1)(x?1)x(x?1)(x?1)x2?1xx2?1xx2?12、解:原式=3、解:方法一:

=

=12xx?12xx?1?2xx?1?2x?1?x=== ???x?1(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)?(1?x)1=? (x?1)(x?1)x?1

当x=2时,?

方法二:

=11=?=-1 2?1x?1x?1?xxx?1xx?12xxx?1?2x=== ?(?2)(?)?(x?1)(x?1)xxxx2?1xx2?1xx2?1x?(1?x)1=? ?(x?1)(x?1)xx?1

当x=2时,?11=?=-1. 2?1x?1

x-1x-22x2-x(x-1)( x+1)- x( x-2)2x2-x4、【答案】原式=(= xx+1x2+2x+1x( x+1)x2+2x+1

=2x-1(x+1)2x+1 x(x+1) 2x-1x2

当x2-x-1=0时,x2=x+1,原式=1.

5、【答案】解:原式?xx(x?1)2 ············································································4分 (x?1)(x?1)x

1 ·················································································································································6分 x?1

当x?2时,原式?1. ····················································································································9分 ?

?1x2?2x?1?x?1?6、【答案】解: ? ??2x?1x?1x?1??

2?1?x?1x?1???????x?1x?1x?1?x?1??

xx?1? x?1x?1

x?x?1

2当x?2时,原式==2.2?1

7、【答案】解:∵

故原式=2+1=3 1?1,∴x-1=1. x?1

x2?2x?1(x?1)2

8、【答案】解:原式=??x?1 x?1x?1

当x??2时,原式?x?1??2?1??1

a?ba2?2ab?b2

9、【答案】原式=………………2分 ?aa

=a?ba………………4分 ?a(a?b)2

=1………………5分 a?b

x?2(x?1)(x?1)1?x?2(x?1)(x?1) = =1-x· ??x?2?(x?1)x?2x?210、【答案】(3)原式=

把x?

11、答案:(2)原式=112代入得 原式=1-=· 3332xx?2?x?2x?2x?2x?2?2x?x?21?x?2x?2x?2

221x?2x?1x?2?1(x?1)1)212、解:(=……………………2分 x?2x?2(x?2)(x?2)x?4

=x?1(x?2)(x?2) 2x?2(x?1)

x?2, x?1

x?2?5?21 当x?时,原式==?5?. x?1?5?12 =

二次根式 一、选择题

1. (2011安徽,4,4分)设a19-1,a在两个相邻整数之间,则这两个整数是( )

A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5

2. (2011山东滨州,2,3

,则x的取值范围为( )

A.x≥1111 B. x≤ C.x≥? D.x≤? 2222

3. (2011山东菏泽,4,3分)实数a

化简后为

A. 7 B. -7 C. 2a-15 D. 无法确定

4. (2011山东济宁,1,3分)4的算术平方根是( ) 第2题图

A. 2 B. -2 C. ±2 D. 16

5. (2011山东济宁,5,3分)若x?y?1?(y?3)?0,则x?y的值为 ( )

A.1 B.-1 C.7 D.-7

26. (2011山东日照,1,3分)(-2)的算术平方根是( )

(A)2 (B) ±2 (C)-2 (D)2

7. (2011山东泰安,7 ,3分)下列运算正确的是( )

5 B.4 C. D.322

8. (2011山东威海,1,

3分)在实数0

、、?2中,最小的是( )

A.?2

B. C.0

D

9. (

2011山东烟台,5,4?1?2a,则( )

A.a<1111 B. a≤ C. a> D. a≥ 2222

10.(2011浙江杭州,1,3)下列各式中,正确的是( )

A.

填空题

1. (2011安徽芜湖,14,5分)已知

a、b为两个连续的整数,且a?

2. (2011江苏扬州,10,3分)计算:?2 ?3

B.??3

C??3

D?3 ?b,则a?b?.

x2?1?1=_____________. 3. (

2011山东德州12,4分)当x?2x?x

4. (2011湖北省随州市,13,4分)要使式子a?2有意义,则a的取值范围为 a

5. (2011山东日照,15,4分)已知x,y为实数,且满足?x?(y?1)?y=0,那么x2011-y2011

6. (2011山东威海,13,3

分)计算

7. (2011山东枣庄,16,4分)对于任意不相等的两个实数a、b,定义运算※如下:a※b=a?b,如a?b

3※

?8※12= . 8. (2011江苏泰州,9,3分)16的算术平方根是.

9.(2011台湾台北,4)计算?75+27_______________.

10. (2011内蒙古包头,15,3分)化简二次根式:27?

解答题

1. (2011山东日照,18,6分)化简,求值: 12??等于 m2?2m?1

m?12?(m?1?m?1)m?1 ,其中m=.

2. (2011四川宜宾,17⑴,5分)计算:3(??)0?20??(?1)2011

?x2y?4y24xy?x?2?13. (2011湖北黄石,18,7分)先化简,后求值:(2)·(),其中 ?x?2x?2yx?4xy?4y??y?2?1

4. (2011广东珠海,20,9分)9分)阅读材料:

小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+22=(1+2)2,善于思考的小明进行了以下探索:

2设a+b2=(m+n2)(其中a、b、m、n均为正整数),则有a+b2=m2+2n2+2mn2,

∴a= m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b2的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:

2(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b3=(m+n3),用含m、n的式子分别表示a、b,得:a

b= ;

(2)利用所探索的结论,找一组正整数a、b、m、n填空:

2=

(+;

2(3)若a+4=(m+n),且a、m、n均为正整数,求a的值.

?1

?

5. (2011内蒙古呼和浩特市,17(1),5分)计算:2?1???2???2?2?

1--5CCAAC 6--10ADABB

1、11 2、2 3

1、原式=m2?2m?1

m2?1 4、a≥-2且a≠0 5、-2; 6、3 7、

- 8、4 9、5 10、-2 22(m?1)(m?1)?(m?1) m?1?

(m?1)2m?1 = ?2(m?1)(m?1)m?1?m?1

m?1m?1m?1= =2 ?2m?1m?mm?m

m?11 = =. m(m?1)m

∴当m=时,原式=1

?3. 3

2、解:原式=3?1?(2?3)?(?1)=3

3、解:原式=y(x?2y)(x?2y)x(x?2y)?=x·y=(x?2y(x?2y)22+1)( 2-1)=1

4、解:(1)22 (2)4,2,1,1(答案不唯一)

?a?m2?3n2

(3)根据题意得,?∵2mn=4,且m、n为正整数,

?4?2mn

∴m=2,n=1或m=1,n=2.∴a=13或7.

5、解:原式=32?2?2?1?2 ………………………………………(4分) =32?1 ………………………………………(5分)

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