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第一讲有理数

发布时间:2014-02-10 09:46:39  

第一讲 有




房安祥

莒县店子集镇中心初中

1.了解:近似数、有效数字的概念.
2.理解:有理数、相反数和绝对值、乘方的意义,有理数的运

算律.
3.掌握:有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.

4.会:用科学记数法表示数,比较有理数的大小,求有理数的相
反数与绝对值;用数轴上的点表示有理数,会用运算律简化运

算,运用有理数的运算解决简单的问题.

一、有理数的概念
整数 正分数和负 1.有理数的分类:正整数、0、负整数统称_____, 分数 整数和分数统称_______. 有理数 分数统称_____, 符号 不同的两个数叫做互为相反数. 2.相反数:只有_____ -a 的相反数是__. 0 (1)数a的相反数是___,0 0 (2)a与b互为相反数?a+b=__.

3.倒数:
1 a 0 没有倒数. (1)数a(a≠0)的倒数是__,__

1 (2)a与b互为倒数?ab=__.

本身 一个负数的绝对值是 4.绝对值:一个正数的绝对值是它_____;
相反数 的绝对值是__. 0 即当a>0时,|a|=__; a 当a<0 它的_______;0 -a 当a=0时,|a|=__. 0 时,|a|=___;

二、有理数的大小比较
大 1.数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的___.

大于0 负数______, 小于0 正数_____ 大于 一切负数. 2.正数______,
反而小 3.两个负数比较大小,绝对值大的_______. 三、运算律 b+a ba 1.交换律:a+b=____,ab=___. a+(b+c) a(bc) 2.结合律:(a+b)+c=________,(ab)c=______. ma+mb+mc 3.分配律:m(a+b+c)=_________.

四、近似数和科学记数法 1.将一个数精确到某位所得到的数,叫做这个数的近似数;四 舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时从左边 0 的数字起,到_________ 最后一位 的数字止,所有的数字 第一个不是__ 有效数字 都叫做这个近似数的_________. 10n 的形式,其中n是整数,1≤|a|<10,这 2.把一个数记成a×___ 种记数法叫做科学记数法.

1.下列各数中,最小的是( A ) A.-2 B.-0.1 C.0 D.|-1|

2.如图,在数轴上点M表示的数可能是( C )

A.1.5

B.-1.5

C.-2.4

D.2.4

3.一个数的绝对值等于3,这个数是( C ) A.3 B.-3 C.±3
1 D. 3

4.地球半径约为6 400 000米,用科学记数法表示为( B ) A.0.64×107 C.64×105 5.计算2-(-3)的结果是( A ) A.5 B.1 C.-1 D.-5 B.6.4×106 D.640×104

8 6.计算:23=__.

热点考向 一

正数、负数及其应用 )

【例1】(1)(2012·河北中考)下列各数中为负数的是( A.0 B.-2 C.1
D. 1 2

(2)(2013·济宁中考)一运动员某次跳水的最高点离跳台2m,

记作+2m,则水面离跳台10m可以记作(
A.-10m B.-12m C.+10m

)
D.+12m

【思路点拨】(1)直接根据负数的概念,可以确定其中的负数.
(2)题目中以跳台为基准,高出跳台的距离记为正,则低于跳台

的距离记为负.

1 【自主解答】(1)选B.其中的1, 是正数;0既不是负数也不 2

是正数;-2是负数. (2)选A.高出跳台与低于跳台是两个具有相反意义的量 ,跳水 的最

高点离跳台2m,记作+2m,所以水面离跳台10m可以记作 -10m.

【名师助学】判断正负数的方法 区分正、负数可以根据正、负数的概念,也可以根据符号区别. 如果一个数的符号为“-”,则该数为负数;如果一个数的符号 为“+”或没有符号,则该数为正数.特别注意的是:0既不是正 数也不是负数,不受符号影响.

热点考向 二

相反数、倒数、绝对值 )

1 - 1 【例2】(1)(2012·黔西南州中考) 4 的倒数是( 5 5 4 4 A. ? B. C. ? D. 4 4 5 5

(2)(2013·黔西南州中考)|-3|的相反数是(

)

A.3

B.-3

C.±3

1 D. 3

【思路点拨】(1)把带分数写成假分数的形式,颠倒分子、分

母即可,分数线前的符号不变.
(2)首先把 |-3|化简,再根据相反数的定义 :只有符号不同的

两个数叫做互为相反数,得到答案.

1 5 - 1 =- , 【自主解答】(1)选C. 4 4

所以 -1 1 的倒数是 - 4.
4 5

(2)选B.|-3|=3,3的相反数是-3.

【名师助学】相反数、绝对值、倒数的几点注意
1.相反数除0以外,总是一正一负,成对出现的.

2.互为相反数的两个数的绝对值相等,即 |a|=|-a|.
3.绝对值为正数m的数有两个,它们是m和-m.

4.0没有倒数;互为倒数的两个数的符号相同.

热点考向 三

近似数与科学记数法

【例3】(1)(2013·德州中考)森林是地球之肺,每年能为人 类提供大约28.3亿吨的有机物.28.3亿用科学记数法表示为 ( A.28.3×107 C.0.283×1010 B.2.83×108 D.2.83×109 )

(2)(2013·资阳中考)资阳市2012年财政收入取得重大突破, 地方公共财政收入用四舍五入法取近似值后为27.39亿元,那 么这个数值( A.精确到亿位 C.精确到千万位 ) B.精确到百分位 D.精确到百万位

【思路点拨】(1)先将28.3亿化成2 830 000 000,再用科学 记数法表示出来. (2)先将27.39亿还原为原数,再看原数中“9”所处的位置确

定精确度.

【自主解答】(1)选D.28.3亿=2 830 000 000=2.83〓109.

(2)选D.27.39亿=2 739 000 000,原数中“9”所处的位置是
百万位,故精确到百万位.

【互动探究】通过对(1)的求解,对带有文字单位的较大的数 如何用科学记数法表示? 提示:两种方法:(1)先将带有文字单位的较大的数转化为不带 文字单位的较大的数,如28.3亿=2 830 000 000,再按照科学 记数法的规则进行表示. (2)将文字单位转化为用科学记数法表示的数,再进一步计算, 如28.3亿=28.3〓108=2.83〓10〓108=2.83〓109.

【名师助学】用科学记数法表示数的两种情况 用科学记数法把一个数表示成N=a〓10n时,其中1≤|a|<10,分 两种情况: (1)若|N|>10,则n是一个正整数,n比要表示数(原数)的整数 位数少1. (2)若|N|<1,则n是一个负整数,|n|等于原数的第一个非零数 字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零).

【知识拓展】两类近似数的精确度和有

效数字的确定方法 对于用科学记数法表示的数和带单位的近似数 ,判断其精确到 哪一位时,应该看其最后一位有效数字在原数中的位置 ;对于 用科学记数法a〓10n表示的数,它的有效数字就是a中的有效 数字.

热点考向 四

有理数比较大小 ) D.0

【例4】(1)下列各数中,最小的数是( A.2 B.-3 C. ?
1 3

(2)(2012·大庆中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如图 所示,则下列各式正确的是( )

A.a>b
C.|a|>|b|

B.a=b
D.|a|<|b|

【思路点拨】(1) 本题考查有理数的比较大小 . 根据有理数大 小的比较方法“正数大于负数”“两个负数,绝对值大的反 而小”“正数大于0,负数小于0”进行比较. (2)首先利用数轴确定数的范围、正负等有关信息,然后再利 用绝对值的定义比较大小.

1 ? - 3 < ? <0<2, 【自主解答】(1)选B. 3

∴最小的数是-3. (2)选D.通过数轴可以看出 a<0,b>0,且表示 b的点离原点 的距离大于表示a的点离原点的距离,所以|a|<|b|.

【名师助学】有理数大小比较的三种方法 1.法则比较:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数. 两个负数比较大小,绝对值大的反而小. 2.数轴比较:在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的 数. 3.作差比较:若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b.

热点考向 五

有理数的运算

【例5】(1)(2013·安顺中考)计算-|-3|+1结果正确的是 ( A.4 B.2 C.-2 D.-4 )

(2)(2013·苏州中考)按照如图所示的操作步骤,若输入x的 值为2,则输出的值为 .

【思路点拨】(1)去掉绝对值符号,再按照加法法则计算即可.

(2)根据题目所给步骤依次计算即可.
【自主解答】(1)选C.-|-3|+1=-3+1=-2.

(2)由图得(2+3)2-5=25-5=20.
答案:20

【名师助学】有理数混合运算的五种运算技巧 1.转化法:一是将除法转化为乘法,二是将乘方转化为乘积,三 是在乘除混合运算中,通常将小数转化为分数进行约分计算. 2.凑整法:在加减混合运算中,通常将和为零的两个数,分母相 同的两个数,和为整数的两个数,乘积为整数的两个数分别结 合为一组求解.

3.分拆法:先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形 式,然后进行计算. 4.巧用运算律:在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往 往使计算更简便. 5.运用相关性质:如几个不等于0的数相乘,先判断积的符号, 再确定积的绝对值.

与有理数有关的规律探究题 【典例】(2012·自贡中考)若x是不等于1的实数,我们把
1 称为x的差倒数,如2的差倒数是 1 ? ?1, ? 1的差倒数为 1? x 1? 2
1 1 现已知,x1= ? 1,x 2 是x1的差倒数,x3是x2的差倒 ? , 1 ? (?1) 2 3

数,x4是x3的差倒数……依次类推,则x2

012=_______.

【思路点拨】

创新点

定义

1 为x(x≠1)的差倒数 1? x


突破口

先计算出几个具体的、特殊的数,然后从中 找出变化规律

1 ? x = ? , 【自主解答】 1 ∴根据差倒数定义可得: 3
1 3 1 1 1 x 2= = ,x 3= =4,x 4= =- ,显然,计算结果 1 3 1? 4 3 1 ? (? ) 4 1? 3 4

出现三个数循环的循环数组,而2 012〔3=670……2,
3 ? x 2 012=x 2= . 4

答案: 3
4

【思考点评】
1.方法感悟:本题考查的是与有理数有关的规律性问题 ,解决

此类问题的关键是在已有知识的基础上去探究 ,观察思考发现
规律.对于阅读型问题,解决时先通过阅读该题目内容,理解题 目中给出的概念、性质、定理等有关知识 ,再结合题目进行应 用. 2.技巧提升:探寻此类数列规律一般都是先计算出几个具体的、 特殊的数,然后认真观察,找出其中的变化规律,从而猜想出一 般性的结论.

【学以致用】 (2013·湖州中考)将连续的正整数按以下规律排列,则位于第 七行、第七列的数x是 .

【解析】第一行的第一列与第二列差为2,第二列与第三列差 为3,第三列与第四列差为4,…第六列与第七列差为7,第二行 的第一列与第二列差为3,第二列与第三列差为4,第三列与第 四列差为5,…第五列与第六列差为7,第三行的第一列与第二 列差为4,第二列与第三列差为5,第三列与第四列差为6,第四 列与第五列差为7,…第七行的第一列与第二列差为8,第二列 是30,第二列与第三列差为9,第三列是39,第三列与第四列差

为10,第四列是49,第四列与第五列差为11,第五列是60,第五 列与第六列差为12,第六列是72,第六列与第七列差为13,第七 列是85即为x. 答案:85

1.(2013·潍坊模拟)如果a与1互为相反数,则|a|等于( A.2 B.-2 C.1 D.-1

)

【解析】选C.∵a与1互为相反数,∴a=-1, ∴|a|=|-1|=1.

2.(2013·苏州模拟)(-1)2012的相反数是( A.1 B.-1 C.2011

) D.-2

【解析】选B.(-1)2012=1,1的相反数是-1.

3.(2013·瑞安模拟)如图,数轴上点A,B,C,D表示的数中,绝 对值相等的两个点是( )

A.点A和点C C.点A和点D

B.点B和点C D.点B和点D

【解析】选C.绝对值相等的两个数相等或互为相反数 ,从数轴

上可以看出,点A表示-6,点D表示6,-6和6互为相反数.

4.(2013·河南模拟)(-2)3的倒数的相反数是( A.8 B.-8 C. 1
8

)

D.? 1
8 1 8 1 8

【解析】选C.(-2)3=-8,-8的倒数是 ? , ? 的相反数是 1 .
8

5.(2013·盐城模拟)已知空气的单位体积质量为 0.00124克/立方厘米,0.00124用科学记数法表示为( A.1.24×102 C.1.24×10-2 B.1.24×103 D.1.24×10-3 )

【解析】选D.0.00124=1.24〓0.001=1.24〓10-3.

6.(2013·石家庄模拟)若m,n互为倒数,则mn2-(n-1)的值 为 .

【解析】∵m,n互为倒数,∴mn=1,则mn2-(n-1)=mn·n-(n-1) =n-n+1=1. 答案:1

7.(2013·遵义模拟)|x+2|+|y-3|+(-z+4)2=0,则 xy+xz= .

【解析】由题意得x+2=0,y-3=0,-z+4=0,
∴x=-2,y=3,z=4,

∴xy+xz=(-2)3+(-2)4=8.

答案:8

【归纳整合】常见的非负数的形式和性质 1.常见的非负数形式有三种:绝对值|a|,偶次幂a2和二次根式
a.

2.性质:(1)非负数的最小值为零. (2)如果几个非负数的和为零,那么每个非负数均为零.

1.(2012·丽水中考)如果零上2℃记作+2℃,那么零下3℃记
作( )

A.-3℃
C.+3℃

B.-2℃
D.+2℃

【解析】选A.∵零上2℃记作+2℃,∴零下3℃记作-3℃.

2.(2012·常德中考)若a与5互为倒数,则a=(
A. 1 5 B.5 C. ? 5 D. ? 1 5

)

1 1 , a = . 【解析】选A.a与5互为倒数,而5的倒数是 5 所以 5

3.(2013·河北中考)若x=1,则|x-4|=(

)

A.3

B.-3

C.5

D.-5

【解析】选A.将x=1代入|x-4|=|1-4|=|-3|=3.

4.(2012·济宁中考)在数轴上到原点距离等于2的点所表示的 数是( A.-2 C.±2 ) B.2 D. 不能确定

【解析】选C.∵|a|=2,∴a=〒2.

5.(2013·日照中考)计算-22+3的结果是( A.7 B.5 C.-1

) D.-5

【解析】选C.-22+3=-4+3=-1.

6.(2013·南昌中考)某机构对30万人的调查显示,沉迷于手 机上网的初中生大约占7%,则这部分沉迷于手机上网的初中生 人数,可用科学记数法表示为( A.2.1×105 C.0.21×105 ) B.21×103 D.2.1×104

【解析】选D.300000〓7%=21000=2.1〓104.

7.(2012·天水中考)有理数a,b在数轴上对应点的位置如图
所示,则( )

A.a+b<0
C.a-b=0

B.a+b>0
D.a-b>0

【解析】选B.由数轴可知-1<a<0,1<b<2,
∴a+b>0,a-b=a+(-b)<0,故选B.

8.(2012·漳州中考)2012年高考第一天,漳州的最低气温 25℃,最高气温33℃,则这天的温差是 【解析】33-25=8,即温差是8℃. 答案:8 ℃.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? )( ? ? ? ? ) ? 9.(2013·南京中考)计算 2 3 4 5 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? )( ? ? ? ) 的结果是_______. 2 3 4 5 6 2 3 4 5

【解析】设 x ? ? ? ? ? ,y ? ? ? ? , 则原式=(1-y)x-(1-x)y=x-y= 1 .
6

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 2

1 3

1 4

1 5

答案:

1 6


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